الدوران حول محور ثابت

جزء من سلسلة عن
الميكانيكا الكلاسيكية
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ القانون الثاني للحركة
تاريخ الخط الزمني الكتب المدرسية
الفروع مُطبَّق سماوي استمرارية ديناميكيات نظرية المجال علم الحركة الحركية الإحصائيات الميكانيكا الإحصائية
الأساسيات تسريع الزخم الزاوي زوج مبدأ دالمبيرت طاقة حركي محتمل قوة إطار مرجعي الإطار المرجعي بالقصور الذاتي دفعة القصور الذاتي  / عزم القصور الذاتي كتلة القوة الميكانيكية العمل الميكانيكي لحظة دَفعَة فضاء سرعة وقت عزم الدوران سرعة العمل الافتراضي
تركيبات قوانين نيوتن للحركة الميكانيكا التحليلية ميكانيكا لاغرانج ميكانيكا هاملتونية ميكانيكا روثيان معادلة هاملتون-جاكوبي معادلة آبل للحركة Koopman–von Neumann mechanics
Core topics Damping Displacement Equations of motion Euler's laws of motion Fictitious force Friction Harmonic oscillator Inertial / Non-inertial reference frame Mechanics of planar particle motion Motion (linear) Newton's law of universal gravitation Newton's laws of motion Relative velocity Rigid body dynamics Euler's equations Simple harmonic motion Vibration
Rotation Circular motion Rotating reference frame Centripetal force Centrifugal force reactive Coriolis force Pendulum Tangential speed Rotational frequency Angular acceleration / displacement / frequency / velocity
Scientists Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Maupertuis Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Poisson Hamilton Jacobi Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Physics portal  Category
v t e

الدوران حول محور ثابت أو الدوران المحوري هو حالة خاصة من الحركة الدورانية حول محور دوران ثابت أو ثابت أو ساكن في فضاء ثلاثي الأبعاد . يستبعد هذا النوع من الحركة إمكانية تغيير محور الدوران اللحظي لاتجاهه ولا يمكنه وصف ظواهر مثل التذبذب أو التقدم . وفقًا لنظرية أويلر للدوران ، فإن الدوران المتزامن على طول عدد من المحاور الثابتة في نفس الوقت أمر مستحيل؛ إذا تم فرض دورانين في نفس الوقت، فسينتج محور دوران جديد.

يفترض هذا المفهوم أن الدوران مستقر أيضًا، بحيث لا يلزم وجود عزم دوران لإبقائه مستمرًا. إن حركيات وديناميكيات الدوران حول محور ثابت لجسم صلب أبسط رياضيًا بكثير من تلك الخاصة بالدوران الحر لجسم صلب ؛ فهي مماثلة تمامًا لتلك الخاصة بالحركة الخطية على طول اتجاه ثابت واحد، وهو ما لا ينطبق على الدوران الحر لجسم صلب . كما أن تعبيرات الطاقة الحركية للجسم، والقوى المؤثرة على أجزاء الجسم، أبسط أيضًا للدوران حول محور ثابت، مقارنة بالحركة الدورانية العامة. ولهذه الأسباب، يتم تدريس الدوران حول محور ثابت عادةً في دورات الفيزياء التمهيدية بعد أن يتقن الطلاب الحركة الخطية ؛ ولا يتم تدريس عمومية الحركة الدورانية الكاملة عادةً في فصول الفيزياء التمهيدية.

الجسم الصلب هو جسم ذو مدى محدود حيث تكون جميع المسافات بين الجسيمات المكونة له ثابتة. لا يوجد جسم صلب حقًا؛ يمكن للقوى الخارجية تشويه أي جسم صلب. وبالتالي، لأغراضنا، فإن الجسم الصلب هو جسم صلب يتطلب قوى كبيرة لتشويهه بشكل ملحوظ.

