الحد الأقصى للتكرار

لكل${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$، يترك${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbb {R} }$لتكن متتالية أعداد حقيقية مزدوجة. عندئذٍ يوجد شكلان من النهايات المتكررة، وهما:

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}.}$

على سبيل المثال، لنفترض

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}.}$

ثم

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }1=1,{\text{ و}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0.}$

يترك${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$ثم هناك أيضاً شكلان من أشكال النهايات المتكررة، وهما:

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y).}$

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} }$بحيث

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}.}$

ثم

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0,}$و

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}1=1.}$^{[ 1 ]}

يمكن أيضًا أخذ النهاية (النهايات) لـ x و/أو y عند اللانهاية، أي

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y).}$

لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، يترك${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$لتكن متتالية من الدوال. عندئذٍ يوجد شكلان من النهايات المتكررة، وهما:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R} }$بحيث

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$.

ثم

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }1=1,{\text{ and}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0.}$^{[ 2 ]}

يمكن أيضًا حساب النهاية بالنسبة لـ x عند اللانهاية، أي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle f_{n}:(0,\infty )\to \mathbb {R} }$بحيث

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{n}}}.}$

ثم

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }0=0,{\text{ and}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to \infty }0=0.}$

لاحظ أن النهاية في n يتم أخذها بشكل منفصل، بينما يتم أخذ النهاية في x بشكل مستمر.

لتسلسل مزدوج${\displaystyle a_{n,m}\in \mathbb {R} }$وهناك تعريف آخر للنهاية ، يُشار إليه عادةً بالنهاية المزدوجة ، ويُرمز إليه بـ

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m},}$

وهذا يعني أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$، هناك${\displaystyle N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle n,m>N}$يشير إلى${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<\varepsilon }$[ ^{3 ]​}

تنص النظرية التالية على العلاقة بين النهاية المزدوجة والنهايات المتكررة.

النظرية 1. إذا${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$موجود ويساوي L ،${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$يوجد لكل قيمة كبيرة لـ m ، و${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$يوجد لكل قيمة كبيرة لـ n ، إذن${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$وهي موجودة أيضاً، وتساوي L ، أي

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}.}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

البرهان . بوجود${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$، يوجد${\displaystyle N_{1}=N_{1}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle n,m>N_{1}}$يشير إلى${\displaystyle \left|a_{n,m}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

دع الجميع${\displaystyle n>N_{0}}$بحيث${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=A_{n}}$موجود، هناك موجود${\displaystyle N_{2}=N_{2}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle m>N_{2}}$يشير إلى${\displaystyle \left|a_{n,m}-A_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$.

كلا العبارتين أعلاه صحيحتان بالنسبة لـ${\displaystyle n>\max(N_{0},N_{1})}$و${\displaystyle m>\max(N_{1},N_{2})}$بدمج المعادلات من المعادلتين السابقتين، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$للجميع${\displaystyle n>N}$،

${\displaystyle \left|A_{n}-L\right|<\varepsilon ,}$

مما يثبت أن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}\displaystyle }$وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$، نثبت:${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$.

على سبيل المثال، لنفترض

${\displaystyle a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}.}$

منذ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=0}$،${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}}$، و${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{n}}}$لدينا

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0.}$

تتطلب هذه النظرية النهايات الفردية${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}}$و${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$للتقارب. لا يمكن حذف هذا الشرط. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك

${\displaystyle a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right).}$

عندها قد نرى ذلك

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0,}$

لكن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$غير موجود.

وذلك لأن${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}}$غير موجود أصلاً.

بالنسبة لدالة ذات متغيرين${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$وهناك نوعان آخران من النهايات . أحدهما هو النهاية العادية ، ويرمز لها بـ

${\displaystyle L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y),}$

وهذا يعني أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$، هناك${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}$بحيث${\displaystyle 0<{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}<\delta }$يشير إلى${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\varepsilon }$[ ^{6 ]​}

لكي توجد هذه النهاية، يمكن جعل f ( x , y ) قريبة قدر الإمكان من L على طول كل مسار ممكن يقترب من النقطة ( a , b ). في هذا التعريف، تُستثنى النقطة ( a , b ) من المسارات. لذلك، فإن قيمة f عند النقطة ( a , b )، حتى لو كانت مُعرَّفة، لا تؤثر على النهاية.

أما النوع الآخر فهو النهاية المزدوجة ، ويرمز لها بـ

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y),}$

وهذا يعني أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$، هناك${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}$بحيث${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$و${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta }$يشير إلى${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\varepsilon .}$^{[ 7 ]}

لكي توجد هذه النهاية، يمكن جعل f ( x , y ) قريبة قدر الإمكان من L على طول كل مسار ممكن يقترب من النقطة ( a , b )، باستثناء الخطين x  = a و y = b . بعبارة أخرى، لا تؤثر قيمة f على طول الخطين x = a و y = b على النهاية. وهذا يختلف عن النهاية العادية حيث تُستثنى النقطة ( a , b ) فقط. وبهذا المعنى، تُعد النهاية العادية مفهومًا أقوى من النهاية المزدوجة.       

