Spherical coordinate system

In mathematics, a spherical coordinate system specifies a given point in three-dimensional space by using a distance and two angles as its three coordinates. These are

• the radial distance, r, along the line connecting the point to a fixed point called the origin;
• the polar angle, θ, between this radial line and a given polar axis;^[a] and
• the azimuthal angle, φ, which is the angle of rotation of the radial line around the polar axis.^[b]

(See graphic regarding the "physics convention".)

Once the radius is fixed, the three coordinates (r, θ, φ), known as a 3-tuple, provide a coordinate system on a sphere, typically called the spherical polar coordinates. The plane passing through the origin and perpendicular to the polar axis (where the polar angle is a right angle) is called the reference plane (sometimes fundamental plane).

تُسمى المسافة القطرية من نقطة الأصل الثابتة أيضًا بنصف القطر ، أو الخط القطري ، أو الإحداثي القطري . ويمكن تسمية الزاوية القطبية بزاوية الميل ، أو زاوية السمت ، أو الزاوية العمودية ، أو خط العرض المكمل . ويمكن للمستخدم استبدال زاوية الميل بمتممتها ، وهي زاوية الارتفاع (أو زاوية العلو )، المقاسة لأعلى بين المستوى المرجعي والخط القطري - أي من المستوى المرجعي لأعلى (باتجاه المحور z الموجب) إلى الخط القطري. زاوية الانخفاض هي معكوس زاوية الارتفاع. (انظر الرسم التوضيحي للاطلاع على "الاصطلاح الفيزيائي" - وليس "الاصطلاح الرياضي").

يختلف استخدام الرموز وترتيب تسمية إحداثيات المجموعة بين المصادر والتخصصات المختلفة. ستستخدم هذه المقالة اصطلاح ISO ^{[ 1 ]} الشائع في الفيزياء ، حيث تُحدد المجموعة التسمية على النحو التالي: المسافة القطرية، الزاوية القطبية، الزاوية السمتية، أو${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$(انظر الرسم البياني المتعلق بـ "الاتفاقية الفيزيائية"). في المقابل، تُعطي الاتفاقيات في العديد من كتب ونصوص الرياضيات ترتيب التسمية بشكل مختلف على النحو التالي: المسافة الشعاعية، "الزاوية السمتية"، "الزاوية القطبية"، و${\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )}$أو${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$— مما يبدل استخدامات ومعاني الرمزين θ و φ. ويمكن استخدام اصطلاحات أخرى أيضًا، مثل r لنصف قطر من المحور z لا يكون من نقطة الأصل.

وفقًا لاتفاقيات أنظمة الإحداثيات الجغرافية ، تُقاس المواقع بخطوط العرض والطول والارتفاع. توجد عدة أنظمة إحداثيات سماوية تعتمد على مستويات أساسية مختلفة وتستخدم مصطلحات مختلفة للإحداثيات المتنوعة. تستخدم أنظمة الإحداثيات الكروية المستخدمة في الرياضيات عادةً الراديان بدلًا من الدرجات (لاحظ أن 90 درجة تساوي π / 2 راديان). وقد تقيس هذه الأنظمة، وفقًا للاتفاقيات الرياضية، الزاوية السمتية عكس اتجاه عقارب الساعة (أي من اتجاه الجنوب على المحور السيني ، أو 180 درجة، باتجاه الشرق على المحور الصادي ، أو +90 درجة) - بدلًا من قياسها مع اتجاه عقارب الساعة (أي من اتجاه الشمال على المحور السيني، أو 0 درجة، باتجاه الشرق على المحور الصادي، أو +90 درجة)، كما هو الحال في نظام الإحداثيات الأفقية . ^{[ 2 ]} (انظر الرسم البياني الخاص بـ "الاتفاقيات الرياضية").

يمكن اعتبار نظام الإحداثيات الكروية في الفيزياء تعميماً لنظام الإحداثيات القطبية في الفضاء ثلاثي الأبعاد . ويمكن توسيعه ليشمل فضاءات ذات أبعاد أعلى، ويُشار إليه حينها بنظام الإحداثيات الكروية الفائقة .

