مساحة السطح

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 42 صور
الموسوعة الحرة

كرة نصف قطرها r مساحتها السطحية 4 π r 2 .

مساحة السطح (رمزها A ) لجسم صلب هي مقياس للمساحة الكلية التي يشغلها سطح الجسم. [ 1 ] يُعدّ التعريف الرياضي لمساحة السطح في حالة الأسطح المنحنية أكثر تعقيدًا بكثير من تعريف طول قوس المنحنيات أحادية البعد، أو مساحة سطح المجسمات متعددة الأوجه (أي الأجسام ذات الأوجه المضلعة المسطحة )، حيث تكون مساحة سطحها مجموع مساحات أوجهها. تُحدد مساحة سطح الأسطح الملساء، مثل الكرة ، باستخدام تمثيلها كسطوح بارامترية . يعتمد هذا التعريف لمساحة السطح على أساليب حساب التفاضل والتكامل ، ويتضمن المشتقات الجزئية والتكامل المزدوج .

سعى هنري لوبيغ وهيرمان مينكوفسكي ، في مطلع القرن العشرين، إلى وضع تعريف عام لمساحة السطح. وقد أدى عملهما إلى تطوير نظرية القياس الهندسي ، التي تدرس مفاهيم مختلفة لمساحة السطح للأجسام غير المنتظمة ذات الأبعاد المختلفة. ومن الأمثلة المهمة على ذلك محتوى مينكوفسكي للسطح.

تعريف

على الرغم من أن مساحات العديد من الأسطح البسيطة معروفة منذ القدم، إلا أن التعريف الرياضي الدقيق للمساحة يتطلب عناية فائقة. وهذا من شأنه أن يوفر دالة.

S↦أ(S){\displaystyle S\mapsto A(S)}

وهو ما يُسند عددًا حقيقيًا موجبًا إلى فئة معينة من الأسطح التي تُحقق عدة شروط طبيعية. الخاصية الأساسية لمساحة السطح هي جمعيتها : مساحة الكل هي مجموع مساحات الأجزاء . وبشكل أدق، إذا كان السطح S عبارة عن اتحاد لعدد محدود من الأجزاء S1 ، ...، Sr التي لا تتداخل إلا عند حدودها، فإن

أ(S)=أ(S1)+⋯+أ(Sر).{\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}

يجب أن تتطابق مساحات أسطح الأشكال المضلعة المسطحة مع مساحتها المحددة هندسيًا . ولأن مساحة السطح مفهوم هندسي، فإن مساحات الأسطح المتطابقة يجب أن تكون متساوية، ويجب أن تعتمد المساحة فقط على شكل السطح، وليس على موقعه أو اتجاهه في الفضاء. وهذا يعني أن مساحة السطح ثابتة تحت تأثير مجموعة الحركات الإقليدية . هذه الخصائص تميز مساحة السطح بشكل فريد لفئة واسعة من الأسطح الهندسية تُسمى الأسطح الملساء جزئيًا . تتكون هذه الأسطح من عدد محدود من الأجزاء التي يمكن تمثيلها بالصيغة البارامترية.

Sد:ر→=ر→(u،v)،(u،v)∈د{\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}

مع دالة قابلة للتفاضل باستمرارر→.{\displaystyle {\vec {r}}.}تُحدد مساحة القطعة الفردية بالصيغة التالية:

أ(Sد)=∬د|ر→u×ر→v|دuدv.{\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}

وبالتالي، يتم الحصول على مساحة S D عن طريق تكامل طول المتجه العمودير→u×ر→v{\displaystyle {\vec {r}} _ {u}\times {\vec {r}} _ {v}}إلى السطح فوق المنطقة المناسبة D في المستوى البارامتري uv . ثم تُحسب مساحة السطح الكلي بجمع مساحات الأجزاء، باستخدام خاصية جمع مساحات الأسطح. يمكن تخصيص الصيغة الرئيسية لأنواع مختلفة من الأسطح، مما يُعطي، على وجه الخصوص، صيغًا لمساحات الرسوم البيانية z = f ( x , y ) والأسطح الدورانية .

فانوس شوارتز معم{\displaystyle M}شرائح محورية وشمال{\displaystyle N}الرؤوس الشعاعية. حد المساحة كـم{\displaystyle M}وشمال{\displaystyle N}لا تتقارب الدالة عندما تؤول إلى اللانهاية. وبالتحديد، لا تتقارب إلى مساحة الأسطوانة.