النظرية 2. إذا${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$إذا كان موجودًا ويساوي L ، فـ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$موجود ويساوي L ، أي

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y).}$

لا تتضمن هاتان النهايتان حساب نهاية واحدة أولاً ثم أخرى. وهذا يختلف عن النهايات المتكررة حيث تُحسب النهاية في اتجاه المحور السيني أولاً، ثم في اتجاه المحور الصادي (أو بترتيب عكسي).

تنص النظرية التالية على العلاقة بين النهاية المزدوجة والنهايات المتكررة:

النظرية 3. إذا${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$موجود ويساوي L ،${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$يوجد لكل قيمة y قريبة من b ، و${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$يوجد لكل قيمة x قريبة من a ، إذن${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$و${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$وهي موجودة أيضاً، وتساوي L ، أي

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y).}$

على سبيل المثال، لنفترض

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}xy\neq 0,\\0&{\text{for }}xy=0.\end{cases}}}$

منذ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1}$،${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}y\neq 0\\0&{\text{for }}y=0\end{cases}}}$و${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}&x\neq 0,\\0&{\text{for }}&x=0,\end{cases}}}$لدينا

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1.}$

(لاحظ أنه في هذا المثال،${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$(غير موجود.)

تتطلب هذه النظرية النهايات الفردية${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$و${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$أن يكون موجودًا. لا يمكن التخلي عن هذا الشرط. على سبيل المثال، لنفترض

${\displaystyle f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right).}$

عندها قد نرى ذلك

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0,}$

لكن${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)}$غير موجود.

وذلك لأن${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(x,y)}$لا يوجد أصلاً عندما تكون قيمة x قريبة من الصفر.

بدمج النظريتين 2 و3، نحصل على النتيجة التالية:

النتيجة 3.1 . إذا${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$موجود ويساوي L ،${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)}$يوجد لكل قيمة y قريبة من b ، و${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)}$يوجد لكل قيمة x قريبة من a ، إذن${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}$و${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)}$وهي موجودة أيضاً، وتساوي L ، أي

${\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$.

بالنسبة لدالة ذات متغيرين${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$ويمكننا أيضاً تعريف النهاية المزدوجة عند اللانهاية.

${\displaystyle L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y),}$

وهذا يعني أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$، هناك${\displaystyle M=M(\varepsilon )>0}$بحيث${\displaystyle x>M}$و${\displaystyle y>M}$يشير إلى${\displaystyle \left|f(x,y)-L\right|<\varepsilon }$.

يمكن تقديم تعريفات مماثلة للنهايات عند اللانهاية السالبة.

تنص النظرية التالية على العلاقة بين النهاية المزدوجة عند اللانهاية والنهايات المتكررة عند اللانهاية:

النظرية 4. إذا${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)}$موجود ويساوي L ،${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$يوجد لكل قيمة كبيرة لـ y ، و${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$يوجد لكل قيمة كبيرة لـ x ، إذن${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)}$و${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$وهي موجودة أيضاً، وتساوي L ، أي

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y).}$

على سبيل المثال، لنفترض

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}.}$

منذ${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=0}$،${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}}$و${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$لدينا

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$.

مرة أخرى، تتطلب هذه النظرية النهايات الفردية${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$و${\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(x,y)}$أن يكون موجودًا. لا يمكن التخلي عن هذا الشرط. على سبيل المثال، لنفترض

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}.}$

عندها قد نرى ذلك

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0}$،

لكن${\displaystyle \lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)}$غير موجود.

وذلك لأن${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x,y)}$لا يوجد حل لقيمة y ثابتة في المقام الأول.

لا تصحّ عكس النظريات 1 و3 و4، أي أن وجود النهايات المتكررة، حتى لو كانت متساوية، لا يستلزم وجود النهاية المزدوجة. ومن الأمثلة المضادة على ذلك:

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

بالقرب من النقطة (0، 0). من جهة،

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0.}$

من ناحية أخرى، الحد المزدوج${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)}$غير موجود. يمكن إثبات ذلك بأخذ النهاية على طول المسار ( x , y ) = ( t , t ) → (0,0)، مما يعطي

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}},}$

وعلى طول المسار ( س ، ص ) = ( ت ، ت² ) → (0 ^، 0)، مما يعطي

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}}}=0.}$

تسمح لنا النظرية التالية بتبديل نهايتين للمتتاليات.

