التمثيل المبرر

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 2 صور
الموسوعة الحرة

التمثيل المبرر هو معيار للعدالة في التصويت متعدد الفائزين . ويشترط أن يتم تمثيل كل فئة من الناخبين بما يتناسب مع حجمها. ويمكن اعتباره تعميماً لمعيار التمثيل النسبي من التصويت بالقوائم الحزبية إلى أشكال أخرى من الاقتراع، مثل اقتراع الموافقة .

خلفية

يُعدّ التمثيل النسبي أحد الاعتبارات المهمة في تصميم الأنظمة الانتخابية. ويعني ذلك تمثيل مختلف فئات وقطاعات السكان في البرلمان بما يتناسب مع حجمها. النظام الأكثر شيوعًا لضمان التمثيل النسبي هو نظام القوائم الحزبية . في هذا النظام، يُقسّم المرشحون إلى أحزاب، ويصوّت كل مواطن لحزب واحد. يحصل كل حزب على عدد من المقاعد يتناسب مع عدد المواطنين الذين صوّتوا له. على سبيل المثال، في برلمان مكوّن من 10 مقاعد، إذا صوّت 50% من المواطنين للحزب (أ)، و30% للحزب (ب)، و20% للحزب (ج)، فإن التمثيل النسبي يقتضي أن يضم البرلمان 5 مرشحين من الحزب (أ)، و3 مرشحين من الحزب (ب)، ومرشحين اثنين من الحزب (ج). في الواقع، لا تكون النسب دقيقة دائمًا، لذا يُنصح باستخدام طريقة تقريبية، ويمكن تحقيق ذلك من خلال طرق التوزيع المختلفة .

في السنوات الأخيرة، تزايد الاستياء من النظام الحزبي. [ 1 ] ويُعدّ التصويت المباشر للمرشحين باستخدام بطاقات الاقتراع بديلاً عملياً لأنظمة القوائم الحزبية . وهذا يطرح تحدياً جديداً: كيف نُعرّف التمثيل النسبي في غياب مجموعات (أحزاب) مُحددة مسبقاً تستحق هذا التمثيل؟ على سبيل المثال، لنفترض أن ناخباً وافق على المرشحين 1 و2 و3، وناخباً آخر وافق على المرشحين 2 و4 و5، وناخباً ثالثاً وافق على المرشحين 1 و4. ما هو التعريف المنطقي لـ"التمثيل النسبي" في هذه الحالة؟ [ 2 ] وقد طُرحت عدة إجابات، تُعرف مجتمعةً بالتمثيل المُبرّر.

المفاهيم الأساسية

فيما يلي، نرمز إلى عدد المقاعد بالرمز k وعدد الناخبين بالرمز n . حصة هير هي n / k - الحد الأدنى لعدد المؤيدين الذي يبرر مقعدًا واحدًا. في أنظمة التمثيل النسبي القائمة على القوائم الحزبية، يحق لكل مجموعة ناخبين تضم L حصة على الأقل، والذين يصوتون لنفس الحزب، الحصول على L ممثلًا من ذلك الحزب.

إن التعميم الطبيعي لهذه الفكرة هو مجموعة متماسكة من النوع L ، والتي تُعرف بأنها مجموعة من الناخبين الذين لديهم على الأقل L حصة، والذين يوافقون على الأقل L مرشحًا مشتركًا.

ملكيات

من الناحية المثالية، نود أن نشترط أنه في كل مجموعة متماسكة من الرتبة L، يجب أن يكون لكل عضو فيها L ممثل على الأقل. هذا الشرط، المسمى بالتمثيل المبرر القوي ( SJR )، قد يكون غير قابل للتحقيق، كما يتضح من المثال التالي. [ 3 ]

مثال 1. لدينا k = 3 مقاعد و4 مرشحين {أ، ب، ج، د}. يوجد n = 12 ناخبًا بمجموعات موافقة كالتالي: أب، ب، ب، ب ج، ج، ج، ج د، د، د، دا، أ، أ. لاحظ أن حصة هير هي 4. المجموعة {أب، ب، ب، ب ج} متماسكة من الدرجة 1، لأنها تحتوي على حصة واحدة ويوافق جميع الأعضاء على المرشح ب. يشير شرط التمثيل المشترك القوي إلى ضرورة انتخاب المرشح ب. وبالمثل، فإن المجموعة {ب ج، ج ج، ج د} متماسكة من الدرجة 1، مما يستلزم انتخاب المرشح ج. وبالمثل، تتطلب المجموعة {ج د، د، د، دا} انتخاب د، وتتطلب المجموعة {دا، أ، أ، أب} انتخاب أ. لذا، نحتاج إلى انتخاب 4 مرشحين، لكن حجم اللجنة هو 3 فقط. لذلك، لا توجد لجنة تحقق شرط التمثيل المشترك القوي.

هناك عدة طرق لتخفيف مفهوم "الابن القوي".

مجموعات بالإجماع

إحدى الطرق هي ضمان التمثيل فقط لمجموعة بالإجماع (L-unanimum )، وهي مجموعة من الناخبين تضم L حصة على الأقل، والذين يوافقون على نفس المجموعة من المرشحين (L-) على الأقل. يُطلق على هذا الشرط اسم التمثيل المبرر بالإجماع ( UJR ). مع ذلك، فإن مجموعات الإجماع (L-unanimum) نادرة جدًا في أنظمة التصويت بالموافقة، لذا فإن التمثيل المبرر بالإجماع (unanimous-JR) لن يكون ضمانًا فعالًا.

مجموعات متماسكة

بالبقاء مع المجموعات المتماسكة من الدرجة L، يمكننا تخفيف ضمان التمثيل على النحو التالي. نُعرّف رضا الناخب بأنه عدد الفائزين الذين وافق عليهم. يتطلب التمثيل المُبرر القوي (Strong-JR) أن يكون الحد الأدنى لرضا أي عضو في كل مجموعة متماسكة من الدرجة L هو L على الأقل. بدلاً من ذلك، يمكننا اشتراط أن يكون متوسط ​​رضا أعضاء المجموعة L على الأقل. يُسمى هذا الشرط الأضعف بالتمثيل المُبرر المتوسط ​​( AJR ) [ 4 ] أو الحصة العادلة المتوسطة ( AFS ) [ 5 ] . لسوء الحظ، قد يظل هذا الشرط غير قابل للتحقيق. في المثال 1 أعلاه، كما هو الحال في التمثيل المُبرر القوي، يتطلب التمثيل المُبرر المتوسط ​​(average-JR) انتخاب جميع المرشحين الأربعة، ولكن لا يوجد سوى 3 مقاعد. في كل لجنة مكونة من 3 أعضاء، يكون متوسط ​​رضا بعض المجموعات المتماسكة من الدرجة 1 هو 1/2 فقط.