من بين الجوانب الدقيقة لمفهوم مساحة السطح، مقارنةً بطول قوس المنحنيات، أنه لا يمكن تعريف مساحة السطح ببساطة على أنها مجموع مساحات الأشكال متعددة السطوح التي تقارب سطحًا أملسًا معينًا. وقد أثبت هيرمان شوارتز أنه حتى بالنسبة للأسطوانة، فإن اختيارات مختلفة لتقريب الأسطح المستوية يمكن أن تؤدي إلى قيم حدية مختلفة للمساحة؛ ويُعرف هذا المثال باسم فانوس شوارتز . [ 2 ] [ 3 ]

طُوِّرت مناهج مختلفة لتعريف عام لمساحة السطح في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين على يد هنري لوبيغ وهيرمان مينكوفسكي . فبينما يوجد مفهوم طبيعي فريد لمساحة السطح بالنسبة للأسطح الملساء جزئيًا، فإنه إذا كان السطح غير منتظم أو خشنًا للغاية، فقد لا يكون من الممكن تحديد مساحة له على الإطلاق. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك السطح ذو النتوءات المنتشرة بكثافة. وتظهر العديد من الأسطح من هذا النوع في دراسة الأشكال الكسورية . وتُدرس في نظرية القياس الهندسي امتدادات لمفهوم المساحة تُحقق وظيفتها جزئيًا، ويمكن تعريفها حتى للأسطح غير المنتظمة بشدة. ومن الأمثلة المحددة على هذا الامتداد محتوى مينكوفسكي للسطح.

الصيغ الشائعة

مساحات أسطح المواد الصلبة الشائعة
شكلالصيغة/المعادلةالمتغيرات
مكعب6أ2{\displaystyle 6a^{2}}أ = طول الضلع
متوازي المستطيلات2(لب+لح+بح){\displaystyle 2\left(lb+lh+bh\right)}
  • ل = الطول
  • ب = العرض
  • الارتفاع = h
منشور ثلاثيبح+ل(ص+q+ر){\displaystyle bh+l\left(p+q+r\right)}
  • ب = طول قاعدة المثلث،
  • h = ارتفاع المثلث،
  • l = المسافة بين قواعد المثلثات،
  • p و q و r = أضلاع المثلث
جميع الموشورات2ب+Pح{\displaystyle 2B+Ph}
  • ب = مساحة قاعدة واحدة
  • P = محيط قاعدة واحدة
  • الارتفاع = h
جسم كروي4πر2=πد2{\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi d^{2}}
  • r = نصف قطر الكرة
  • د = القطر
نصف الكرة الأرضية3πر2{\displaystyle 3\pi r^{2}}r = نصف قطر نصف الكرة
صدفة نصف كرويةπ(3R2+ر2){\displaystyle \pi \left(3R^{2}+r^{2}\right)}
  • R = نصف القطر الخارجي لنصف الكرة
  • r = نصف القطر الداخلي لنصف الكرة
هلال كروي2ر2θ{\displaystyle 2r^{2}\theta }
حلقة(2πر)(2πR)=4π2Rر{\displaystyle \left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr}
  • r = نصف القطر الأصغر (نصف قطر الأنبوب)
  • R = نصف القطر الرئيسي (المسافة من مركز الأنبوب إلى مركز الحلقة)
أسطوانة مغلقة2πر2+2πرح=2πر(ر+ح){\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)}
  • r = نصف قطر القاعدة الدائرية
  • h = ارتفاع الأسطوانة
حلقة أسطوانية2πRح+2πرح+2(πR2-πر2)=2π(R+ر)(R-ر+ح){\displaystyle {\begin{aligned}&2\pi Rh+2\pi rh+2\left(\pi R^{2}-\pi r^{2}\right)\\&=2\pi \left(R+r\right)\left(R-r+h\right)\end{aligned}}}
  • R = نصف القطر الخارجي
  • r = نصف القطر الداخلي
  • الارتفاع = h
كبسولة2πر(2ر+ح){\displaystyle 2\pi r(2r+h)}
  • r = نصف قطر نصفي الكرة والأسطوانة
  • h = ارتفاع الأسطوانة
مساحة السطح المنحني للمخروطπرر2+ح2=πرs{\displaystyle \pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs}
  • s=ر2+ح2{\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
  • s = الارتفاع المائل للمخروط
  • r = نصف قطر القاعدة الدائرية
  • h = ارتفاع المخروط
المساحة السطحية الكاملة للمخروطπر(ر+ر2+ح2)=πر(ر+s){\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r\left(r+s\right)}
  • s = الارتفاع المائل للمخروط
  • r = نصف قطر القاعدة الدائرية
  • h = ارتفاع المخروط
الهرم المنتظمب+Ps2{\displaystyle B+{\frac {Ps}{2}}}
  • ب = مساحة القاعدة
  • P = محيط القاعدة
  • s = الارتفاع المائل
هرم مربعب2+2بs=ب2+2ب(ب2)2+ح2{\displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}
  • ب = طول القاعدة
  • s = الارتفاع المائل
  • ح = الارتفاع الرأسي
هرم مستطيللب+ل(ب2)2+ح2+ب(ل2)2+ح2{\displaystyle lb+l{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+b{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}
  • ل = الطول
  • ب = العرض
  • الارتفاع = h
رباعي الأوجه3أ2{\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}أ = طول الضلع
سطح الدوران2π∫أبو(x)1+(و′(x))2دx{\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}{f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}}
سطح بارامتري∬د|ر→u×ر→v|دأ{\displaystyle \iint _{D}\left\vert {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right\vert dA}
  • ر→{\displaystyle {\vec {r}}}= معادلة متجهة بارامترية للسطح
  • ر→u{\displaystyle {\vec {r}}_{u}}= مشتق جزئي لـر→{\displaystyle {\vec {r}}}بالنسبة إلىu{\displaystyle u}
  • ر→v{\displaystyle {\vec {r}}_{v}}= مشتق جزئي لـر→{\displaystyle {\vec {r}}}بالنسبة إلىv{\displaystyle v}
  • د{\displaystyle D}= منطقة الظل

