حلقة أحادية

الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، الحلقة الأحادية هي حلقة مبنية من حلقة وأحادية ، تمامًا كما يتم بناء حلقة المجموعة من حلقة ومجموعة .

تعريف

ليكن R حلقة، وليكن G أحاديًا. حلقة الأحاديات أو جبر الأحاديات لـ G على R ، ويرمز لها بـ R [ G ] أو RG ، هي مجموعة المجاميع الشكلية.∑ز∈جيرزز{\displaystyle \sum _{g\in G}r_{g}g}، أينرز∈R{\displaystyle r_{g}\in R}لكلز∈جي{\displaystyle g\in G}ويكون r g = 0 لجميع قيم g باستثناء عدد محدود منها ، مزودًا بعملية جمع المعاملات، وعملية الضرب التي تتبادل فيها عناصر R مع عناصر G. وبشكل أكثر رسمية، فإن R [ G ] هو وحدة R الحرة على المجموعة G ، مزودة بعملية ضرب خطية R معرفة على العناصر الأساسية بواسطة g·h  := gh ، حيث يُفهم الجانب الأيسر على أنه عملية الضرب في R [ G ] والجانب الأيمن على أنه في G.

أو بدلاً من ذلك، يمكن تحديد العنصرز∈R[جي]{\displaystyle g\in R[G]}مع الدالة e g التي تُسقط g إلى 1 وكل عنصر آخر من G إلى 0. وبهذه الطريقة، يُعرَّف R [ G ] بمجموعة الدوال φ: G → R التي تحقق الشرط { g  : φ( g ) ≠ 0 }، وهي مجموعة منتهية. وهي مزودة بجمع الدوال، وضرب مُعرَّف بواسطة

(ϕψ)(ز)=∑كℓ=زϕ(ك)ψ(ℓ){\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}.

إذا كانت G مجموعة ، فإن R [ G ] تسمى أيضًا حلقة المجموعة لـ G على R.

الملكية العالمية

بفرض وجود R و G ، يوجد تشاكل حلقي α: R → R [ G ] يُرسل كل r إلى r ≡ 1 (حيث 1 هو العنصر المحايد في G )، وتشاكل أحادي β: G → R [ G ] (حيث يُنظر إلى الأخير على أنه أحادي تحت الضرب) يُرسل كل g إلى 1 ≡ g (حيث 1 هو العنصر المحايد الضربي في R ). لدينا أن α( r ) يتبادل مع β( g ) لجميع r في R و g في G.

تنص الخاصية العامة لحلقة المونويد على أنه إذا أعطيت حلقة S ، وتشاكل حلقة α': R → S ، وتشاكل مونويد β': G → S إلى المونويد الضربي لـ S ، بحيث يتبادل α'( r ) مع β'( g ) لجميع r في R و g في G ، فهناك تشاكل حلقة فريد γ: R [ G ] → S بحيث يؤدي تركيب α و β مع γ إلى إنتاج α' و β '.

زيادة

التوسيع هو تماثل الحلقة η : R [ G ] → R المعرّف بواسطة

η(∑ز∈جيرزز)=∑ز∈جيرز.{\displaystyle \eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.}

تُسمى نواة η بالمثالي المُعزز . وهي وحدة R حرة ذات أساس يتكون من 1 – g لجميع قيم g في G التي لا تساوي 1.  

أمثلة

بفرض وجود حلقة R ومجموعة الأعداد الطبيعية N (أو { xⁿ } عند النظر إليها ضربيًا)، نحصل على حلقة كثيرات الحدود R [{ xⁿ } ] = R [ x ] على R. تعطي مجموعة الأعداد الطبيعية Nⁿ ( مع الجمع ) حلقة كثيرات الحدود ذات n متغيرًا: R [ Nⁿ ] = R [ X₁ , ..., Xⁿ ] .

تعميم

إذا كانت G شبه مجموعة ، فإن نفس البناء ينتج حلقة شبه مجموعة R [ G ].

انظر أيضاً

مراجع

للمزيد من القراءة