  • يضمن نظام التصويت النسبي بالموافقة لكل مجموعة متماسكة من الرتبة L متوسط ​​رضا أكبر من L - 1. وله صيغة معدلة تُسمى local-search-PAV، تعمل في وقت متعدد الحدود، وتضمن أيضًا متوسط ​​رضا أكبر من L - 1. [ 6 ] : النظرية 1، الخاصية 1. هذا الضمان مثالي: لكل ثابت c > 0، لا توجد قاعدة تضمن متوسط ​​رضا لا يقل عن L - 1 + c . [ 6 ] : الخاصية 2.
  • يمكن تحقيق شرط AJR من خلال اللجان الجزئية - وهي لجان يمكن لأعضائها العمل لجزء من مدة الولاية، أو الحصول على أصوات مرجحة. وعلى وجه الخصوص، فإن قاعدة ناش تحقق شرط AJR [ 5 ] (لاحظ أنه في تلك الورقة يُشار إلى AJR باسم AFS).

يمكننا تخفيف الشرط أكثر باشتراط ألا يقل رضا عضو المجموعة عن L. بعبارة أخرى، في كل مجموعة متماسكة من الدرجة L، يجب أن يكون لعضو واحد على الأقل L من الممثلين المعتمدين. يُسمى هذا الشرط التمثيل المبرر الموسع ( EJR )؛ وقد قدمه وحلله كل من عزيز، وبريل، وكونيتزر، وإلكيند ، وفريمان، ووالش . [ 3 ] يوجد شرط أضعف، يشترط تحقق EJR فقط عندما يكون L=1 (أي للمجموعات المتماسكة من الدرجة 1 فقط)؛ ويُسمى هذا الشرط التمثيل المبرر . [ 3 ] هناك عدة طرق معروفة تحقق EJR:

  • كل لجنة ذات متوسط ​​رضا أكبر من L - 1 تُحقق شرط EJR (وفقًا لمبدأ التوزيع ). [ 6 ] وبالتالي، فإن PAV و local-search-PAV تُحققان شرط EJR. و PAV هي قاعدة التصويت الوحيدة من قواعد ثيل التي تُحقق شرط EJR. [ 3 ]
  • طريقة الحصص المتساوية [ 7 ] هي قاعدة أخرى قابلة للحساب في وقت متعدد الحدود وتفي بـ EJR.
  • خوارزمية أخرى متعددة الأوقات تضمن EJR هي EJR-exact. [ 6 ]
  • تُسمى الخوارزمية البسيطة التي تجد تخصيصًا لـ EJR بخوارزمية EJR الجشعة . تُجري هذه الخوارزمية حلقة تكرارية من k إلى 1، حيث تتحقق مما إذا كانت هناك مجموعة فرعية متماسكة من الناخبين (L-coheated set of nonling). إذا وُجدت، فإنها تختار أكبر مجموعة فرعية متماسكة (L-coheated set of nonling)، وتضيف إليها عددًا من المرشحين (L-filters) الذين حظوا بموافقة جميع الناخبين. [ 8 ] : الخوارزمية 1
  • لا يفي خوارزمية Sequential-PAV بمعيار EJR إلا للمجموعات المتماسكة من الدرجة 1، وفقط عندما تكون قيمة k ≤ 5. أما عندما تكون قيمة k ≥ 6، فإنها لا تفي بمعيار EJR حتى بالنسبة للمجموعات المتماسكة من الدرجة 1. [ 9 ]
  • قاعدة مونرو تحقق شرط EJR فقط للمجموعات المتماسكة من الدرجة 1. [ 9 ]
  • من الممكن التحقق مما إذا كانت لجنة معينة تستوفي معيار EJR.

يُعدّ التمثيل النسبي المبرر ( PJR ) أحد أوجه الضعف الإضافية لنظرية التمثيل القانوني القائم على الكفاءة (EJR ). ويعني هذا أنه لكل L ≥ 1، في كل مجموعة ناخبين متماسكة من L ، يحتوي اتحاد مجموعات موافقاتهم على عدد من الفائزين L. وقد طُرح هذا المفهوم وحُلل من قِبل سانشيز-فرنانديز، وإلكيند ، ولاكنر، وفرنانديز، وفيستيوس، وفال، وسكوورون . [ 4 ]

  • يشترط مبدأ التمثيل المشترك المتساوي (EJR) مبدأ التمثيل المشترك المتساوي (PJR)، ولكن ليس العكس. على سبيل المثال، [ 9 ] : القسم 4 ، لنفترض وجود 2k مرشحًا و k ناخبًا. يوافق الناخب i على المرشح i ، وكذلك على المرشحين k +1، ...، 2k . لاحظ أن الحصة هي ناخب واحد، وأن كل L ناخبًا يمثلون مجموعة متماسكة من الرتبة L. تحقق اللجنة 1، ...، k مبدأ التمثيل المشترك المتساوي (PJR)، لأنه لكل L ناخبًا، يحتوي اتحاد مجموعات موافقاتهم على L فائزًا. لكنها لا تحقق مبدأ التمثيل المشترك المتساوي (EJR)، لأن لكل ناخب فائزًا واحدًا معتمدًا فقط. في المقابل، تحقق اللجنة k +1، ...، 2k مبدأ التمثيل المشترك المتساوي (EJR).
  • يُحقق نظام التصويت بالموافقة الموحد (PAV) متطلبات قاعدة التصويت بالموافقة الموحدة (EJR)، وبالتالي يُحقق متطلبات قاعدة التصويت بالموافقة الموحدة (PJR) أيضًا؛ وهو أيضًا قاعدة التصويت بالموافقة الوحيدة القائمة على الوزن التي تُحقق متطلبات قاعدة التصويت بالموافقة الموحدة. مع ذلك، يُخالف نظام التصويت بالموافقة الموحد التسلسلي متطلبات قاعدة التصويت بالموافقة الموحدة.
  • بعض قواعد التصويت في Phragmen تحقق PJR، وهي: Phragmen leximax - التي يصعب حسابها NP-hard، وPhragmen التسلسلي، الذي يمكن حسابه في وقت متعدد، بالإضافة إلى أنه يحقق رتابة اللجنة . [ 10 ]
  • عندما يقسم k العدد n ، فإن مونرو ومونرو الجشع يحققان شرط PJR. ومع ذلك، عندما لا يقسم k العدد n ، فقد ينتهك كل من مونرو ومونرو الجشع شرط PJR، باستثناء حالة L=1. [ 4 ]
  • هناك قاعدة أخرى قابلة للحساب في كل من PJR والوقت المتعدد، وهي قاعدة الدعم الأقصى الأدنى . [ 11 ]
  • من الممكن التحقق مما إذا كانت لجنة معينة تفي بمعيار PJR. [ 6 ]

مجموعات متماسكة جزئياً

لا تنطبق الشروط المذكورة أعلاه إلا على المجموعات المتماسكة من النوع L. لكن هذه المجموعات قد تكون نادرة في الواقع العملي. [ 12 ] ولا تضمن هذه الشروط أي شيء للمجموعات التي تكاد تكون متماسكة. وهذا ما يحفز البحث عن مفاهيم أكثر قوة لنظرية التماسك المشترك، تضمن شيئًا ما أيضًا للمجموعات المتماسكة جزئيًا.