نسبة مساحات سطح كرة وأسطوانة لهما نفس نصف القطر والارتفاع

مخروط وكرة وأسطوانة نصف قطرها r وارتفاعها h .

يمكن استخدام الصيغ المذكورة أدناه لإظهار أن مساحة سطح الكرة والأسطوانة ذات نصف القطر والارتفاع نفسهما تكون بنسبة 2  :  3 ، كما يلي.

لنفترض أن نصف القطر هو r والارتفاع هو h (وهو 2 r للكرة).

مساحة سطح الكرة=4πر2=(2πر2)×2مساحة سطح الأسطوانة=2πر(ح+ر)=2πر(2ر+ر)=(2πر2)×3{\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}

يُنسب اكتشاف هذه النسبة إلى أرخميدس . [ 4 ]

في الكيمياء

مساحة سطح الجسيمات ذات الأحجام المختلفة.

تُعدّ مساحة السطح عاملاً مهماً في الحركية الكيميائية . فزيادة مساحة سطح المادة تزيد عموماً من سرعة التفاعل الكيميائي . على سبيل المثال، يحترق الحديد في صورة مسحوق ناعم ، [ 5 ] بينما يكون مستقراً بما يكفي لاستخدامه في الهياكل في صورة كتل صلبة. وقد تتطلب التطبيقات المختلفة مساحة سطح دنيا أو قصوى.

في علم الأحياء

يتميز الغشاء الداخلي للميتوكوندريا بمساحة سطح كبيرة نتيجةً للانثناءات، مما يسمح بمعدلات أعلى للتنفس الخلوي ( صورة مجهرية إلكترونية ). [ 6 ]

تُعدّ مساحة سطح الكائن الحيّ مهمة في العديد من الجوانب، مثل تنظيم درجة حرارة الجسم والهضم . [ 7 ] تستخدم الحيوانات أسنانها لطحن الطعام إلى جزيئات أصغر، مما يزيد من مساحة السطح المتاحة للهضم. [ 8 ] يحتوي النسيج الطلائي المُبطّن للجهاز الهضمي على زغيبات دقيقة ، مما يزيد بشكل كبير من مساحة الامتصاص المتاحة. [ 9 ] تمتلك الأفيال آذانًا كبيرة ، مما يسمح لها بتنظيم درجة حرارة أجسامها. [ 10 ] في حالات أخرى، تحتاج الحيوانات إلى تقليل مساحة سطحها؛ [ 11 ] على سبيل المثال، يطوي الإنسان ذراعيه على صدره عند الشعور بالبرد لتقليل فقدان الحرارة.