لتعريف نظام إحداثيات كروية، يجب تحديد نقطة أصل في الفضاء، O ، واتجاهين متعامدين: اتجاه سمت الرأس واتجاه سمت الزاوية . تحدد هذه الخيارات مستوى مرجعيًا يُعرَّف عادةً بأنه يحتوي على نقطة الأصل والمحورين x و y ، ويمكن اعتبار أي منهما اتجاه سمت الزاوية . يكون المستوى المرجعي عموديًا على اتجاه سمت الرأس، ويُشار إليه عادةً بأنه "أفقي" بالنسبة إلى "الرأسي" لاتجاه سمت الرأس. تُعرَّف الإحداثيات الكروية للنقطة P كما يلي :

• نصف القطر أو المسافة الشعاعية هي المسافة الإقليدية من نقطة الأصل O إلى P.
• الميل (أو الزاوية القطبية ) هو الزاوية الموجهة من اتجاه سمت الرأس المرجعي إلى القطعة المستقيمة OP . ( يمكن استخدام الارتفاع كزاوية قطبية بدلاً من الميل ؛ انظر أدناه) .
• السمت (أو الزاوية السمتية ) هو الزاوية الموقعة المقاسة من اتجاه السمت المرجعي إلى الإسقاط المتعامد لقطعة الخط الشعاعي OP على المستوى المرجعي.

تُحدد إشارة السمت بتحديد اتجاه الدوران الموجب حول نقطة السمت. هذا الاختيار اعتباطي، وهو جزء من تعريف نظام الإحداثيات. (إذا كان الميل إما صفرًا أو 180 درجة ( π راديان)، فإن السمت يكون اعتباطيًا. إذا كان نصف القطر صفرًا، فإن كلًا من السمت والميل يكونان اعتباطيين).

الارتفاع هو الزاوية الموجهة من مستوى الإسناد xy إلى القطعة المستقيمة الشعاعية OP ، حيث تُشير الزوايا الموجبة إلى الاتجاه لأعلى، نحو سمت الرأس. الارتفاع يساوي 90 درجة ( π / 2 راديان ) مطروحًا منه الميل . وبالتالي ، إذا كان الميل 60 درجة ( π / 3 راديان ) ، فإن الارتفاع يساوي 30 درجة ( π / 6 راديان ).

في الجبر الخطي ، يُطلق على المتجه من نقطة الأصل O إلى النقطة P غالبًا اسم متجه موضع P.

كما أن نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد مفيد - وله تطبيقات واسعة - على سطح مستوٍ، فإن نظام الإحداثيات الكروية ثنائي الأبعاد مفيد على سطح الكرة. على سبيل المثال، يمكن وصف كرة واحدة في الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة x² + y² + z² = c²، في الإحداثيات الكروية بالمعادلة ^{البسيطة} r = ^c . ⁽ في هذا النظام - الموضح هنا ^وفقًا للاتفاقية الرياضية - تُعتبر الكرة كرة وحدة ، حيث يُضبط نصف القطر على واحد، ويمكن تجاهله عمومًا، انظر الرسم التوضيحي) .

يُعدّ هذا التبسيط (باستخدام كرة الوحدة) مفيدًا أيضًا عند التعامل مع أجسام مثل المصفوفات الدورانية . كما تُفيد الإحداثيات الكروية في تحليل الأنظمة التي تتمتع بدرجة من التناظر حول نقطة ما، بما في ذلك: تكاملات الحجم داخل الكرة؛ مجال طاقة الوضع المحيط بكتلة أو شحنة مركزة؛ أو محاكاة الطقس العالمي في الغلاف الجوي لكوكب ما.

يمكن استخدام النمذجة ثلاثية الأبعاد لأنماط خرج مكبرات الصوت للتنبؤ بأدائها. ويتطلب ذلك عددًا من المخططات القطبية، التي تُؤخذ عند نطاق واسع من الترددات، نظرًا لتغير النمط بشكل كبير مع التردد. وتساعد المخططات القطبية في إظهار أن العديد من مكبرات الصوت تميل إلى الانتشار في جميع الاتجاهات عند الترددات المنخفضة.

يُعدّ فصل المتغيرات في معادلتين تفاضليتين جزئيتين - معادلة لابلاس ومعادلة هيلمهولتز - من أهم تطبيقات الإحداثيات الكروية ، حيث تظهران في العديد من المسائل الفيزيائية. وتأخذ الأجزاء الزاوية من حلول هذه المعادلات شكل التوافقيات الكروية . ومن تطبيقاتها الأخرى التصميم المريح ، حيث يُمثّل r طول ذراع شخص ثابت، وتصف الزوايا اتجاه الذراع أثناء مدها. كما يُستخدم نظام الإحداثيات الكروية بشكل شائع في تطوير ألعاب ثلاثية الأبعاد لتدوير الكاميرا حول موقع اللاعب ^{[ 4 ].}

بما أن نظام الإحداثيات الكروية هو واحد فقط من بين العديد من أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد، فهناك معادلات لتحويل الإحداثيات بين نظام الإحداثيات الكروية وغيرها.