أحد هذه المفاهيم، وهو شائع جدًا في نظرية الألعاب التعاونية، هو استقرار النواة (CS). [ 3 ] ويعني أنه بالنسبة لأي مجموعة ناخبة ذات L حصة (ليست بالضرورة متماسكة)، إذا انحرفت هذه المجموعة وشكلت لجنة أصغر ذات L مقعدًا، فإن عدد أعضاء اللجنة الذين يوافق عليهم ناخب واحد على الأقل لن يتجاوز عدد أعضاء اللجنة الأصلية. ويمكن اعتبار EJR صيغةً ضعيفةً من استقرار النواة، حيث يُسمح فقط للمجموعات المتماسكة L بالانحراف. ويشترط EJR أنه بالنسبة لأي مجموعة متماسكة L، لا يرغب عضو واحد على الأقل في الانحراف، لأن رضاه الحالي هو L بالفعل، وهو أقصى رضا ممكن مع L ممثل.

  • اعتبارًا من عام 2023، يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كانت لجنة أمن المعلومات موجودة دائمًا.

يقدم بيترز، بيرتشينسكي، وسكوورون [ 7 ] تعريفًا مختلفًا لإضعاف التماسك. بفرض وجود عددين صحيحين L و B ≤ L ، تُسمى مجموعة الناخبين S متماسكة ضعيفة من النوع (L,B) إذا احتوت على L حصة انتخابية على الأقل، وكان هناك مجموعة C من L مرشحًا، بحيث يوافق كل عضو في S على B مرشحًا على الأقل من C. تجدر الإشارة إلى أن التماسك الضعيف من النوع ( L , L ) يُكافئ التماسك من النوع L. تُحقق اللجنة التمثيل المُبرر الكامل ( FJR ) إذا كان في كل مجموعة متماسكة ضعيفة من النوع (L,B) عضو واحد على الأقل يوافق على B فائزًا. من الواضح أن FJR يستلزم EJR.

  • يمكن دائمًا تلبية FJR بواسطة قاعدة التماسك الجشعة (وهي ليست متعددة الوقت)؛ يبقى السؤال مفتوحًا حول ما إذا كانت هناك خوارزميات متعددة الوقت تلبي FJR.

يقدم بريل وبيترز [ 13 ] تعريفًا مختلفًا لإضعاف التماسك. ففي لجنة منتخبة، تُعرَّف المجموعة بأنها محرومة من L حصة إذا احتوت على L حصة على الأقل، بالإضافة إلى موافقة جميع الأعضاء على مرشح واحد على الأقل غير منتخب. وتُحقق اللجنة شرط EJR+ إذا كان الحد الأقصى للرضا لكل مجموعة ناخبين محرومة من L حصة هو L على الأقل (أي أن عضوًا واحدًا على الأقل في المجموعة يوافق على L فائز على الأقل)؛ وتُحقق اللجنة شرط PJR+ إذا كان اتحاد مجموعات الموافقة لكل مجموعة محرومة من L حصة يحتوي على L فائز. ومن الواضح أن EJR+ يستلزم EJR وPJR+، وPJR+ يستلزم PJR.

  • PAV و local-search-PAV و MES تحقق EJR+؛ البراهين هي نفسها البراهين الأصلية، حيث أن البراهين الأصلية لا تستخدم التماسك - فهي تستخدم فقط حقيقة أن مرشحًا واحدًا تمت الموافقة عليه من قبل جميع أعضاء المجموعة لم يتم انتخابه.
  • يوجد أيضًا خوارزمية جشعة متعددة الأوقات تجد لجنة EJR+: قاعدة المرشح المبرر الجشع .
  • يمكن التحقق من PJR+ في وقت متعدد الحدود عن طريق الاختزال إلى تحسين شبه معياري - على عكس PJR الذي يصعب التحقق منه من نوع coNP.
  • يمكن التحقق من صحة EJR+ في وقت متعدد الحدود باستخدام الخوارزمية البسيطة التالية: لكل قيمة L بين 1 و k، ولكل مرشح غير منتخب c: احسب عدد الناخبين الذين وافقوا على c، والذين وافقوا على أقل من L فائزًا. إذا كان عدد هؤلاء الناخبين يساوي على الأقل L حصة، فإن اللجنة تنتهك EJR+.
  • يفي EJR+ بشكل ضعيف من رتابة اللجنة : لكل k ، توجد لجنة EJR+ W بحجم k ، ومرشح غير منتخب c ، بحيث يؤدي إضافة c إلى W إلى لجنة EJR+ (بحجم k +1).

تمثيل مثالي

هناك خاصية أخرى مختلفة وغير مرتبطة، وهي التمثيل الكامل ( PER ). وتعني هذه الخاصية وجود ربط بين كل ناخب وفائز واحد يوافق عليه، بحيث يمثل كل فائز ن / ك من الناخبين بالضبط. ورغم أن التمثيل الكامل قد لا يكون موجودًا، إلا أننا نتوقع أنه في حال وجوده، فسيتم اختياره وفقًا لقاعدة التصويت. [ 4 ]

  • قاعدة التمثيل الكامل (PER) متوافقة مع كل من قاعدة التمثيل الكامل الجزئي (PJR) وقاعدة التمثيل الكامل (JR): فلكل حالة تقبل تمثيلاً كاملاً، توجد لجنة تحقق قاعدة التمثيل الكامل الجزئي. مع ذلك، فإن قاعدة التمثيل الكامل غير متوافقة مع قاعدة التمثيل الكامل الجزئي الموسع (EJR): فهناك حالات توجد فيها تمثيلات كاملة، لكن لا يحقق أي منها قاعدة التمثيل الكامل الجزئي الموسع. تتحقق قاعدة التمثيل الكامل بقاعدة مونرو ، وبقاعدة ليكسيماكس- فراغمن ؛ [ 10 ] لكنها تُنتهك بقاعدة مونرو الجشعة، وقاعدة التمثيل الكامل الجزئي المتسلسل، وقاعدة التمثيل الكامل الجزئي الموسع. [ 4 ]

تداعيات

يوضح المخطط التالي علاقات الاستلزام بين الشروط المختلفة: SJR يستلزم AJR الذي يستلزم EJR؛ CS يستلزم FJR الذي يستلزم EJR؛ وEJR+ يستلزم EJR وPJR+. EJR يستلزم PJR، الذي يستلزم كلاً من UJR وJR. UJR وJR لا يستلزم أحدهما الآخر.

إس جيه آر→إيه جيه آر→إي جيه آر→بي جيه آر→UJR
↑↑→جيه آر
علوم الحاسوب→FJR→↑↑
↑↑
EJR+→↑→PJR+

لا يمكن مقارنة EJR+ بـ CS و FJR. [ 13 ] : ملاحظة 2

لا يأخذ مبدأ التمثيل الكامل بعين الاعتبار إلا الحالات التي يوجد فيها تمثيل كامل. لذلك، لا يستلزم مبدأ التمثيل الكامل أيًا من البديهيات الأخرى، ولا يستلزمها أي منها.