يمكن تحديد التغير في موضع جسيم في فضاء ثلاثي الأبعاد بشكل كامل من خلال ثلاثة إحداثيات. أما التغير في موضع جسم صلب فهو أكثر تعقيدًا في الوصف. ويمكن اعتباره مزيجًا من نوعين مختلفين من الحركة: الحركة الانتقالية والحركة الدائرية.

تحدث الحركة الانتقالية البحتة عندما يكون لكل جسيم من جسيمات الجسم نفس السرعة اللحظية لأي جسيم آخر؛ ثم يكون المسار الذي يتتبعه أي جسيم موازيًا تمامًا للمسار الذي يتتبعه أي جسيم آخر في الجسم. في الحركة الانتقالية، يتم تحديد التغيير في موضع الجسم الصلب تمامًا من خلال ثلاثة إحداثيات مثل x و y و z مما يعطي إزاحة أي نقطة، مثل مركز الكتلة، مثبتة على الجسم الصلب.

تحدث الحركة الدورانية البحتة إذا تحرك كل جسيم في الجسم في دائرة حول خط واحد. يسمى هذا الخط محور الدوران. ثم تخضع متجهات نصف القطر من المحور إلى جميع الجسيمات لنفس الإزاحة الزاوية في نفس الوقت. لا يلزم أن يمر محور الدوران عبر الجسم. بشكل عام، يمكن تحديد أي دوران تمامًا من خلال الإزاحات الزاوية الثلاثة فيما يتعلق بالمحاور ذات الإحداثيات المستطيلة x و y و z . وبالتالي يتم وصف أي تغيير في موضع الجسم الصلب تمامًا من خلال ثلاثة إحداثيات انتقالية وثلاثة إحداثيات دورانية.

إن أي إزاحة لجسم صلب يمكن التوصل إليها من خلال إخضاع الجسم أولاً لإزاحة تليها دورة، أو على العكس من ذلك، لدوران تليها إزاحة. ونحن نعلم بالفعل أنه بالنسبة لأي مجموعة من الجسيمات - سواء كانت في حالة سكون بالنسبة لبعضها البعض، كما هو الحال في الجسم الصلب، أو في حركة نسبية، مثل شظايا قذيفة متفجرة، فإن تسارع مركز الكتلة يعطى من خلال _{حيث M هي الكتلة الكلية للنظام وcm} هو تسارع مركز الكتلة . ويبقى الأمر يتعلق بوصف دوران الجسم حول مركز الكتلة وربطه بالقوى الخارجية المؤثرة على الجسم. إن حركية وديناميكية الحركة الدورانية حول محور واحد تشبه حركية وديناميكية الحركة الانتقالية؛ حتى أن الحركة الدورانية حول محور واحد لها نظرية عمل-طاقة مماثلة لنظرية ديناميكيات الجسيمات. $${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }}$$

بالنسبة لجسيم يتحرك على طول محيط دائرة نصف قطرها ، بعد أن تحرك بطول قوس ، فإن موضعه الزاوي يكون نسبيًا لموضعه الأولي، حيث . ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$

في الرياضيات والفيزياء، من المعتاد معاملة الراديان ، وحدة قياس الزاوية المستوية، على أنها 1، وغالبًا ما يتم حذفها. يتم تحويل الوحدات على النحو التالي: $${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}\,,\quad 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.}$$

الإزاحة الزاوية هي تغيير في الموضع الزاوي: حيث هي الإزاحة الزاوية، هي الموضع الزاوي الأولي و هي الموضع الزاوي النهائي. $${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},}$$${\displaystyle \Delta \theta }$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

يُطلق على التغير في الإزاحة الزاوية لكل وحدة زمنية اسم السرعة الزاوية مع الاتجاه على طول محور الدوران. رمز السرعة الزاوية هو والوحدات عادةً هي rad s ⁻¹ . السرعة الزاوية هي مقدار السرعة الزاوية. ω ¯ = Δ θ Δ t = θ 2 − θ 1 t 2 − t 1. {\displaystyle {\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.} ${\displaystyle \omega }$

