أصغر مساحة دوران

في الرياضيات ، يُعرف السطح الدوراني الأدنى بأنه سطح دوراني مُعرَّف بين نقطتين في نصف مستوى ، وحدوده هي محور دوران السطح. وينشأ هذا السطح من منحنى يقع في نصف المستوى ويربط بين النقطتين؛ ومن بين جميع الأسطح التي يمكن توليدها بهذه الطريقة، يُعد هذا السطح هو الذي يُقلل مساحة السطح إلى أدنى حد . ^{[ 1 ]} وتتمثل إحدى المسائل الأساسية في حساب التفاضل والتكامل في إيجاد المنحنى بين نقطتين الذي يُنتج هذا السطح الدوراني الأدنى. ^{[ 1 ]}

السطح الدوراني الأدنى هو نوع فرعي من الأسطح الدنيا . ^{[ 1 ]} لا يُعرَّف السطح الأدنى بأنه سطح ذو مساحة دنيا، بل بأنه سطح ذو انحناء متوسط ​​يساوي صفرًا. ^{[ 2 ]} ولأن الانحناء المتوسط ​​يساوي صفرًا شرط ضروري لسطح ذي مساحة دنيا، فإن جميع الأسطح الدورانية الدنيا هي أسطح دنيا، ولكن ليس كل سطح دنيا هو سطح دوراني أدنى. ولأن النقطة تُشكِّل دائرة عند دورانها حول محور ، فإن إيجاد السطح الدوراني الأدنى يُكافئ إيجاد السطح الأدنى المار عبر هيكلين سلكيين دائريين . ^{[ 1 ]} ومن الأمثلة الفيزيائية على السطح الدوراني الأدنى غشاء الصابون المشدود بين سلكين دائريين متوازيين : إذ يتخذ غشاء الصابون بشكل طبيعي الشكل ذي أقل مساحة سطح. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

إذا تم إعطاء نصف المستوى الذي يحتوي على النقطتين ومحور الدوران إحداثيات ديكارتية ، بحيث يصبح محور الدوران هو المحور السيني لنظام الإحداثيات، فإن المنحنى الذي يربط النقطتين يمكن تفسيره على أنه تمثيل بياني لدالة . إذا كانت الإحداثيات الديكارتية للنقطتين المعطيتين هي${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$،${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$إذن، مساحة السطح الناتج عن دالة قابلة للتفاضل غير سالبة${\displaystyle f}$يمكن التعبير عنها رياضياً على النحو التالي:

${\displaystyle 2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}$

وتصبح مشكلة إيجاد السطح الأدنى للدوران مشكلة إيجاد الدالة التي تقلل هذا التكامل، مع مراعاة الشروط الحدية التي${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$و${\displaystyle f(x_{2})=y_{2}}$^{[ 5 ]} في هذه الحالة ، سيكون المنحنى الأمثل بالضرورة منحنى سلسلي . ^{[ 1 ] [ 5 ]} محور الدوران هو دليل المنحنى السلسلي، وبالتالي سيكون سطح الدوران الأدنى سطحًا سلسليًا . ^{[ 1 ] [ 6 ] [ 7 ]}

يمكن أيضًا تعريف حلول تعتمد على الدوال غير المتصلة. على وجه الخصوص، بالنسبة لبعض مواضع النقطتين، يُولَّد الحل الأمثل بواسطة دالة غير متصلة لا تساوي الصفر عند النقطتين، وتساوي الصفر في أي مكان آخر. تؤدي هذه الدالة إلى سطح دوراني يتكون من قرصين دائريين، أحدهما لكل نقطة، متصلين بقطعة مستقيمة متدهورة على طول محور الدوران. يُعرف هذا بحل غولدشميت ^{[ 5 ] [ 8 ]} نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني كارل فولفغانغ بنيامين غولدشميت ^{[ 4 ]} ، الذي أعلن اكتشافه في بحثه عام 1831 بعنوان "Determinatio superficiei minimae rotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae" ("تحديد منحنى الدوران الأدنى للسطح بمعلومية نقطتين متصلتين حول محور أصل معين"). ^{[ 9 ]}

استكمالاً للتشبيه الفيزيائي لغشاء الصابون المذكور أعلاه، يمكن تصور حلول غولدشميت هذه كحالات ينكسر فيها غشاء الصابون عند تمدد الأسلاك الدائرية. ^{[ 4 ]} مع ذلك، في غشاء صابون حقيقي، لن يكون هناك قطعة مستقيمة رابطة. إضافةً إلى ذلك، إذا مُد غشاء الصابون بهذه الطريقة، فهناك نطاق من المسافات يظل فيه حل السطح السلسلي ممكنًا، لكن مساحته أكبر من مساحة حل غولدشميت، لذا قد يمتد غشاء الصابون إلى شكل تكون فيه المساحة في حد أدنى محلي ، لكنها ليست حدًا أدنى عالميًا. بالنسبة للمسافات الأكبر من هذا النطاق، يتقاطع منحنى السطح السلسلي الذي يُحدد السطح السلسلي مع المحور السيني ، مما يؤدي إلى سطح يتقاطع مع نفسه، وبالتالي يكون حل غولدشميت هو الحل الوحيد الممكن. ^{[ 10 ]}