تَحَقّق

بالنظر إلى تفضيلات الناخبين ولجنة محددة، هل يمكننا التحقق بكفاءة مما إذا كانت هذه اللجنة تستوفي أيًا من هذه البديهيات؟ [ 6 ]

  • يمكن التحقق من JR في وقت متعدد الحدود؛
  • PJR و EJR هما coNP-complete للتحقق؛
  • يُعد التحقق من PER مسألة صعبة من نوع NP (تحديد ما إذا كان التمثيل المثالي موجودًا هو مسألة NP-كاملة).

متوسط ​​الرضا – درجة التناسب

يُعرَّف رضا الناخب، في ظل لجنة معينة، بأنه عدد أعضاء اللجنة الذين وافق عليهم ذلك الناخب. ويُحسب متوسط ​​رضا مجموعة من الناخبين بجمع مستويات رضاهم مقسومًا على حجم المجموعة. إذا كانت مجموعة الناخبين متماسكة من الدرجة L (أي أن حجمها لا يقل عن L * n / k ، وأنهم يوافقون على L مرشحًا على الأقل بشكل مشترك)، فإن:

  • يبلغ متوسط ​​رضا كل لجنة من لجان المراجعة المشتركة 1 - 1/ L + 1/( Ln ) على الأقل. وينطبق الأمر نفسه على كل لجنة من لجان المراجعة المشتركة الدائمة.
  • تتمتع كل لجنة من لجان EJR بمستوى رضا متوسط ​​لا يقل عن ( L - 1)/2. ملخص البرهان : يضمن نظام EJR رضا عضو واحد على الأقل في مجموعة متماسكة من الدرجة L ، بمستوى رضا لا يقل عن L. بمجرد إزالة هذا العضو، تصبح المجموعة المتبقية متماسكة من الدرجة ( L - 1) على الأقل، وبالتالي يضمن رضا عضو واحد على الأقل من الأعضاء المتبقين بمستوى رضا لا يقل عن L - 1. يؤدي اتباع هذه الطريقة إلى متوسط ​​رضا قدره L + (L - 1) + ...، وهو أكبر من ( L - 1)/2.
  • لذا، يوفر نظام EJR ضمان رضا أقوى بكثير في أسوأ الحالات مقارنةً بنظام PJR. [ 4 ]
  • كل لجنة ذات متوسط ​​رضا أكبر من L -1 تفي بمعايير EJR.

يضمن التصويت بالموافقة النسبية متوسط ​​رضا أكبر من L - 1. وله صيغة بديلة تُسمى local-search-PAV، تعمل في وقت متعدد الحدود، وتضمن أيضًا متوسط ​​رضا أكبر من L - 1 (لذا فهي EJR). [ 6 ] : النظرية 1، الخاصية 1. هذا الضمان مثالي: لكل ثابت c > 0، لا توجد قاعدة تضمن متوسط ​​رضا لا يقل عن L - 1 + c (انظر المثال 1 أعلاه). [ 6 ] : الخاصية 2.

يدرس سكوورون [ 14 ] درجة التناسب لقواعد التصويت متعددة الفائزين - الحد الأدنى لمتوسط ​​رضا جميع المجموعات ذات حجم معين.

عدد متغير من الفائزين

قام فريمان، وكاهنغ، وبينوك [ 15 ] بتكييف مفهوم الرضا المتوسط ​​ليناسب نظام التصويت متعدد الفائزين مع عدد متغير من الفائزين. ويجادلون بأن بديهيات JR الأخرى لا تُجدي نفعًا مع هذا العدد المتغير من الفائزين، بينما يُعد مفهوم الرضا المتوسط ​​أكثر قوة. ويتضمن هذا التكييف التغييرات التالية:

  • يحصل كل ناخب على الرضا، ليس فقط من مرشح منتخب يوافق عليه، ولكن أيضًا من مرشح غير منتخب لا يوافق عليه (وهذا يجعل المشكلة مشابهة للتصويت متعدد القضايا ، حيث يمثل كل مرشح قضية ثنائية).
  • تكون المجموعة كبيرة من النوع L إذا كانت تحتوي على الأقل على L * n / m من الناخبين (حيث m هو العدد الإجمالي للمرشحين)، ومتماسكة من النوع L إذا اتفق أعضاء المجموعة بالإضافة إلى ذلك على وضع L مرشحين على الأقل (أي: تقاطع A i بالإضافة إلى تقاطع C \ A i هو L على الأقل ).
  • تُعتبر اللجنة ذات رضا متوسط ​​( r-AS ) إذا كان متوسط ​​رضا أعضائها، لكل مجموعة متماسكة (L-) ، لا يقل عن r*L . ويمكن تعميم شروط الرضا المشترك (JR) والرضا المشترك الجزئي (PJR) والرضا المشترك الكامل (EJR) بطريقة مماثلة.
  • تختار قاعدة PAV لجنةً تُعظّم مجموع التوافقيات (sat i )، حيث sat i هي رضا الناخب i . أما قاعدة Phragmen المتسلسلة وطريقة الحصص المتساوية فتقسمان عبء كل مرشح منتخب بين الناخبين الذين يوافقون عليه، وعبء كل مرشح غير منتخب بين الناخبين الذين لا يوافقون عليه. جميع هذه القواعد تُحقق قاعدة PJR. بينما تُخالف قاعدة MES قاعدة EJR؛ ولا يُعرف ما إذا كانت القاعدتان الأخريان تُحققانها.
  • لا يمكن لقاعدة حتمية أن تضمن r -AS عندما r = (m-1)/m+epsilon، لأي قيمة epsilon>0. ولا يمكن لقواعد PAV وPhragmen وMES أن تضمن r -AS عندما r = 1/2+epsilon. ولكن توجد قاعدة عشوائية تحقق (29/32)-AS.

ثمن التمثيل المبرر

إن ثمن التمثيل المبرر هو الخسارة في متوسط ​​الرضا نتيجةً لشرط وجود تمثيل مبرر. وهو مماثل لثمن العدالة . [ 8 ]

دراسة تجريبية

أجرى بريديريك وفاليسزوسكي وكازمارشيك ونييدرماير [ 12 ] دراسة تجريبية للتحقق من عدد اللجان التي تستوفي مختلف بديهيات التمثيل المبرر. ووجدوا أن المجموعات المتماسكة نادرة، وبالتالي فإن نسبة كبيرة من لجان التمثيل المبرر المختارة عشوائيًا تستوفي أيضًا بديهيات التمثيل المبرر الجزئي والتمثيل المبرر الكامل.

في الميزانية التشاركية

الميزانية التشاركية التوافقية (PB) هي تعميم للتصويت متعدد الفائزين، حيث قد يكون لكل مشروع مرشح c تكلفة مختلفة cost(c) ، والهدف هو اختيار مجموعة فرعية من المرشحين بتكلفة إجمالية لا تتجاوز ميزانية ثابتة B. تستحق كل مجموعة S جزءًا من الميزانية الإجمالية يتناسب مع حجمها، أي B *| S |/ n . وقد طوّر عزيز ولي وتالمون بعض التعديلات على بديهيات JR. [ 16 ] وقدّم بيترز وبيرتشينسكي وسكوورون [ 7 ] التعديلات التالية في القسم 3.1 .