من الممكن أيضًا التعامل مع الأشكال الإهليلجية في الإحداثيات الديكارتية باستخدام نسخة معدلة من الإحداثيات الكروية.

ليكن P قطعًا ناقصًا محددًا بواسطة مجموعة المستوى

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$$

يمكن الحصول على الإحداثيات الكروية المعدلة لنقطة في المجموعة P وفقًا لاتفاقية ISO (أي في الفيزياء: نصف القطر r ، والميل θ ، والسمت φ ) من إحداثياتها الديكارتية ( x ، y ، z ) باستخدام الصيغ التالية:

$${\displaystyle {\begin{align}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{محاذاة}}}$$

يُعطى عنصر الحجم المتناهي الصغر بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$$

يأتي عامل الجذر التربيعي من خاصية المحدد التي تسمح باستخراج قيمة ثابتة من عمود:

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$$

تفترض المعادلات التالية (إياناغا 1977) أن خط العرض θ هو الميل من المحور z الموجب ، كما هو الحال في الاصطلاح الفيزيائي الذي تمت مناقشته.

عنصر الخط لإزاحة متناهية الصغر من ( r , θ , φ ) إلى ( r + dr , θ + dθ , φ + dφ ) هو $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta}}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\oldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{محاذاة}}}$$تمثل متجهات الوحدة المتعامدة المحلية في اتجاهات تزايد r و θ و φ على التوالي، بينما تمثل x̂ و ŷ و ẑ متجهات الوحدة في الإحداثيات الديكارتية. التحويل الخطي إلى هذه الثلاثية الإحداثية اليمنى هو مصفوفة دوران . $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}$$

هذا يُعطي التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات الكروية، والعكس يُعطى بواسطة معكوسها. ملاحظة: المصفوفة متعامدة ، أي أن معكوسها هو ببساطة منقولها .

وبالتالي، ترتبط متجهات الوحدة الديكارتية بمتجهات الوحدة الكروية من خلال: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}$$

الصيغة العامة لإثبات عنصر الخط التفاضلي هي ^{[ 5 ]}$$\begin{displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$$ أي التغيير في${\displaystyle \mathbf {r} }$يتم تقسيمها إلى تغييرات فردية تتوافق مع التغييرات في الإحداثيات الفردية.

ولتطبيق ذلك على الحالة الحالية، يحتاج المرء إلى حساب كيف${\displaystyle \mathbf {r} }$تتغير مع كل إحداثية. وفقًا للاصطلاحات المستخدمة، $${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}$$

هكذا، $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} {\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}$$

المعاملات المطلوبة هي مقادير هذه المتجهات: ^{[ 5 ]}$$\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$$

يكون عنصر السطح الممتد من θ إلى θ + d θ ومن φ إلى φ + d φ على سطح كروي بنصف قطر ثابت r هو $$// =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta}}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi}}}\right|\mathrm {d} \theta \،\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \،\mathrm {d} \theta \،\mathrm {d} \varphi ~.}$$

وبالتالي فإن الزاوية المجسمة التفاضلية هي $${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$$

العنصر السطحي في سطح ذي زاوية قطبية ثابتة θ (مخروط رأسه عند نقطة الأصل) هو $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta}=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$$

عنصر السطح في سطح ذي سمت ثابت φ (نصف مستوى رأسي) هو $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$$

يتم تحديد عنصر الحجم الممتد من r إلى r + d r ، ومن θ إلى θ + d θ ، ومن φ إلى φ + d φ بواسطة محدد مصفوفة جاكوبي للمشتقات الجزئية ، $${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},}$$ أي $${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$$

وهكذا، على سبيل المثال، يمكن حساب تكامل الدالة f ( r , θ , φ ) على كل نقطة في R ³ باستخدام التكامل الثلاثي$${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

يؤدي عامل الحذف (del) في هذا النظام إلى التعبيرات التالية للتدرج ومؤثر لابلاس للحقول العددية، $$\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}$$ويؤدي ذلك إلى التعبيرات التالية لتباعد والتفاف حقول المتجهات ،

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

علاوة على ذلك، فإن معكوس جاكوبيان في الإحداثيات الديكارتية هو $${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$$ موتر القياس في نظام الإحداثيات الكروية هو${\displaystyle g=J^{T}J}$.

