نهاية دالة

يفترض${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$هي دالة معرفة على خط الأعداد الحقيقية ، وهناك عددان حقيقيان p و L. يمكن القول: "نهاية f ( x) عندما يقترب x من p موجودة، وهي تساوي L ". ونكتب: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$ أو بدلاً من ذلك، قل " f ( x ) تقترب من L عندما يقترب x من p "، واكتب، $${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,}$$ إذا تحققت الخاصية التالية: لكل عدد حقيقي ε > 0 ، يوجد عدد حقيقي δ > 0 بحيث أنه لكل عدد حقيقي x ، فإن 0 < | x − p | < δ يستلزم | f ( x ) − L | < ε . ^{[ 9 ]} رمزياً، $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يقول $${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$ لأنه لكل عدد حقيقي ε > 0 ، يمكننا أن نأخذ δ = ε /4 ، بحيث أنه بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x ، إذا كان 0 < | x − 2 | < δ ، فإن | 4 x + 1 − 9 | < ε .

ينطبق تعريف أكثر عمومية على الدوال المعرفة على مجموعات جزئية من خط الأعداد الحقيقية. ليكن S مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} .}$دع​${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$لتكن دالة حقيقية القيمة . ولتكن p نقطة بحيث توجد فترة مفتوحة ( a , b ) تحتوي على p بحيث${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$ثم يقال إن نهاية الدالة f عندما يقترب x من p هي L ، إذا:

رمزياً، $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يقول $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}$$ لأنه لكل عدد حقيقي ε > 0 ، يمكننا اختيار δ = ε ، بحيث أنه لكل عدد حقيقي x ≥ −3 ، إذا كان 0 < | x − 1 | < δ ، فإن | f ( x ) − 2 | < ε . في هذا المثال، تحتوي المجموعة S = [−3, ∞) على فترات مفتوحة حول النقطة 1 (على سبيل المثال، الفترة (0, 2)).

لاحظ هنا أن قيمة النهاية لا تعتمد على كون الدالة f معرفة عند النقطة p ، ولا على قيمة f ( p ) - إن كانت معرفة. على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$$${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$ لأنه لكل ε > 0 ، يمكننا أن نأخذ δ = ε /2 ، بحيث أنه لكل عدد حقيقي x ≠ 1 ، إذا كان 0 < | x − 1 | < δ ، فإن | f ( x ) − 3 | < ε . لاحظ أن f (1) غير معرفة هنا .

في الواقع، يمكن أن يوجد حد في${\displaystyle \{p\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R}$ :p\in (a,b){\text{ و }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},} وهو ما يساوي${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$حيث يمثل int S الجزء الداخلي من S ، و iso S ^c النقاط المعزولة لمكمل S. في مثالنا السابق حيث${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$نرى، على وجه التحديد، أن هذا التعريف للنهاية يسمح بوجود نهاية عند 1، ولكن ليس عند 0 أو 2.

يمكن فهم الحرفين ε و δ على أنهما "خطأ" و "مسافة". في الواقع، استخدم كوشي ε كاختصار لكلمة "خطأ" في بعض أعماله، ^{[ 4 ]} على الرغم من أنه في تعريفه للاستمرارية، استخدم قيمة متناهية الصغر${\displaystyle \alpha }$بدلاً من ε أو δ (انظر دروس التحليل ). وبناءً على ذلك، يمكن تقليل الخطأ ( ε ) في قياس القيمة عند النهاية إلى أدنى حد ممكن عن طريق تقليل المسافة ( δ ) إلى نقطة النهاية. وكما سيتم توضيحه لاحقًا، ينطبق هذا التعريف أيضًا على الدوال في سياق أعم. إن فكرة أن δ و ε يمثلان المسافات تُسهم في توضيح هذه التعميمات.

أو بدلاً من ذلك، قد تقترب x من p من الأعلى (اليمين) أو من الأسفل (اليسار)، وفي هذه الحالة يمكن كتابة النهايات على النحو التالي:

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

أو

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

على التوالي. إذا وُجدت هذه النهايات عند النقطة p وكانت متساوية عندها، فيمكن الإشارة إلى ذلك بنهاية الدالة f ( x ) عند p . [ ^{10 ] إذا} وُجدت النهايات من جانب واحد عند p ، ولكنها غير متساوية، فلا توجد نهاية عند p (أي أن النهاية عند p غير موجودة). إذا لم توجد أي من النهايات من جانب واحد عند p ، فإن النهاية عند p غير موجودة أيضًا.

التعريف الرسمي هو كما يلي: نهاية الدالة f عندما يقترب x من p من الأعلى هي L إذا:

لكل ε > 0 ، يوجد δ > 0 بحيث عندما يكون 0 < x − p < δ ، يكون لدينا | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<xp<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

نهاية الدالة f عندما تقترب x من p من الأسفل هي L إذا:

لكل ε > 0 ، يوجد δ > 0 بحيث عندما يكون 0 < p − x < δ ، يكون لدينا | f ( x ) − L | < ε .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<px<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

إذا لم تكن النهاية موجودة، فإن تذبذب f عند p يكون غير صفري .

