طريقة رسوم الصورة

أبسط مثال على طريقة الشحنات الوهمية هو مثال الشحنة النقطية، ذات الشحنة q ، الموجودة عند${\displaystyle (0,0,a)}$فوق أساس لانهائي (أي:${\displaystyle V=0}$لوحة موصلة في المستوى xy . لتبسيط هذه المسألة، يمكننا استبدال لوحة تساوي الجهد بشحنة −q ، تقع عند${\displaystyle (0,0,-a)}$سيُنتج هذا الترتيب نفس المجال الكهربائي عند أي نقطة يكون فيها${\displaystyle z>0}$(أي فوق الصفيحة الموصلة)، ويحقق شرط الحد الذي ينص على أن الجهد على طول الصفيحة يجب أن يكون صفرًا. هذا الوضع مكافئ للإعداد الأصلي، وبالتالي يمكن الآن حساب القوة المؤثرة على الشحنة الحقيقية باستخدام قانون كولوم بين شحنتين نقطيتين. ^{[ 2 ]}

يُعطى الجهد عند أي نقطة في الفضاء، الناتج عن شحنتين نقطيتين، الأولى + q عند + a والثانية -q عند -a على المحور z ، في الإحداثيات الأسطوانية كما يلي:

${\displaystyle V\left(\rho ,\varphi ,z\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(za\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,}$

وبالتالي، فإن كثافة الشحنة السطحية على المستوى المؤرض تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \sigma =-\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {-qa}{2\pi \left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}}$

بالإضافة إلى ذلك، ستكون الشحنة الكلية المستحثة على المستوى الموصل هي تكامل كثافة الشحنة على كامل المستوى، لذا:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}}$

تبين أن إجمالي الشحنة المستحثة على المستوى يساوي ببساطة −q . ويمكن ملاحظة ذلك أيضاً من قانون جاوس ، حيث أن مجال ثنائي القطب يتناقص مع مكعب المسافة عند المسافات الكبيرة، وبالتالي فإن التدفق الكلي للمجال عبر كرة لا نهائية الحجم يتلاشى.

لأن المجالات الكهربائية تحقق مبدأ التراكب ، يمكن استبدال المستوى الموصل الموجود أسفل شحنات نقطية متعددة بصور معكوسة لكل شحنة على حدة، دون الحاجة إلى أي تعديلات أخرى.

صورة لعزم ثنائي القطب الكهربائي p عند${\displaystyle (0,0,a)}$يوجد عزم ثنائي القطب فوق مستوى موصل أرضي لانهائي في المستوى xy .${\displaystyle (0,0,-a)}$بمقدار واتجاه متساويين، تدور حول محورها بزاوية π. أي عزم ثنائي القطب ذو مركبات ديكارتية${\displaystyle (p\sin \theta \cos \phi ,p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$سيكون له عزم ثنائي القطب في الصورة${\displaystyle (-p\sin \theta \cos \phi ,-p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$يتعرض ثنائي القطب لقوة في اتجاه المحور z ، معطاة بالعلاقة التالية :

${\displaystyle F=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3p^{2}}{16a^{4}}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

وعزم دوران في المستوى العمودي على ثنائي القطب والمستوى الموصل،

${\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {p^{2}}{16a^{3}}}\sin 2\theta }$

يمكن تطبيق طريقة الصور على الكرة أيضًا. ^{[ 4 ]} في الواقع، تُعد حالة الشحنات الصورية في مستوى ما حالة خاصة من حالة الصور للكرة. بالرجوع إلى الشكل، نريد إيجاد الجهد داخل كرة مؤرضة نصف قطرها R ، مركزها نقطة الأصل، نتيجة لشحنة نقطية داخل الكرة عند الموضع${\displaystyle \mathbf {p} }$(في الحالة المعاكسة، أي الجهد خارج الكرة الناتج عن شحنة خارجها، تُطبق الطريقة بطريقة مماثلة). في الشكل، يُمثل هذا الجهد بالنقطة الخضراء. لنفترض أن q هي الشحنة النقطية لهذه النقطة. صورة هذه الشحنة بالنسبة للكرة المؤرضة موضحة باللون الأحمر. تبلغ شحنتها q ′ = −qR / p وتقع على خط يصل بين مركز الكرة والشحنة الداخلية عند الموضع المتجهي.${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$يمكن ملاحظة أن الجهد عند نقطة محددة بواسطة متجه نصف القطر${\displaystyle \mathbf {r} }$الناتج عن الشحنتين وحدهما يُعطى بمجموع الكمونات:

${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {r} )={\frac {q}{|\mathbf {r} _{1}|}}+{\frac {(-qR/p)}{|\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}+{\frac {(-qR/p)}{\sqrt {r^{2}+{\frac {R^{4}}{p^{2}}}-{\frac {2R^{2}}{p^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}}$

ينتج عن ضرب التعبير الموجود في أقصى اليمين ما يلي:

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]}$

ويمكن ملاحظة أنه على سطح الكرة (أي عندما r = R )، ينعدم الجهد. وبالتالي، يُعطى الجهد داخل الكرة بالصيغة المذكورة أعلاه لجهد الشحنتين. ولن يكون هذا الجهد صالحًا خارج الكرة، لأن الشحنة الوهمية غير موجودة فعليًا، وإنما تمثل كثافات الشحنة السطحية المستحثة على الكرة بواسطة الشحنة الداخلية.${\displaystyle \mathbf {p} }$يتحدد الجهد خارج الكرة المؤرضة فقط بتوزيع الشحنة خارج الكرة، ويكون مستقلاً عن توزيع الشحنة داخلها. إذا افترضنا، تبسيطًا ( دون الإخلال بعمومية الحل )، أن الشحنة الداخلية تقع على المحور z، فإن كثافة الشحنة المستحثة ستكون ببساطة دالة للزاوية القطبية θ ، وتُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \sigma (\theta )=\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|_{r=R}={\frac {-q\left(R^{2}-p^{2}\right)}{4\pi R\left(R^{2}+p^{2}-2pR\cos \theta \right)^{3/2}}}}$

يمكن إيجاد الشحنة الكلية على الكرة عن طريق التكامل على جميع الزوايا:

${\displaystyle Q_{t}=\int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,\,\sigma (\theta )R^{2}\sin \theta =-q}$

لاحظ أن المسألة المتبادلة تُحل أيضًا بهذه الطريقة. إذا كان لدينا شحنة q عند موضع متجه${\displaystyle \mathbf {p} }$خارج كرة مؤرضة نصف قطرها R ، يُعطى الجهد خارج الكرة بمجموع جهدي الشحنة وشحنتها الوهمية داخل الكرة. وكما في الحالة الأولى، ستكون شحنة الشحنة الوهمية −qR / p ، وستكون في الموضع المتجهي.${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$يعتمد الجهد داخل الكرة فقط على التوزيع الحقيقي للشحنة داخلها. وعلى عكس الحالة الأولى، ستكون قيمة التكامل −qR / p .

صورة ثنائي القطب الكهربائي النقطي أكثر تعقيدًا بعض الشيء. إذا تم تصوير ثنائي القطب على أنه شحنتان كبيرتان تفصل بينهما مسافة صغيرة، فإن صورة ثنائي القطب لن تتغير فيها الشحنات فقط وفقًا للإجراء المذكور أعلاه، بل ستتغير المسافة بينهما أيضًا. باتباع الإجراء المذكور أعلاه، نجد أن ثنائي القطب له عزم ثنائي قطب${\displaystyle M}$في موضع المتجه${\displaystyle \mathbf {p} }$سيكون للكرة التي تقع داخل الكرة ذات نصف القطر R صورة تقع عند موضع المتجه${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$(أي نفس ما ينطبق على الشحنة البسيطة) وستكون لها شحنة بسيطة مقدارها:

${\displaystyle q'={\frac {R\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} }{p^{3}}}}$

وعزم ثنائي القطب مقداره:

${\displaystyle \mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]}$

• جاكسون، جون د. (1962). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . جون وايلي وأولاده .
• جينز، جيمس هـ. (1908). النظرية الرياضية للكهرباء والمغناطيسية . مطبعة جامعة كامبريدج .