النظرية 5. إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}}$بشكل منتظم (بالمتر ) ، و${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}}$لكل قيمة كبيرة لـ n ، فإن كليهما${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}}$و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}}$موجودة وتساوي النهاية المزدوجة، أي

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$[ ^{3 ]​}

البرهان . بالتقارب المنتظم، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle N_{1}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$،${\displaystyle n,k>N_{1}}$يشير إلى${\displaystyle \left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

مثل${\displaystyle m\to \infty }$لدينا${\displaystyle \left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$وهذا يعني أن${\displaystyle c_{n}}$هي متتالية كوشي تتقارب إلى حد معين${\displaystyle L}$بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle k\to \infty }$لدينا${\displaystyle \left|c_{n}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

من ناحية أخرى، إذا أخذنا${\displaystyle k\to \infty }$أولاً، لدينا${\displaystyle \left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

بحسب التقارب النقطي، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$و${\displaystyle n>N_{1}}$، هناك${\displaystyle N_{2}(\varepsilon ,n)\in \mathbb {N} }$بحيث${\displaystyle m>N_{2}}$يشير إلى${\displaystyle \left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

ثم تم إصلاح ذلك${\displaystyle n}$،${\displaystyle m>N_{2}}$يشير إلى${\displaystyle \left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \varepsilon }$.

وهذا يثبت أن${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{n}}$.

أيضًا، عن طريق أخذ${\displaystyle N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$نلاحظ أن هذه النهاية تساوي أيضًا${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}}$.

وتتمثل إحدى النتائج في إمكانية تبادل المجموع اللانهائي .

النتيجة 5.1 . إذا${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}}$يتقارب بانتظام (في m )، و${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$يتقارب لكل قيمة كبيرة لـ n ، إذن ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}}$.

البرهان . تطبيق مباشر للنظرية 5 على${\displaystyle S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{\ell }a_{n,m}}$.

تنطبق نتائج مماثلة على الدوال متعددة المتغيرات.

النظرية 6. إذا${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)}$بشكل منتظم (في y ) على${\displaystyle Y\smallsetminus \{b\}}$، و${\displaystyle \lim _{y\to b}f(x,y)=h(x)}$لكل قيمة x قريبة من a ، فإن كليهما${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$و${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$موجودة وتساوي النهاية المزدوجة، أي

${\displaystyle \lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y).}$^{[ 9 ]}

قد تكون قيمتا a و b هنا لانهائيتين.

البرهان . من خلال وجود النهاية المنتظمة، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle \delta _{1}(\varepsilon )>0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle y\in Y\smallsetminus \{b\}}$،${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta _{1}}$و${\displaystyle 0<\left|w-a\right|<\delta _{1}}$يشير إلى${\displaystyle \left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

مثل${\displaystyle y\to b}$لدينا${\displaystyle \left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$. وفقًا لمعيار كوشي ،${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)}$موجود ويساوي رقمًا${\displaystyle L}$بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle w\to a}$لدينا${\displaystyle \left|h(x)-L\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

من ناحية أخرى، إذا أخذنا${\displaystyle w\to a}$أولاً، لدينا${\displaystyle \left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

بوجود النهاية النقطية، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$و${\displaystyle x}$قريب${\displaystyle a}$، هناك${\displaystyle \delta _{2}(\varepsilon ,x)>0}$بحيث${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$يشير إلى${\displaystyle \left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

ثم تم إصلاح ذلك${\displaystyle x}$،${\displaystyle 0<\left|y-b\right|<\delta _{2}}$يشير إلى${\displaystyle \left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x)\right|+\left|h(x)-L\right|\leq \varepsilon }$.

وهذا يثبت أن${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a}h(x).}$

أيضًا، عن طريق أخذ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$نلاحظ أن هذه النهاية تساوي أيضًا${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)}$.

لاحظ أن هذه النظرية لا تستلزم وجود${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)}$. مثال مضاد هو${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{for }}xy\neq 0\\0&{\text{for }}xy=0\end{cases}}}$بالقرب من (0,0). ^{[ 10 ]}

يُعد أحد الاختلافات المهمة لنظرية مور-أوسجود خاصًا بتسلسلات الدوال.

النظرية 7. إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$بشكل منتظم (في x ) على${\displaystyle X\smallsetminus \{a\}}$، و${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{n}}$لكل قيمة كبيرة لـ n ، فإن كليهما${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }L_{n}}$موجود ومتساوي، أي

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$[ ^{11 ]​}

قد يكون الحرف "a" هنا لانهائيًا.