يمكن أيضاً تحديد الحدود من خلال الاقتراب من مجموعات فرعية من المجال.

بشكل عام: ^{[ 11 ]} ليكن${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$لتكن دالة حقيقية القيم معرفة على بعض${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$لتكن p نقطة نهاية لـ${\displaystyle T\subset S}$أي أن p هي نهاية متتالية من عناصر T تختلف عن p . عندئذٍ نقول إن نهاية f ، عندما تقترب x من p من قيم في T ، هي L ، وتُكتب $${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$ إذا تحقق ما يلي:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

لاحظ أن T يمكن أن تكون أي مجموعة جزئية من S ، مجال الدالة f . وقد تعتمد النهاية على اختيار T. يشمل هذا التعميم، كحالات خاصة، النهايات على فترة، بالإضافة إلى النهايات اليسرى للدوال الحقيقية (على سبيل المثال، باختيار T كفترة مفتوحة على الصورة (–∞, a ) )، والنهايات اليمنى (على سبيل المثال، باختيار T كفترة مفتوحة على الصورة ( a , ∞) ). كما أنه يوسع مفهوم النهايات أحادية الجانب ليشمل نقاط النهاية المضمنة في الفترات (شبه) المغلقة، وبالتالي دالة الجذر التربيعي.${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$يمكن أن يكون لها حد أقصى يساوي صفرًا عندما تقترب قيمة x من الصفر من الأعلى: $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$ بما أنه لكل ε > 0 ، يمكننا أن نأخذ δ = ε ² بحيث أنه لكل x ≥ 0 ، إذا كان 0 < | x − 0 | < δ ، فإن | f ( x ) − 0 | < ε .

يسمح هذا التعريف بتحديد حد عند نقاط الحد للمجال S ، إذا تم اختيار مجموعة فرعية مناسبة T لها نفس نقطة الحد.

والجدير بالذكر أن التعريف السابق ذو الجانبين يعمل على${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$وهي مجموعة فرعية من نقاط النهاية لـ S.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$سيعمل التعريف السابق ذو الجانبين على${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$لكنها لن تنجح عند 0 أو 2، وهما نقطتا حد S.

لا يعتمد تعريف النهاية الوارد هنا على كيفية (أو ما إذا كانت) الدالة f معرفة عند النقطة p . يشير بارتل ^{[ 12 ]} إلى هذا النوع من النهايات باسم النهاية المحذوفة ، لأنها تستبعد قيمة f عند p . أما النهاية غير المحذوفة المقابلة فتعتمد على قيمة f عند p ، إذا كانت p تنتمي إلى مجال تعريف f . لنفترض أن${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$لتكن f دالة حقيقية القيمة. النهاية غير المحذوفة للدالة f ، عندما يقترب x من p ، هي L إذا

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

التعريف هو نفسه، باستثناء أن الجوار | x − p | < δ يشمل الآن النقطة p ، على عكس الجوار المحذوف 0 < | x − p | < δ . هذا يجعل تعريف النهاية غير المحذوفة أقل عمومية. إحدى مزايا التعامل مع النهايات غير المحذوفة هي أنها تسمح بصياغة نظرية نهايات التركيبات دون أي قيود على الدوال (باستثناء وجود نهاياتها غير المحذوفة). ^{[ 13 ]}

يشير بارتل ^{[ 12 ]} إلى أنه على الرغم من أن بعض المؤلفين يقصدون بكلمة "حد" هذا الحد غير المحذوف، إلا أن الحدود المحذوفة هي الأكثر شيوعًا. ^{[ 14 ]}

يترك${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$لتكن دالة معرفة على${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$نهاية الدالة f عندما يقترب x من اللانهاية هي L ، ويرمز لها بـ

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

يعني ذلك أن:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

وبالمثل، فإن نهاية الدالة f عندما تقترب x من سالب ما لا نهاية هي L ، ويرمز لها بـ

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

يعني ذلك أن:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

على سبيل المثال، $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$ لأنه لكل ε > 0 ، يمكننا أن نأخذ c = 3/ ε بحيث أنه بالنسبة لجميع قيم x الحقيقية ، إذا كان x > c ، فإن | f ( x ) − 4 | < ε .

ومن الأمثلة الأخرى على ذلك $${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$ لأنه لكل ε > 0 ، يمكننا أن نأخذ c = max{1, −ln( ε )} بحيث أنه بالنسبة لجميع x الحقيقية ، إذا كان x < − c ، فإن | f ( x ) − 0 | < ε .