تُفرض نسبة مساحة السطح إلى الحجم (SA:V) للخلية حدودًا عليا لحجمها، إذ يزداد الحجم أسرع بكثير من مساحة السطح، مما يحد من معدل انتشار المواد من داخل الخلية عبر غشاء الخلية إلى الفراغات الخلالية أو إلى خلايا أخرى. [ 12 ] في الواقع، إذا مثّلنا الخلية ككرة مثالية نصف قطرها r ، فإن حجمها ومساحة سطحها هما على التوالي: V = (4/3) πr³ و SA = 4 πr² . وبالتالي، فإن نسبة مساحة السطح إلى الحجم الناتجة هي 3/ r . لذا، إذا كان نصف قطر الخلية 1 ميكرومتر، فإن نسبة SA:V تساوي 3؛ بينما إذا كان نصف قطر الخلية 10 ميكرومتر، فإن نسبة SA:V تصبح 0.3. أما إذا كان نصف قطر الخلية 100 ميكرومتر، فإن نسبة SA:V تساوي 0.03. وهكذا، تتناقص مساحة السطح بشكل حاد مع ازدياد الحجم.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "مساحة السطح" . عالم الرياضيات .
  2. ↑ "مفارقة شوارتز" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 21 مارس 2017 .
  3. ↑ "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 15 ديسمبر 2011. تم الاطلاع عليها بتاريخ 24 يوليو 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )
  4. ↑ روريس، كريس. "قبر أرخميدس: المصادر" . معهد كورانت للعلوم الرياضية. مؤرشف من الأصل في 9 ديسمبر 2006. تم الاطلاع عليه في 2 يناير 2007 .
  5. ↑ نصر، سماي؛ بلوكنت، كيفن ب. (20 فبراير 2014). "حركية اختزال خام الحديد بواسطة الميثان للاحتراق الحلقي الكيميائي" . الطاقة والوقود . 28 (2): 1387-1395 . doi : 10.1021/ef402142q . ISSN 0887-0624 . 
  6. ^ بومارد، باتريك. فايلييه، جاك؛ كولاري، بينيديكت؛ شيفر، جاك. سوبانيير، فنسنت؛ مولر، ديفيد م.؛ بريث، دانيال؛ دي راجو، جان بول؛ القطيفة ، جان (1 فبراير 2002). "يشارك سينسيز ATP في توليد مورفولوجيا الميتوكوندريا" . مجلة إمبو . 21 (3): 221-230 . دوى : 10.1093/emboj/21.3.221 . بمك 125827 . بميد 11823415 .  
  7. ↑ ناراسيمهان، أرون (1 يوليو 2008). "لماذا تمتلك الأفيال صواميل أذن كبيرة؟" . ريزونانس . 13 (7): 638-647 . doi : 10.1007/s12045-008-0070-5 . ISSN 0973-712X . 
  8. ↑ فيهير، جوزيف (2012)، "الفم والمريء" ، علم وظائف الأعضاء البشرية الكمي ، إلسيفير، ص 689-700 ، doi : 10.1016/b978-0-12-382163-8.00077-3 ، ISBN  978-0-12-382163-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 مارس 2024
  9. ↑ "الزغيبات الدقيقة | الوصف، التشريح، والوظيفة | بريتانيكا" . www.britannica.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 مارس 2024 .
  10. ↑ رايت، بي جي (1984). "لماذا ترفرف الأفيال بآذانها؟" . علم الحيوان الأفريقي . 19 (4): 266-269 . ISSN 2224-073X . 
  11. ↑ ستوكس، جودي م.؛ تايلور، نايجل أ.س.؛ تيبتون، مايكل ج.؛ غرينليف، جون إي. (1 مايو 2004). "الاستجابات الفسيولوجية البشرية للتعرض للبرد" . طب الطيران والفضاء والبيئة . 75 (5): 444-457 . PMID 15152898 . 
  12. ↑ ديفر، جيمس ر. (1 نوفمبر 1978). "نمذجة حدود حجم الخلية" . مُعلِّم الأحياء الأمريكي . 40 (8): 502-504 . doi : 10.2307/4446369 . ISSN 0002-7685 . JSTOR 4446369 .