البرهان . بالتقارب المنتظم، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x\in D\smallsetminus \{a\}}$،${\displaystyle n,m>N}$يشير إلى${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

مثل${\displaystyle x\to a}$لدينا${\displaystyle \left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$وهذا يعني أن${\displaystyle L_{n}}$هي متتالية كوشي تتقارب إلى حد معين${\displaystyle L}$بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle m\to \infty }$لدينا${\displaystyle \left|L_{n}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

من ناحية أخرى، إذا أخذنا${\displaystyle m\to \infty }$أولاً، لدينا${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

بوجود النهاية النقطية، لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$و${\displaystyle n>N}$، هناك${\displaystyle \delta (\varepsilon ,n)>0}$بحيث${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$يشير إلى${\displaystyle \left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

ثم تم إصلاح ذلك${\displaystyle n}$،${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$يشير إلى${\displaystyle \left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \varepsilon }$.

وهذا يثبت أن${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_{n}}$.

ومن النتائج المترتبة على ذلك نظرية الاستمرارية للتقارب المنتظم كما يلي:

النتيجة 7.1 . إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$بشكل منتظم (في x ) على${\displaystyle X}$، و${\displaystyle f_{n}(x)}$متصلة عند​${\displaystyle x=a\in X}$، ثم${\displaystyle f(x)}$وهو مستمر أيضًا عند${\displaystyle x=a}$.

بمعنى آخر، النهاية المنتظمة للدوال المتصلة تكون متصلة.

البرهان . بحسب النظرية 7،${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)}$.

وهناك نتيجة أخرى تتعلق بإمكانية تبادل مفهومي النهاية والمجموع اللانهائي .

النتيجة 7.2 . إذا${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$يتقارب بانتظام (في x ) على${\displaystyle X\smallsetminus \{a\}}$، و${\displaystyle \lim _{x\to a}f_{n}(x)}$موجود لجميع قيم n ، إذن${\displaystyle \lim _{x\to a}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)}$.

البرهان . تطبيق مباشر للنظرية 7 على${\displaystyle S_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}f_{n}(x)}$قريب${\displaystyle x=a}$.

لنفترض مصفوفة ذات عدد لا نهائي من العناصر

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrrr}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \\0&0&1&-1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right].}$

لنفترض أننا نريد إيجاد مجموع جميع القيم. إذا جمعناها عمودًا عمودًا أولًا، فسنجد أن العمود الأول يساوي 1، بينما تساوي جميع الأعمدة الأخرى 0. وبالتالي، فإن مجموع جميع الأعمدة يساوي 1. أما إذا جمعناها صفًا صفًا أولًا، فسنجد أن جميع الصفوف تساوي 0. وبالتالي، فإن مجموع جميع الصفوف يساوي 0.

يكمن تفسير هذه المفارقة في أن المجموع الرأسي إلى ما لا نهاية والمجموع الأفقي إلى ما لا نهاية هما عمليتان نهائيتان لا يمكن تبديلهما.${\displaystyle S_{n,m}}$ليكن مجموع المدخلات حتى المدخلات ( ن ، م ). إذن لدينا${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1}$، لكن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0}$في هذه الحالة، الحد المزدوج${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{n,m}}$غير موجود، وبالتالي فإن هذه المشكلة غير محددة بشكل جيد.

بحسب نظرية التكامل للتقارب المنتظم ، بمجرد أن نحصل على${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle X}$، النهاية بالنسبة لـ n والتكامل على فترة محدودة${\displaystyle [a,b]\subseteq X}$يمكن استبدالها:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,\mathrm {d} x}$.

ومع ذلك، قد لا تنطبق هذه الخاصية على التكامل غير المحدود على فترة غير محدودة.${\displaystyle [a,\infty )\subseteq X}$في هذه الحالة، يمكن الاعتماد على نظرية مور-أوسجود.

يعتبر${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$على سبيل المثال.

نقوم أولاً بتوسيع الدالة التكاملية على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$ل${\displaystyle x\in [0,\infty )}$(هنا x = 0 هي حالة حدية.)

يمكن إثبات ذلك باستخدام حساب التفاضل والتكامل لـ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$و${\displaystyle k\geq 1}$لدينا${\displaystyle x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}}$اختبار فايرشتراس إم ،${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle [0,\infty )}$.

ثم باستخدام نظرية التكامل للتقارب المنتظم،${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x}$.

لزيادة تغيير الحد${\displaystyle \lim _{b\to \infty }}$مع المجموع اللانهائي${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}$، تتطلب نظرية مور-أوسجود أن تكون السلسلة اللانهائية متقاربة بشكل منتظم.

لاحظ أن${\displaystyle \int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3}}}}$ومرة أخرى، باستخدام اختبار فايرشتراس إم،${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle [0,\infty )}$.

ثم بحسب نظرية مور-أوسجود،${\displaystyle L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)}$(هذه دالة زيتا لريمان .)