نقطة (هندسة)

في الهندسة ، تُعرَّف النقطة بأنها تمثيل مجرد لموقع دقيق ، دون حجم، في الفضاء الفيزيائي ، ^{[ 1 ]} أو تعميمها على أنواع أخرى من الفضاءات الرياضية . وباعتبارها كائنات صفرية الأبعاد ، تُعتبر النقاط عادةً العناصر الأساسية غير القابلة للتجزئة التي تُكوِّن الفضاء، والذي يتكون من المنحنيات أحادية البعد ، والأسطح ثنائية البعد ، والكائنات ذات الأبعاد الأعلى .

في الهندسة الإقليدية الكلاسيكية ، تُعدّ النقطة مفهومًا أوليًا ، يُعرَّف بأنه "ما ليس له جزء". لا تُعرَّف النقاط وغيرها من المفاهيم الأولية بدلالة مفاهيم أخرى، بل فقط بخصائص شكلية معينة، تُسمى بديهيات ، يجب أن تستوفيها؛ على سبيل المثال، "يوجد خط مستقيم واحد فقط يمر بنقطتين مختلفتين" . تُصنع الأشكال الهندسية، كرسومات تخطيطية مادية، باستخدام أدوات مثل الفرجار أو القلم ، حيث يمكن لرأسها المدبب أن يرسم نقطة صغيرة أو يُحدث ثقبًا صغيرًا يُمثل نقطة، أو يمكن رسمه على سطح لتمثيل منحنى.

يمكن تحديد النقطة أيضًا من خلال تقاطع منحنيين أو ثلاثة أسطح، ويُسمى ذلك رأسًا أو زاوية . منذ ظهور الهندسة التحليلية ، تُعرَّف النقاط أو تُمثَّل غالبًا بدلالة الإحداثيات العددية . في الرياضيات الحديثة، يُعامل فضاء النقاط عادةً كمجموعة ، تُسمى مجموعة النقاط .

النقطة المعزولة هي عنصر من مجموعة فرعية من النقاط التي لها جوار لا يحتوي على أي نقاط أخرى من المجموعة الفرعية.

تُعدّ النقاط، في إطار الهندسة الإقليدية ، من أهمّ العناصر الأساسية. عرّف إقليدس النقطة في الأصل بأنها "ما ليس له جزء". ^{[ 2 ]} في المستوى الإقليدي ثنائي الأبعاد ، تُمثَّل النقطة بزوج مرتب ( س ، ص )، حيث يُمثّل الرقم الأول عادةً الاتجاه الأفقي ويُرمز له غالبًا بـ س ، بينما يُمثّل الرقم الثاني الاتجاه الرأسي ويُرمز له غالبًا بـ ص . يُمكن تعميم هذه الفكرة بسهولة إلى الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، حيث تُمثَّل النقطة بثلاثية مرتبة ( س ، ص ، ع ) ، حيث يُمثّل الرقم الثالث العمق ويُرمز له غالبًا بـ ع . وتُمثَّل تعميمات أخرى بمجموعة مرتبة من ن حدًا ، ( أ ₁ ، أ ₂ ، ...، أ _ن ) ، حيث ن هو بُعد الفضاء الذي تقع فيه النقطة. ^{[ 3 ]}

تتألف العديد من البنى في الهندسة الإقليدية من مجموعة لانهائية من النقاط التي تخضع لمسلمات معينة. وعادةً ما يتم تمثيل ذلك بمجموعة من النقاط؛ فعلى سبيل المثال، الخط المستقيم هو مجموعة لانهائية من النقاط على الشكل التالي: $${\displaystyle L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})\mid a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,}$$حيث c₁ إلى cₙ _و d ثوابت، و _n هو بُعد الفضاء. توجد بنى مماثلة تُعرّف المستوى ، والقطعة المستقيمة ، ومفاهيم أخرى ذات صلة. ^{[ 4 ]} تُسمى القطعة المستقيمة التي تتكون من نقطة واحدة فقط بالقطعة المستقيمة المنحلة .

إضافةً إلى تعريف النقاط والبنى المتعلقة بها، افترض إقليدس فكرةً أساسيةً حول النقاط، وهي إمكانية توصيل أي نقطتين بخط مستقيم. ^{[ 5 ]} وقد تأكدت هذه الفكرة بسهولة في ظل التوسعات الحديثة للهندسة الإقليدية، وكان لها آثارٌ بالغة الأهمية عند ظهورها، إذ سمحت ببناء معظم المفاهيم الهندسية المعروفة آنذاك. مع ذلك، لم يكن افتراض إقليدس للنقاط كاملاً ولا نهائياً، فقد افترض أحياناً حقائقَ حول النقاط لم تكن مُستنتجةً مباشرةً من بديهياته، مثل ترتيب النقاط على الخط أو وجود نقاط مُحددة. وعلى الرغم من ذلك، فإن التوسعات الحديثة للنظام تُزيل هذه الافتراضات. ^{[ 6 ]}

توجد عدة تعريفات غير متكافئة للبعد في الرياضيات. في جميع التعريفات الشائعة، تكون النقطة ذات بعد صفري.

على الرغم من أن مفهوم النقطة يُعتبر عمومًا أساسيًا في الهندسة والطوبولوجيا السائدتين، إلا أن بعض الأنظمة تتجاهله، مثل الهندسة غير التبادلية والطوبولوجيا عديمة النقاط . يُعرَّف الفضاء "عديم النقاط" أو "الخالي من النقاط" ليس كمجموعة ، بل من خلال بنية ما ( جبرية أو منطقية على التوالي) تُشبه فضاءً داليًا معروفًا على المجموعة: جبر الدوال المتصلة أو جبر المجموعات على التوالي. وبشكل أدق، تُعمِّم هذه البنى فضاءات الدوال المعروفة بطريقة قد لا تُعرَّف فيها عملية "أخذ قيمة عند هذه النقطة". ^{[ 7 ]} وينطلق تقليد آخر من بعض كتب أ. ن. وايتهيد، حيث يُفترض مفهوم المنطقة كمفهوم أولي إلى جانب مفهومي الاحتواء والاتصال . ^{[ 8 ]}

في الفيزياء والرياضيات، من المفيد غالبًا اعتبار النقطة ذات كتلة أو شحنة غير صفرية (وهذا شائعٌ خصوصًا في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية ، حيث تُعتبر الإلكترونات نقاطًا مثالية ذات شحنة غير صفرية). دالة ديراك دلتا ، أو دالة δ ، هي (بشكل غير رسمي) دالة معممة على خط الأعداد الحقيقية، تساوي صفرًا في كل مكان ما عدا الصفر، وتكاملها يساوي واحدًا على كامل خط الأعداد الحقيقية. ^{[ 9 ]} يُنظر إلى دالة دلتا أحيانًا على أنها شوكة لا نهائية الارتفاع والسمك عند نقطة الأصل، مساحتها الكلية تساوي واحدًا أسفل الشوكة، وتمثل فيزيائيًا كتلة نقطية مثالية أو شحنة نقطية . ^{[ 10 ]} وقد قدمها الفيزيائي النظري بول ديراك . في سياق معالجة الإشارات ، يُشار إليها غالبًا برمز (أو دالة) النبضة الوحدوية . ^{[ 11 ]} نظيرتها المنفصلة هي دالة كرونكر دلتا ، والتي تُعرَّف عادةً على نطاق محدود وتأخذ القيمتين 0 و1.

• "نقطة" . بلانيت ماث .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نقطة" . عالم الرياضيات .