يتم إعطاء السرعة الزاوية اللحظية بواسطة ω ( t ) = d θ d t . {\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.}

باستخدام صيغة الموضع الزاوي والسماح لـ ، لدينا أيضًا ω = d θ d t = v r ، حيث هي السرعة الانتقالية للجسيم. ${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}}$${\displaystyle v}$

ترتبط السرعة الزاوية والتردد بواسطة ω = 2 π f . {\displaystyle \omega ={2\pi f}\,.}

تشير السرعة الزاوية المتغيرة إلى وجود تسارع زاوي في جسم صلب، يقاس عادةً بالراديان/ثانية ⁻² . يُعطى متوسط ​​التسارع الزاوي على مدى فترة زمنية Δ t بواسطة α ¯ = Δ ω Δ t = ω 2 − ω 1 t 2 − t 1. {\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.} ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$

التسارع اللحظي α ( t ) يعطى بواسطة α ( t ) = d ω d t = d 2 θ d t 2 . {\displaystyle \alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}

وبالتالي، فإن التسارع الزاوي هو معدل تغير السرعة الزاوية، كما أن التسارع هو معدل تغير السرعة.

يُعطى التسارع الانتقالي لنقطة على الجسم الدوار بالعلاقة حيث r هو نصف القطر أو المسافة من محور الدوران. هذا هو أيضًا المكون المماسي للتسارع: فهو مماسي لاتجاه حركة النقطة. إذا كان هذا المكون يساوي 0، فإن الحركة تكون حركة دائرية منتظمة ، وتتغير السرعة في الاتجاه فقط. $${\displaystyle a=r\alpha ,}$$

التسارع الشعاعي (العمودي على اتجاه الحركة) يعطى بواسطة وهو موجه نحو مركز الحركة الدورانية، ويسمى غالبًا بالتسارع المركزي . $${\displaystyle a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\,.}$$

يحدث التسارع الزاوي بسبب عزم الدوران ، والذي يمكن أن يكون له قيمة موجبة أو سالبة وفقًا لاتفاقية التردد الزاوي الموجب والسالب. العلاقة بين عزم الدوران والتسارع الزاوي (مدى صعوبة بدء الدوران أو إيقافه أو تغييره بأي طريقة أخرى) تعطى بواسطة عزم القصور الذاتي : . ${\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}=I\alpha }$

عندما يكون التسارع الزاوي ثابتًا، يمكن ربط الكميات الخمس: الإزاحة الزاوية ، والسرعة الزاوية الأولية ، والسرعة الزاوية النهائية ، والتسارع الزاوي ، والزمن بأربع معادلات حركية : ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}}$$

عزم القصور الذاتي لجسم، والذي يرمز له بالرمز , هو مقياس لمقاومة الجسم للتغيرات التي تطرأ على دورانه. يقاس عزم القصور الذاتي بالكيلوجرام متر مربع (كجم م ² ). ويعتمد على كتلة الجسم: فزيادة كتلة الجسم تزيد من عزم القصور الذاتي. كما يعتمد على توزيع الكتلة: فتوزيع الكتلة بعيدًا عن مركز الدوران يزيد من عزم القصور الذاتي بدرجة أكبر. بالنسبة لجسيم واحد من الكتلة على مسافة من محور الدوران، يُعطى عزم القصور الذاتي بالرمز I = m r 2 . {\displaystyle I=mr^{2}} ${\displaystyle I}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$

عزم الدوران هو التأثير الالتواءي للقوة F المطبقة على جسم دوار يقع في الموضع r من محور دورانه. رياضيًا، τ = r × F، {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}،} حيث يشير × إلى حاصل الضرب الاتجاهي . سيؤدي عزم الدوران الصافي المؤثر على جسم إلى إحداث تسارع زاوي للجسم وفقًا لـ τ = I α، {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}،} تمامًا كما هو الحال مع F = m a في الديناميكية الخطية. ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