في الإحداثيات الكروية، بمعلومية نقطتين حيث φ هي الإحداثية السمتية $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{محاذاة}}}$$ يمكن التعبير عن المسافة بين النقطتين على النحو التالي ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}D&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{محاذاة}}}$$

الزاوية${\displaystyle \gamma }$يمكن إيجاد المسافة بين النقطتين من خلال حاصل ضربهما النقطي في الإحداثيات الديكارتية: $${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '(\cos \phi \cos \phi '+\sin \phi \sin \phi ')}$$ والتي بحسب متطابقة فرق الزاوية لجيب التمام هي ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}$$

في الإحداثيات الكروية، موضع نقطة أو جسيم (على الرغم من أنه من الأفضل كتابته كثلاثية ).${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$يمكن كتابة ) على النحو التالي ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$$ سرعته إذن هي ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} }$$ وتسارعه هو ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi}}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta}}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta}}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi}}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi}}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta}}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \يمين){\قبعة {\boldsymbol {\varphi}}}\end{محاذاة}}}$$

الزخم الزاوي هو $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi}}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)}$$ أين${\displaystyle m}$الكتلة. في حالة φ ثابتة أو θ = π / 2 ، فإن هذا يختزل إلى حساب المتجهات في الإحداثيات القطبية .

ومن ثم، ينتج عامل الزخم الزاوي المقابل من إعادة صياغة فضاء الطور لما سبق، $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$$

يتم إعطاء عزم الدوران على النحو التالي ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

الطاقة الحركية معطاة على النحو التالي ^{[ 8 ]}$${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}$$

• نظام الإحداثيات السماوية – نظام لتحديد مواقع الأجرام السماوية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظام الإحداثيات – طريقة لتحديد مواقع النقاط 
• دل في الإحداثيات الأسطوانية والكروية – عامل التدرج الرياضي في أنظمة إحداثيات معينة 
• طريقة كرة فورييه المزدوجة – تقنية رياضية 
• الارتفاع (علم المقذوفات) – الزاوية في علم المقذوفات 
• زوايا أويلر – وصف اتجاه الجسم الصلب 
• قفل جيمبال – فقدان درجة واحدة من درجات الحرية في آلية ثلاثية الأبعاد ذات ثلاثة محاور جيمبال 
• الكرة الفائقة – كرة معممة ذات بُعد n (رياضيات) صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• مصفوفة جاكوبي ومحددها – مصفوفة المشتقات الجزئية لدالة متجهة القيم 
• قائمة تحويلات الإحداثيات الأساسية
• الكرة - مجموعة من النقاط المتساوية البعد عن المركز 
• التوافقيات الكروية – دوال رياضية خاصة مُعرَّفة على سطح كرة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• جهاز الثيودوليت – أداة مسح بصرية 
• حقول المتجهات في الإحداثيات الأسطوانية والكروية – تمثيل حقول المتجهات في أنظمة الإحداثيات المنحنية ثلاثية الأبعاد 
• الانحراف، والميل، والدوران - الاتجاهات الرئيسية في الطيران. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 

• إياناجا، شوكيتشي؛ كاوادا ، يوكيوسي (1977). القاموس الموسوعي للرياضيات . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. رقم ISBN 978-0262090162.
• مورس، ب.م. ، وفيشباخ، هـ. (1953). مناهج الفيزياء النظرية، الجزء الأول . نيويورك: ماكجرو هيل. ص  658. ISBN 0-07-043316-X. إل سي سي إن 52011515 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• مارجيناو إتش ، مورفي جي إم (1956). رياضيات الفيزياء والكيمياء . نيويورك: دي. فان نوستراند. ص 177-178 . LCCN 55010911 .  
• كورن، جي. أ.، وكورن، تي. إم. (1961). دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين . نيويورك: ماكجرو هيل. الصفحات 174-175 . رقم مكتبة الكونغرس 59014456. رقم تعريف أمازون القياسي B0000CKZX7.  
• سوير ر، زابو الأول (1967). الرياضيات Hilfsmittel des Ingenieurs . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ص 95 – 96. LCCN 67025285 .  
• مون، ب.، وسبنسر، د. إ. (1988). "الإحداثيات الكروية (r، θ، ψ)". دليل نظرية المجال، بما في ذلك أنظمة الإحداثيات، والمعادلات التفاضلية، وحلولها (الطبعة الثانية المصححة،  الطبعة الثالثة المطبوعة). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات  24-27 (الجدول 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
• دوفيت-سميث، ب.، وزوارت، ج. (2011). علم الفلك العملي باستخدام الآلة الحاسبة أو برنامج الجداول الإلكترونية، الطبعة الرابعة . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص  34. ISBN 978-0521146548.

• "الإحداثيات الكروية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وصف MathWorld للإحداثيات الكروية
• محول الإحداثيات – يحول بين الإحداثيات القطبية والديكارتية والكروية