  • بالنسبة لنظام الميزانية العامة مع تفضيلات الموافقة: بالنظر إلى مجموعة من المشاريع T ، تُسمى مجموعة الناخبين S متماسكة T إذا كان [أ] حصتهم من الميزانية B *| S |/ n تساوي على الأقل تكلفة( T )، و[ب] يوافق جميع أعضاء S على جميع المشاريع في T. يتطلب EJR أنه في كل مجموعة متماسكة T ، يوافق عضو واحد على الأقل على | T | من المشاريع الفائزة على الأقل (بالنسبة لمنافع العدد)، أو يوافق عضو واحد على الأقل على المشاريع الفائزة التي لا تقل تكلفتها الإجمالية عن تكلفة( T ) (بالنسبة لمنافع التكلفة).
  • في سياق التفضيلات الجمعية الأكثر عمومية: إذا كانت لدينا مجموعة مشاريع T ودالة عتبة U على هذه المجموعة، فإن مجموعة الناخبين S تُسمى متماسكة ( U , T ) إذا كان [أ] حصتهم من الميزانية B *| S |/ n لا تقل عن تكلفة T ، و[ب] يتفق جميع الأعضاء i في S على أن جميع المشاريع c في T قيّمة، أي uᵢ ( c ) ≥ U ( c) . يتطلب نظام EJR أن يحصل عضو واحد على الأقل في كل مجموعة متماسكة ( U , T ) على منفعة من الميزانية الفائزة لا تقل عن U ( T ). يوجد دائمًا تخصيص للميزانية وفقًا لنظام EJR، ويمكن إيجاده باستخدام خوارزمية أسية تُسمى قاعدة التماسك الجشعة . [ 7 ] : القسم 4. مع ذلك، لا يمكن حسابه في وقت متعدد الحدود، عن طريق اختزاله من مسألة حقيبة الظهر .
  • يتطلب نظام EJR1، الذي يسمح بمشروع واحد كحد أقصى، وجود ناخب في كل مجموعة متماسكة ( U , T ) يحقق أحد الشرطين التاليين في الميزانية الفائزة: إما [أ] أن تكون المنفعة على الأقل U(T)، أو [ب] وجود مشروع c في T بحيث إذا أُضيف c إلى اللجنة الفائزة، تكون المنفعة أكبر من U(T). ونظرًا لعدم المساواة الصارمة، يختزل EJR1 إلى EJR في حالة تفضيلات الموافقة. ويُحقق تعديل مناسب لطريقة الحصص المتساوية ، التي تعمل في وقت متعدد الحدود، شرط EJR1 في نموذج الميزانية العامة مع المنافع الجمعية (وبالتالي يُحقق EJR في الحالة الخاصة بتفضيلات الموافقة).

يُعرّف كلٌّ من باباسوتيروبولوس، وبيشبين، وسكيبسكي، وسكوورون، وواس صيغةً كسريةً من EJR، يُطلقون عليها اسم EJR الكسري. [ 17 ] : التعريف 1: بالنظر إلى مجموعة T من المشاريع، ودالة كسرية f من المشاريع إلى [0،1]، ودالة عتبة منفعة U على المشاريع، تُسمى مجموعة S من الناخبين متماسكة ( T ، f ، U ) إذا كان [أ] حصتهم من الميزانية B *| S |/ n على الأقل هي التكلفة الإجمالية للكسور المعطاة،ب⋅(|S|/ن)≥∑ج∈تيو(ج)⋅جosت(ج){\displaystyle B\cdot (|S|/n)\geq \sum _{c\in T}f(c)\cdot cost(c)}و[ب] يتفق جميع الأعضاء i في المجموعة S على أن جميع أجزاء المشاريع c في المجموعة T ذات قيمة.و(ج)⋅uأنا(ص)≥يو(ج){\displaystyle f(c)\cdot u_{i}(p)\geq U(c)}يتطلب نظام العدالة الاقتصادية الجزئية أنه في كل مجموعة متماسكة ( T ، f ، U )، يحصل ناخب واحد على الأقل من تخصيص الميزانية (الذي قد يكون جزئيًا) على منفعة لا تقل عن U(T).

التكيفات

تم تكييف بديهيات التمثيل المبرر لتناسب سياقات مختلفة تتجاوز التصويت البسيط في اللجان.

التصويت على أساس موافقة الحزب

قام كلٌّ من بريل، وجولز، وبيترز، وشميدت-كريبيلين، وويلكر بتكييف بديهيات JR لتناسب التصويت على أساس الموافقة الحزبية . في هذا السياق، بدلاً من الموافقة على مرشحين أفراد، يحتاج الناخبون إلى الموافقة على أحزاب بأكملها. يُمثّل هذا السياق حلاً وسطاً بين انتخابات القوائم الحزبية، حيث يتعين على الناخبين اختيار حزب واحد، والتصويت التقليدي على أساس الموافقة، حيث يُمكن للناخبين اختيار أي مجموعة من المرشحين. في التصويت على أساس الموافقة الحزبية، يُمكن للناخبين اختيار أي مجموعة من الأحزاب، ولكن لا يُمكنهم اختيار مرشحين أفراد داخل الحزب الواحد. وقد تم تكييف بعض بديهيات JR مع هذا السياق على النحو التالي. [ 18 ]

تُسمى مجموعة الناخبين متماسكة من الدرجة L إذا كانت كبيرة من الدرجة L، وكان جميع أعضاء المجموعة يوافقون على حزب واحد على الأقل (على عكس الحالة السابقة، ليس من الضروري أن يوافقوا على L حزبًا، إذ يُفترض أن كل حزب يحتوي على L مرشحًا على الأقل، وأن جميع الناخبين الذين يوافقون على الحزب يوافقون تلقائيًا على جميع هؤلاء المرشحين). بعبارة أخرى، تحتوي المجموعة المتماسكة من الدرجة L على L حصة من الناخبين الذين يتفقون على حزب واحد على الأقل.

  • يعني PJR أنه بالنسبة لكل L ≥ 1، في كل مجموعة ناخبين متماسكة L ، يتم تخصيص L مقعدًا على الأقل للأحزاب الموجودة في اتحاد مجموعات الموافقة الخاصة بها .
  • يعني EJR أنه بالنسبة لكل عدد صحيح L ≥ 1، في كل مجموعة ناخبين متماسكة L ، يتم تخصيص L مقعدًا على الأقل للأحزاب التي وافق عليها ناخب واحد على الأقل .
  • يعني CS أنه بالنسبة لأي مجموعة من الناخبين بحجم L * n / k ناخب (ليس بالضرورة متماسكة)، إذا انحرفت هذه المجموعة وشكلت لجنة أصغر بها L مقعدًا، فإن عدد أعضاء اللجنة من الأحزاب التي يوافق عليها ناخب واحد على الأقل لن يكون أكبر من عدد أعضاء اللجنة الأصلية.