العمل الذي يقوم به عزم الدوران المؤثر على جسم يساوي مقدار عزم الدوران مضروبًا في الزاوية التي يتم من خلالها تطبيق عزم الدوران: $${\displaystyle W=\tau \theta .}$$

إن قوة عزم الدوران تساوي العمل الذي يقوم به عزم الدوران لكل وحدة زمنية، وبالتالي: $${\displaystyle P=\tau \omega .}$$

الزخم الزاوي هو مقياس لصعوبة إرجاع جسم دوار إلى وضع السكون. ويعطى بالمعادلة L = ∑ r × p , {\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,} حيث يتم أخذ المجموع على جميع الجسيمات في الجسم. ${\displaystyle \mathbf {L} }$

الزخم الزاوي هو حاصل ضرب عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية: L = I ω , {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},} تمامًا كما هو الحال مع p = m v في الديناميكيات الخطية.

النظير للزخم الخطي في الحركة الدورانية هو الزخم الزاوي. فكلما زاد الزخم الزاوي للجسم الدوار مثل القمة، زادت ميله إلى الاستمرار في الدوران.

يتناسب الزخم الزاوي لجسم دوار مع كتلته وسرعة دورانه. بالإضافة إلى ذلك، يعتمد الزخم الزاوي على كيفية توزيع الكتلة بالنسبة لمحور الدوران: فكلما ابتعدت الكتلة عن محور الدوران، زاد الزخم الزاوي. يتمتع القرص المسطح مثل القرص الدوار للأسطوانات بزخم زاوي أقل من الأسطوانة المجوفة التي لها نفس الكتلة وسرعة الدوران.

مثل الزخم الخطي، الزخم الزاوي هو كمية متجهة، وحفظه يعني أن اتجاه محور الدوران يميل إلى البقاء دون تغيير. لهذا السبب، تظل القمة الدوارة قائمة بينما تسقط القمة الثابتة على الفور.

يمكن استخدام معادلة الزخم الزاوي لربط عزم القوة المحصلة على جسم حول محور (يُطلق عليه أحيانًا عزم الدوران)، ومعدل الدوران حول هذا المحور.

يرتبط عزم الدوران والزخم الزاوي وفقًا لـ τ = d L d t ، تمامًا كما هو الحال مع F = d p / dt في الديناميكيات الخطية. في غياب عزم الدوران الخارجي، يظل الزخم الزاوي للجسم ثابتًا. يتجلى الحفاظ على الزخم الزاوي بشكل ملحوظ في التزلج الفني : عند سحب الذراعين أقرب إلى الجسم أثناء الدوران، ينخفض ​​عزم القصور الذاتي، وبالتالي تزداد السرعة الزاوية.

الطاقة الحركية الناتجة عن دوران الجسم تعطى بواسطة ${\displaystyle K_{\text{rot}}}$

$${\displaystyle K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}$$ كما هو الحال في الديناميكيات الخطية. ${\displaystyle K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

الطاقة الحركية هي طاقة الحركة. كمية الطاقة الحركية الانتقالية الموجودة في متغيرين: كتلة الجسم ( ) وسرعة الجسم ( ) كما هو موضح في المعادلة أعلاه. يجب أن تكون الطاقة الحركية دائمًا إما صفرًا أو قيمة موجبة. بينما يمكن أن يكون للسرعة قيمة موجبة أو سالبة، فإن مربع السرعة سيكون دائمًا موجبًا. ^[1]${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$

التطور المذكور أعلاه هو حالة خاصة للحركة الدورانية العامة. في الحالة العامة، تعتبر الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي وعزم الدوران متجهات .

