سطح الدوران

السطح الدوراني هو سطح في الفضاء الإقليدي يتكون من دوران منحنى ( المولد ) دورة كاملة حول محور الدوران (لا يتقاطع عادةً مع المولد ^، إلا عند طرفيه). ^[ 1 ^] الحجم المحصور بالسطح الناتج عن هذه الدورة هو المجسم الدوراني .

من أمثلة الأسطح الدورانية الناتجة عن خط مستقيم الأسطح الأسطوانية والمخروطية ، وذلك بحسب ما إذا كان الخط موازياً للمحور أم لا. فعند دوران دائرة حول أي قطر، تتكون كرة تُصبح الدائرة جزءًا منها ، وإذا دُورت الدائرة حول محور لا يتقاطع مع داخلها، فإنها تتكون حلقة دائرية لا تتقاطع مع نفسها ( حلقة دائرية ).

تُسمى مقاطع سطح الدوران التي تُشكلها المستويات المارة بالمحور بالمقاطع الزوالية . ويمكن اعتبار أي مقطع زوالي بمثابة مولد في المستوى المحدد به وبالمحور. ^{[ 2 ]}

الأجزاء من سطح الدوران التي تشكلها المستويات العمودية على المحور هي دوائر.

تُعدّ بعض الحالات الخاصة من القطع الزائد (سواءً كانت ذات ورقة واحدة أو ورقتين) والقطع المكافئ الإهليلجي أسطحًا دورانية. ويمكن تعريفها بأنها تلك الأسطح التربيعية التي تكون جميع مقاطعها العرضية العمودية على المحور دائرية.

إذا وُصفت المنحنى بالدوال الوسيطية x ( t ) و y ( t ) ، حيث يقع t ضمن الفترة [ a , b ] ، وكان محور الدوران هو المحور y ، فإن مساحة السطح Ay تُعطى بالتكامل التالي _:$${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$$ بشرط ألا تكون قيمة x ( t ) سالبة أبدًا بين النقطتين a و b . هذه الصيغة هي المكافئ الحسابي لنظرية مركز الثقل لبابوس . ^{[ 3 ]} الكمية $${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}$$ يستمد هذا من نظرية فيثاغورس، ويمثل جزءًا صغيرًا من قوس المنحنى، كما في صيغة طول القوس . الكمية 2π x ( t ) هي مسار (مركز) هذا الجزء الصغير، كما تنص عليه نظرية بابوس.

وبالمثل، عندما يكون محور الدوران هو المحور x وبشرط ألا تكون y ( t ) سالبة أبدًا، فإن المساحة تعطى بواسطة ^{[ 4 ]}$${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$$

إذا تم وصف المنحنى المتصل بالدالة y = f ( x ) ، حيث a ≤ x ≤ b ، فإن التكامل يصبح $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$$ للدوران حول المحور السيني ، و $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy}$$ للدوران حول المحور y (بشرط أن تكون قيمة a ≥ 0 ). هذه القيم مستمدة من الصيغة المذكورة أعلاه. ^{[ 5 ]}

يمكن استنتاج ذلك أيضًا من التكامل متعدد المتغيرات. إذا كان منحنى مستويًا معطى بواسطة${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$ثم يكون سطح الدوران المقابل له عند دورانه حول المحور السيني له إحداثيات ديكارتية معطاة بـ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$مع${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ثم تُعطى مساحة السطح بواسطة التكامل السطحي$${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

ينتج عن حساب المشتقات الجزئية ما يلي: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }$$ وحساب ناتج الضرب التقاطعي$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$ حيث المتطابقة المثلثية${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$تم استخدام هذا. باستخدام هذا الضرب الاتجاهي، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$ حيث استُخدمت نفس المتطابقة المثلثية مرة أخرى. ويكون اشتقاق السطح الناتج عن الدوران حول المحور y مماثلاً.

على سبيل المثال، يتم توليد السطح الكروي ذي نصف القطر الواحد بواسطة المنحنى y ( t ) = sin( t ) و x ( t ) = cos( t ) ، عندما تتراوح قيمة t على الفترة [0,π] . وبالتالي، فإن مساحته هي $${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$$

في حالة المنحنى الكروي ذي نصف القطر r ، ^فإن y ( x ) = √ (r² - x² ⁾ بعد تدويره حول المحور x$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$$

السطح الدوراني الأدنى هو سطح دوران المنحنى بين نقطتين معطيتين والذي يُقلل مساحة السطح إلى أدنى حد . ^{[ 6 ]} وتتمثل إحدى المسائل الأساسية في حساب التفاضل والتكامل في إيجاد المنحنى بين نقطتين الذي يُنتج هذا السطح الدوراني الأدنى. ^{[ 6 ]}

لا يوجد سوى سطحين دورانيين أدنى ( أسطح دورانية هي أيضًا أسطح دنيا): المستوى والسطح السلسلي . ^{[ 7 ]}

سطح دوراني ينتج عن دوران منحنى موصوف بـ${\displaystyle y=f(x)}$يمكن وصف ما يحدث حول المحور السيني بأبسط شكل من خلال${\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}$وهذا ينتج عنه تحديد المعلمات بدلالة${\displaystyle x}$و${\displaystyle \theta }$مثل${\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}$أما إذا قمنا بتدوير المنحنى حول المحور الصادي، فسيتم وصف المنحنى بواسطة${\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}$، مما ينتج عنه التعبير${\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}$من حيث المعايير${\displaystyle x}$و${\displaystyle \theta }$.

إذا تم تعريف x و y بدلالة مُعامل${\displaystyle t}$ثم نحصل على تمثيل بارامتري بدلالة${\displaystyle t}$و${\displaystyle \theta }$. لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي وظائف${\displaystyle t}$إذن، يمكن وصف سطح الدوران الناتج عن دوران المنحنى حول المحور السيني بواسطة${\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}$ويُوصَف سطح الدوران الناتج عن دوران المنحنى حول المحور y بـ${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}$.

خطوط الطول هي دائماً خطوط جيوديسية على سطح دوراني. أما الخطوط الجيوديسية الأخرى فتخضع لعلاقة كليروت . ^{[ 8 ]}

يُطلق على سطح الدوران الذي يحتوي على ثقب، حيث لا يتقاطع محور الدوران مع السطح، اسم "الطورويد". ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، عند تدوير مستطيل حول محور موازٍ لأحد أضلاعه، ينتج حلقة مجوفة ذات مقطع مربع. أما إذا كان الشكل الناتج دائرة ، فيُطلق عليه اسم " الطوروس" .

• سطح القناة ، وهو تعميم لسطح الدوران
• التناظر الأسطواني
• بوق جبرائيل
• حلزوني معمّم
• الليمون (الهندسة) ، سطح دوران قوس دائري
• سطح ليوفيل ، وهو تعميم آخر لسطح الدوران
• كروي
• تكامل السطح
• سطح انتقالي (الهندسة التفاضلية)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "سطح الثورة" . عالم الرياضيات .
• "سطح الثورة" . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (باللغة الفرنسية).