يوضح المثال التالي [ 18 ] الفرق بين نظام الاختيار الموحد (CS) ونظام الاختيار الموحد القائم على النتائج (EJR). لنفترض وجود 5 أحزاب {أ، ب، ج، د، هـ}، و k = 16 مقعدًا، و n = 16 ناخبًا بتفضيلات كالتالي: 4*أب، 3*بج، 1*ج، 4*أد، 3*ديه، 1*هـ. لنفترض لجنةً تضم 8 مقاعد للحزب أ، و4 للحزب ج، و4 للحزب هـ. عدد ممثلي الناخبين هو: 8، 4، 4، 8، 4، 4. هذا ليس نظام اختيار موحد (CS): لنفترض مجموعة من 14 ناخبًا يوافقون على أب، بج، أد، ديه. يمكنهم تشكيل لجنة تضم 4 مقاعد للحزب أ، و5 مقاعد للحزب ب، و5 مقاعد للحزب د. الآن، عدد الممثلين هو: 9، 5، 0، 9، 5، 0، لذا فإن جميع أعضاء الائتلاف المنحرف أكثر رضا. ومع ذلك، فإن اللجنة الأصلية تستوفي معايير EJR. لاحظ أن الحصة هي 1. أكبر قيمة لـ L التي توجد لها مجموعة متماسكة هي L = 8 (ناخبو ab و ad)، وقد خُصصت لهذه المجموعة 8 مقاعد.

الانتخابات القائمة على الترتيب

ينبع مفهوم JR من مفهوم سابق، قدمه مايكل دوميت للانتخابات القائمة على الترتيب. وينص شرطه على أنه لكل عدد صحيح L ≥ 1، ولكل مجموعة حجمها على الأقل L * n / k ، إذا رتبت المجموعة المرشحين L أنفسهم في أعلى القائمة، فيجب انتخاب هؤلاء المرشحين L. [ 19 ]

بطاقات اقتراع ثلاثية الخيارات

قام تالمون وبيج [ 20 ] بتوسيع بعض بديهيات JR من استمارات الموافقة إلى استمارات التصويت الثلاثية (ذات الخيارات الثلاثة)، مما يسمح لكل ناخب بالتعبير عن مشاعر إيجابية أو سلبية أو محايدة تجاه كل مرشح. وقد قدما فئتين من التعميمات: أقوى ("الفئة الأولى") وأضعف ("الفئة الثانية").

يقترحون بعض قواعد التصويت المصممة خصيصًا للأوراق الانتخابية الثلاثية، ويظهرون من خلال عمليات المحاكاة مدى استيفاء قواعدهم لبديهيات JR المعدلة.

التناسب التنازلي والتراجعي

يُمنح مبدأ التناسب التنازلي (أو التناسب التصاعدي أحيانًا) المجموعات الأصغر عددًا من الممثلين يفوق ما تستحقه نسبيًا ، وهو مبدأ يستخدمه البرلمان الأوروبي . فعلى سبيل المثال، اقترح بنروز أن تُمثَّل كل مجموعة بما يتناسب مع الجذر التربيعي لحجمها.

يُعد التنوع أقصى أشكال التناسب التنازلي ، ما يعني أن اللجنة يجب أن تُمثل أكبر عدد ممكن من الناخبين. وتهدف قاعدة تشامبرلين-كورانت (CC) للتصويت إلى تحقيق أقصى قدر من التنوع. وتُعد هذه الأفكار جذابة بشكل خاص للديمقراطية التداولية ، حيث من المهم الاستماع إلى أكبر عدد ممكن من الأصوات المتنوعة.

من جهة أخرى، تعني التناسبية التراجعية منح المجموعات الكبيرة تمثيلاً يفوق تمثيلها النسبي. أما أقصى درجات التناسبية التراجعية فهو التميز الفردي ، ما يعني أن تضم اللجنة أعضاءً يحظون بأكبر عدد من الأصوات. [ 9 ] : القسم 4.5: تعمل قاعدة التصويت بالموافقة الجماعية على تعظيم التميز الفردي.

يُبين لاكنر وسكوورون [ 21 ] أن قواعد تصويت ثيل يُمكن استخدامها للتوفيق بين التناسب التنازلي والتناسب التراجعي: فقاعدة PAV تناسبية؛ والقواعد التي يكون فيها ميل دالة النتيجة أعلى من ميل PAV تُحقق التناسب التنازلي؛ والقواعد التي يكون فيها ميل دالة النتيجة أقل من ميل PAV تُحقق التناسب التراجعي. علاوة على ذلك، [ 22 ] إذا كانت درجة رضا المرشح الموافق عليه رقم i هي (1/ p ) i ، فبالنسبة لقيم p المختلفة ، نحصل على الطيف الكامل بين CC وAV.

قام جاورسكي وسكوورون [ 23 ] بوضع فئة من القواعد التي تعمم قاعدة التصويت التسلسلي لفرغمين . وبشكل بديهي، يتم الحصول على صيغة تنازلية بافتراض أن الناخبين الذين لديهم بالفعل عدد أكبر من الممثلين يكسبون المال بمعدل أبطأ من أولئك الذين لديهم عدد أقل. ويتم تطبيق التناسب التنازلي بافتراض أن المرشحين الذين يحصلون على موافقة عدد أكبر من الناخبين يكلفون أقل من أولئك الذين حصلوا على عدد أقل من الموافقات.

المرشحون القابلون للتجزئة

تم توسيع نموذج انتخاب اللجنة ليشمل حالةً يكون فيها عدد المرشحين متصلاً، بدلاً من مجموعة محدودة، ومُمثَّلاً بفترة حقيقية [0، c ]. والهدف هو اختيار مجموعة جزئية من هذه الفترة، بطول إجمالي لا يتجاوز k ، حيث يمكن أن يكون k و c أي عددين حقيقيين بحيث 0 < k < c . ويمكن توسيع بديهيات PJR و EJR و AJR لتشمل هذه الحالة من خلال النظر في المجموعات المتماسكة من الرتبة L لأي عدد حقيقي L > 0. وتُحقق قاعدة أقصى رفاهية ناش (التي يمكن اعتبارها النظير المتصل للتصويت النسبي بالموافقة ) بديهية AJR، وبالتالي بديهيتي EJR و PJR أيضًا. [ 24 ] : القسم 7

قام كلٌّ من لو، وبيترز، وعزيز، وبي، وسوكسومبونغ [ 25 ] بتوسيع هذه التعريفات لتشمل حالاتٍ ذات مرشحين مختلطين قابلين للقسمة وغير قابلين لها: حيث توجد مجموعة من m مرشحًا غير قابل للقسمة، بالإضافة إلى مجموعة الكعكة [0، c ]. قد يكون التعريف الموسع لـ EJR، الذي يسمح بالمجموعات المتماسكة من النوع L ذات L غير صحيح، غير قابل للتحقيق. وقد عرّفوا نوعين من التخفيف:

  • يضمن EJR-M لأي مجموعة متماسكة من الرتبة L، عندما تكون هناك مجموعة موارد بحجم إجمالي L بالضبط ، أن يحصل عضو واحد على الأقل منفعة لا تقل عن L. ويختزل EJR-M إلى EJR في كل من الحالات التي تحتوي على مرشحين غير قابلين للتجزئة فقط وفي الحالات التي تحتوي على مرشح قابل للتجزئة فقط.
  • يضمن EJR- β (لأي عدد حقيقي β ) لأي مجموعة متماسكة من النوع L أن يحصل عضو واحد على الأقل في المجموعة على منفعة أكبر من L- β .