تعتبر الإزاحة الزاوية متجهًا يشير على طول المحور، ويكون مقداره مساويًا لمقدار . تُستخدم قاعدة اليد اليمنى لإيجاد الاتجاه الذي يشير إليه على طول المحور؛ إذا كانت أصابع اليد اليمنى ملتفة للإشارة إلى الاتجاه الذي دار به الجسم، فإن إبهام اليد اليمنى يشير في اتجاه المتجه. ${\displaystyle \Delta \theta }$

يشير متجه السرعة الزاوية أيضًا على طول محور الدوران بنفس الطريقة التي تشير بها الإزاحات الزاوية التي يسببها. إذا دار قرص عكس اتجاه عقارب الساعة كما يُرى من الأعلى، فإن متجه سرعته الزاوية يشير إلى الأعلى. وبالمثل، يشير متجه التسارع الزاوي على طول محور الدوران في نفس الاتجاه الذي تشير إليه السرعة الزاوية إذا تم الحفاظ على التسارع الزاوي لفترة طويلة.

يشير متجه عزم الدوران على طول المحور الذي يميل عزم الدوران حوله إلى التسبب في الدوران. للحفاظ على الدوران حول محور ثابت، يجب أن يكون متجه عزم الدوران الإجمالي على طول المحور، بحيث يغير فقط مقدار وليس اتجاه متجه السرعة الزاوية. في حالة المفصلة، ​​يكون لمكون متجه عزم الدوران على طول المحور فقط تأثير على الدوران، ويتم تعويض القوى وعزمات الدوران الأخرى بواسطة الهيكل.

أبسط حالة للدوران حول محور ثابت هي حالة السرعة الزاوية الثابتة. عندها يكون عزم الدوران الكلي صفرًا. بالنسبة لمثال دوران الأرض حول محورها، يكون الاحتكاك ضئيلًا للغاية. بالنسبة للمروحة ، يطبق المحرك عزم دوران للتعويض عن الاحتكاك. على غرار المروحة، تُظهر المعدات الموجودة في صناعة التصنيع للإنتاج الضخم الدوران حول محور ثابت بشكل فعال. على سبيل المثال، يتم استخدام مخرطة متعددة المغازل لتدوير المادة على محورها لزيادة إنتاجية عمليات القطع والتشوه والتحويل بشكل فعال. ^[2] زاوية الدوران هي دالة خطية للوقت، والتي تعد دالة دورية بقسمة 360 درجة.

ومن الأمثلة على ذلك مشكلة الجسمين ذات المدارات الدائرية .

يوفر إجهاد الشد الداخلي القوة المركزية التي تحافظ على تماسك الجسم الدوار. يتجاهل نموذج الجسم الصلب الانفعال المصاحب . إذا لم يكن الجسم صلبًا، فإن هذا الانفعال سيؤدي إلى تغيير شكله. يتم التعبير عن ذلك بتغيير شكل الجسم بسبب " القوة الطاردة المركزية ".

غالبًا ما يكون للأجرام السماوية التي تدور حول بعضها البعض مدارات إهليلجية . الحالة الخاصة للمدارات الدائرية هي مثال للدوران حول محور ثابت: هذا المحور هو الخط الذي يمر عبر مركز الكتلة عموديًا على مستوى الحركة. يتم توفير القوة المركزية بواسطة الجاذبية ، انظر أيضًا مشكلة الجسمين . ينطبق هذا عادةً أيضًا على الجسم السماوي الدوار، لذلك لا يلزم أن يكون صلبًا للبقاء معًا ما لم تكن السرعة الزاوية عالية جدًا بالنسبة لكثافته. (ومع ذلك، فإنه يميل إلى أن يصبح مفلطحًا .) على سبيل المثال، يجب أن يستغرق الجسم السماوي المائي الدوار 3 ساعات و 18 دقيقة على الأقل للدوران، بغض النظر عن الحجم، أو سينفصل الماء ^{[ بحاجة لمصدر ]} . إذا كانت كثافة السائل أعلى، يمكن أن يكون الوقت أقل. انظر الفترة المدارية . ^[3]

• أساسيات الفيزياء الموسعة الطبعة السابعة بقلم هاليداي وريسنيكووكر. رقم ISBN 0-471-23231-9 
• مفاهيم الفيزياء المجلد الأول، تأليف إتش سي فيرما ، الطبعة الأولى، رقم ISBN 81-7709-187-5