يثبتون أن:

  • بالنسبة لأي قيمة β <1، قد يكون من غير الممكن تحقيق EJR- β .
  • قاعدة ناش لا تحقق شرط EJR- β لأي قيمة β .
  • قاعدة تسمى greedy-EJR تحقق EJR-M، ولكنها تعمل في وقت أسي، ولها درجة تناسب ~ L /2.
  • إن تعميم الحصص المتساوية يحقق EJR-1 ولكنه لا يحقق EJR-M، ولكنه يحقق EJR للحالات القابلة للقسمة فقط، وله درجة تناسب ~ L /2.
  • إن تعميم PAV، باستخدام امتداد تحليلي للسلسلة التوافقية، يحقق EJR-1 ولكن ليس EJR-M، ولا يحقق EJR للحالات القابلة للقسمة فقط، وله درجة تناسب أكبر من L -1.

تعديلات أخرى

  • قام كل من بولتو، وهازون، وبيج، وروزنفيلد، وتالمون [ 26 ] بتكييف بديهيات JR لتناسب التصويت متعدد القضايا (المعروف أيضًا باسم: التصويت الدائم، أو صنع القرار العام، أو صنع القرار المتسلسل). وقد تم توسيع نطاق عملهم لاحقًا من قبل تشاندك، وساشوات، وبيترز. [ 27 ]
  • قام بريل ولاسلييه وسكوورون [ 28 ] بتكييف JR مع التناسب التنازلي - مما يمنح وزنًا أكبر للأقليات.
  • قام مافروف وموناجالا وشين [ 29 ] بدراسة المبادئ الأساسية ومبادئ JR عندما تكون هناك قيود على اللجنة.
  • قام كل من موناجالا، وشين، ووانغ، ووانغ [ 30 ] بدراسة التقريب المضاعف للجوهر عندما يكون لدى الوكلاء وظائف إرضاء غير جمعية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "السخط من السياسة الحزبية يصل إلى مستويات جديدة" . صحيفة نيويورك تايمز . 21 سبتمبر 2023.
  2. ^ بيوتر فاليزيفسكي، بيوتر سكورون، أركادي سلينكو، نمرود تالمون (26/10/2017). "التصويت متعدد الفائزين: تحدٍ جديد لنظرية الاختيار الاجتماعي" . في اندريس، أولي (محرر). الاتجاهات في الاختيار الاجتماعي الحسابي . لولو.كوم. رقم ISBN 978-1-326-91209-3.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  3. 1 2 3 4 5 عزيز، حارث؛ بريل، ماركوس؛ كونيتزر، فنسنت؛ إلكيند، إديث؛ فريمان، روبرت؛ والش، توبي (2017). "التمثيل المبرر في التصويت القائم على الموافقة في اللجان" . الاختيار الاجتماعي والرفاهية . 48 (2): 461-485 . arXiv : 1407.8269 . doi : 10.1007 /s00355-016-1019-3 . S2CID 8564247 . 
  4. 1 2 3 4 5 6 سانشيز فرنانديز، لويس؛ إلكيند، إديث؛ لاكنر، مارتن؛ فرنانديز، نوربرتو؛ فيستيوس، يسوع؛ فال، بابلو باسانتا؛ سكورون ، بيوتر (2017/02/10). “التمثيل النسبي المبرر” . وقائع مؤتمر AAAI حول الذكاء الاصطناعي . 31 (1). أرخايف : 1611.09928 . دوى : 10.1609/aaai.v31i1.10611 . ردمك 2374-3468 . S2CID 17538641 .  
  5. 1 2 عزيز، حارث؛ بوغومولنايا، آنا؛ مولان، هيرفيه (17-06-2019). "الخلط العادل: حالة التفضيلات الثنائية" (ملف PDF) . وقائع مؤتمر ACM للاقتصاد والحوسبة لعام 2019. EC '19. نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: رابطة آلات الحوسبة. الصفحات 753-781 . doi : 10.1145/3328526.3329552 . ISBN  978-1-4503-6792-9. S2CID 7436482 . 
  6. 1 2 3 4 5 6 7 8 عزيز، حارس؛ إلكيند، إديث؛ هوانغ، شينوي؛ لاكنر، مارتن؛ سانشيز فرنانديز، لويس؛ سكورون ، بيوتر (25/04/2018). "حول تعقيد التمثيل المبرر الموسع والنسبي" . وقائع مؤتمر AAAI حول الذكاء الاصطناعي . 32 (1). دوى : 10.1609/aaai.v32i1.11478 . ردمك 2374-3468 . S2CID 19124729 .  
  7. 1 2 3 4 بيترز، دومينيك؛ بيرتشينسكي، غريغورز؛ سكاورون، بيوتر (2021). "الميزانية التشاركية النسبية مع المنافع الإضافية" . التطورات في أنظمة معالجة المعلومات العصبية . 34. كوران أسوشيتس، إنك: 12726-12737 . arXiv : 2008.13276 .
  8. إلكيند ، إديث؛ فاليشيفسكي، بيوتر؛ إيغاراشي، أيومي؛ مانورانغسي، باسين؛ شميدت-كريبيلين، أولريكه؛ سوكسومبونغ، ​​واروت (2024). "ثمن التمثيل المبرر". معاملات ACM في الاقتصاد والحوسبة . 12 (3): 1-27 . arXiv : 2112.05994 . doi : 10.1145/3676953 .
  9. 1 2 3 4 لاكنر، مارتن؛ سكاورون، بيوتر (2023). التصويت متعدد الفائزين مع تفضيلات الموافقة . سبرينغر نيتشر. hdl : 20.500.12657/60149 . ISBN 978-3-031-09016-5.
  10. 1 2 بريل، ماركوس؛ فريمان، روبرت؛ جانسون، سفانتي؛ لاكنر، مارتن (2023-03-06). "طرق التصويت لفراجمن والتمثيل المبرر" . البرمجة الرياضية . 203 ( 1-2 ): 47-76 . arXiv : 2102.12305 . doi : 10.1007/s10107-023-01926-8 . ISSN 1436-4646 . PMC 10858002. PMID 38344413 .   
  11. ^ سانشيز فرنانديز، لويس. فرنانديز، نوربرتو؛ فيستيوس، خيسوس أ؛ بريل ، ماركوس (2018/09/05). “طريقة دعم Maximin: امتداد لطريقة D’Hondt لانتخابات الفائزين المتعددين القائمة على الموافقة”. أرخايف : 1609.05370 [ cs.GT ].
  12. 1 2 بريديريك، روبرت؛ فاليشيفسكي، بيوتر؛ كاتشمارشيك، أندريه؛ نيدرماير، رولف (10 أغسطس 2019). "نظرة تجريبية على اللجان التي توفر تمثيلاً مبرراً" . وقائع المؤتمر الدولي المشترك الثامن والعشرين حول الذكاء الاصطناعي . IJCAI'19. ماكاو، الصين: مطبعة AAAI: 109-115 . ISBN 978-0-9992411-4-1.
  13. 1 2 بريل، ماركوس؛ بيترز، جانيك (2023). "بديهيات التناسب القوية والقابلة للتحقق للتصويت متعدد الفائزين". arXiv : 2302.01989 [ cs.GT ].
  14. ↑ سكاورون، بيوتر (18 يوليو 2021). "درجة التناسب في قواعد الفائزين المتعددين" . وقائع المؤتمر الثاني والعشرين لجمعية آلات الحوسبة حول الاقتصاد والحوسبة . EC '21. نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: جمعية آلات الحوسبة. الصفحات 820-840 . arXiv : 1810.08799 . doi : 10.1145/3465456.3467641 . ISBN  978-1-4503-8554-1. S2CID 53046800 . 
  15. ↑ فريمان، روبرت؛ كانغ، أنسون؛ بينوك، ديفيد م. (2021-01-07). "التناسب في الانتخابات القائمة على الموافقة مع عدد متغير من الفائزين" . وقائع المؤتمر الدولي المشترك التاسع والعشرين حول الذكاء الاصطناعي . IJCAI'20. يوكوهاما، اليابان: 132-138 . ISBN 978-0-9992411-6-5.
  16. ↑ عزيز، حارس؛ لي، بارتون إي؛ تالمون، نمرود (9 يوليو 2018). "الميزانية التشاركية التمثيلية النسبية: البديهيات والخوارزميات". وقائع المؤتمر الدولي المشترك الثالث حول الأنظمة المستقلة والأنظمة متعددة الوكلاء - المجلد 1. الصفحات 23-31 . arXiv : 1711.08226 . doi : 10.65109/QHUQ3213 . ISBN  978-1-58113-864-1.
  17. ↑ باباسوتيروبولوس، جورجيوس؛ بيشبين، سيدة زينب؛ سكيبسكي، أوسكار؛ سكاورون، بيوتر؛ واس، توماش (2025-07-02). "طريقة الحصص المتساوية مع الإنفاق الزائد المحدود" . وقائع المؤتمر السادس والعشرين لجمعية آلات الحوسبة حول الاقتصاد والحوسبة . EC '25. نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: جمعية آلات الحوسبة. الصفحات 841-868 . doi : 10.1145/3736252.3742637 . ISBN  979-8-4007-1943-1.
  18. 1 2 بريل، ماركوس؛ غولز، بول؛ بيترز، دومينيك؛ شميدت-كريبيلين، أولريك؛ ويلكر، كاي (2020-04-03). "التوزيع القائم على الموافقة" . وقائع مؤتمر AAAI حول الذكاء الاصطناعي . 34 (2): 1854-1861 . arXiv : 1911.08365 . doi : 10.1609/aaai.v34i02.5553 . ISSN 2374-3468 . S2CID 208158445 .  
  19. ↑ دوميت، مايكل (1984). إجراءات التصويت . مطبعة جامعة أكسفورد، المملكة المتحدة.
  20. ↑ تالمون، نمرود؛ بيج، روتفيك (2021). "التناسب في اختيار اللجنة مع المشاعر السلبية". arXiv : 2101.01435 [ cs.GT ].
  21. ↑ لاكنر، مارتن؛ سكاورون، بيوتر (11 يونيو 2018). "قواعد متسقة قائمة على الموافقة للفائزين المتعددين" . وقائع مؤتمر ACM للاقتصاد والحوسبة لعام 2018. EC '18. نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: رابطة آلات الحوسبة. الصفحات 47-48 . arXiv : 1704.02453 . doi : 10.1145/3219166.3219170 . ISBN  978-1-4503-5829-3.
  22. ↑ لاكنر، مارتن؛ سكاورون، بيوتر (2020-11-01). "ضمانات الرفاهية والتمثيل النفعية لقواعد الفائزين المتعددين القائمة على الموافقة". الذكاء الاصطناعي . 288 103366. arXiv : 1801.01527 . doi : 10.1016/j.artint.2020.103366 . ISSN 0004-3702 . 
  23. ↑ Jaworski, Michal; Skowron, Piotr (2022). "Phragmén Rules for Degressive and Regressive Yearability". arXiv : 2201.04248 [ cs.GT ].
  24. ↑ بي، شياوهوي؛ لو، شينهانغ؛ سوكسومبونغ، ​​واروت (2025-02-01). "مشاركة الكعكة بصدق" . الاختيار الاجتماعي والرفاهية . 64 (1): 309-343 . doi : 10.1007/s00355-023-01503-0 . ISSN 1432-217X . 
  25. ↑ لو، شينهانغ؛ بيترز، جانيك؛ عزيز، هاريس؛ باي، شياوهوي؛ سوكسومبونغ، ​​واروت (2023-06-26). "التصويت القائم على الموافقة مع السلع المختلطة" . وقائع مؤتمر AAAI حول الذكاء الاصطناعي . 37 (5): 5781-5788 . arXiv : 2211.12647 . doi : 10.1609/aaai.v37i5.25717 . ISSN 2374-3468 . 
  26. ↑ بولتو، لوران؛ هازون، نوام؛ بيج، روتفيك؛ روزنفيلد، أرييل؛ تالمون، نمرود (2021). "التمثيل المبرر للتصويت الدائم" . IEEE Access . 9 : 96598–96612 . Bibcode : 2021IEEEA...996598B . doi : 10.1109/ACCESS.2021.3095087 . ISSN 2169-3536 . S2CID 235966019 .  
  27. ↑ تشاندك، نيخيل؛ جويل، شاشوات؛ بيترز، دومينيك (2023-06-26). "التجميع النسبي للتفضيلات لاتخاذ القرارات المتسلسلة". arXiv : 2306.14858 [ cs.GT ].
  28. ↑ بريل، ماركوس؛ لاسلييه، جان فرانسوا؛ سكاورون، بيوتر (2018-07-01). "قواعد الموافقة متعددة الفائزين كطرق لتوزيع المقاعد" . مجلة السياسة النظرية . 30 (3): 358-382 . arXiv : 1611.08691 . doi : 10.1177/0951629818775518 . ISSN 0951-6298 . S2CID 10535322 .  
  29. ^ مافروف، إيفان ألكسندر؛ موناجالا، كاميش؛ شين ييهينج (2023). “انتخابات عادلة متعددة الفائزين مع قيود التخصيص”. أرخايف : 2305.02868 [ cs.GT ].
  30. ↑ موناجالا، كاميش؛ شين، ييهينغ؛ وانغ، كانغنينغ؛ وانغ، تشيي (2021). "الأساس التقريبي لاختيار اللجنة عبر التمديد متعدد الخطوط وتصفية السوق". arXiv : 2110.12499 [ cs.GT ].