بالنسبة لدالة تتزايد قيمها بلا حدود، فإن الدالة تتباعد ولا توجد لها نهاية معتادة. مع ذلك، في هذه الحالة، يمكن تعريف نهايات ذات قيم لانهائية.

يترك${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$لتكن دالة معرفة على${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$العبارة التي تنص على أن نهاية الدالة f عندما يقترب x من p هي اللانهاية ، ويرمز لها بـ

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

يعني ذلك أن:

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

العبارة التي تنص على أن نهاية الدالة f عندما يقترب x من p هي سالب ما لا نهاية ، ويرمز لها بـ

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

يعني ذلك أن:

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

على سبيل المثال، $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$ لأنه لكل N > 0 ، يمكننا أن نأخذ${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$بحيث أنه بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية x > 0 ، إذا كان 0 < x − 1 < δ ، فإن f ( x ) > N .

يمكن استخدام هذه الأفكار معًا لإنتاج تعريفات لمجموعات مختلفة، مثل

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$أو${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

على سبيل المثال، $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$ لأنه لكل N > 0 ، يمكننا أن نأخذ δ = e ^{− N} بحيث أنه لكل عدد حقيقي x > 0 ، إذا كان 0 < x − 0 < δ ، فإن f ( x ) < − N .

ترتبط النهايات التي تتضمن اللانهاية بمفهوم الخطوط المقاربة .

تحاول هذه المفاهيم المتعلقة بالنهاية تقديم تفسير للفضاء المتري للنهايات عند اللانهاية. في الواقع، تتوافق هذه المفاهيم مع تعريف النهاية في الفضاء الطوبولوجي إذا

• تُعرَّف جوار −∞ بأنه يحتوي على الفترة [−∞, c ) لبعض ⁠${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$⁠
• تُعرَّف جوار ∞ بأنه يحتوي على الفترة ( c , ∞] حيث${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$و​
• حي من${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$يتم تعريفها بالطريقة المعتادة في الفضاء المتري${\displaystyle \mathbb {R} .}$⁠

في هذه الحالة ،${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$هو فضاء طوبولوجي وأي دالة من الشكل${\displaystyle f:X\to Y}$مع${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$يخضع هذا للتعريف الطوبولوجي للنهاية. تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام هذا التعريف الطوبولوجي، يسهل تعريف النهايات اللانهائية عند النقاط المحدودة، والتي لم تُعرَّف أعلاه بالمعنى المتري.

يُجيز العديد من المؤلفين ^{[ 15 ]} استخدام خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا كوسيلة لتضمين القيم اللانهائية بالإضافة إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد . وباستخدام هذه الصيغة، يُعطى خط الأعداد الحقيقية الممتد على النحو التالي :${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$والخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا هو${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$حيث أن جوار اللانهاية هو مجموعة من الشكل${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$ تكمن الميزة في أن ثلاثة تعريفات فقط للنهايات (يسار، يمين، ومركزي) تكفي لتغطية جميع الحالات. وكما ذُكر سابقًا، للحصول على شرح دقيق تمامًا، سنحتاج إلى دراسة 15 حالة منفصلة لكل تركيبة من اللانهاية (خمسة اتجاهات: −∞ ، يسار، مركزي، يمين، و+ ∞ ؛ ثلاثة حدود: −∞ ، محدود، أو + ∞ ). وهناك أيضًا بعض العيوب الجديرة بالذكر. على سبيل المثال، عند التعامل مع خط الأعداد الحقيقية الممتد،${\displaystyle x^{-1}}$لا يمتلك حدًا مركزيًا (وهذا أمر طبيعي):

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

في المقابل، عند العمل مع خط الأعداد الحقيقية الإسقاطي، تكون اللانهاية (مثل الصفر) غير موقعة، لذا فإن النهاية المركزية موجودة في هذا السياق:

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

في الواقع، هناك العديد من الأنظمة الرسمية المتضاربة قيد الاستخدام. في بعض تطبيقات التفاضل والتكامل العددي ، يكون من الملائم، على سبيل المثال، وجود أصفار مُوَقَّعة . أحد الأسباب البسيطة يتعلق بعكس${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$أي أنه مناسب لـ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$لاعتبارها صحيحة. يمكن اعتبار هذه الأصفار تقريبًا للكميات المتناهية الصغر .

توجد ثلاث قواعد أساسية لحساب النهايات عند اللانهاية للدالة الكسرية${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$(حيث p و q كثيرتا حدود):

• إذا كانت درجة p أكبر من درجة q ، فإن النهاية تكون موجبة أو سالبة لا نهائية اعتمادًا على إشارات المعاملات الرئيسية؛
• إذا كانت درجة p و q متساوية، فإن النهاية هي المعامل الرئيسي لـ p مقسومًا على المعامل الرئيسي لـ q ؛
• إذا كانت درجة p أقل من درجة q ، فإن النهاية تساوي 0.

إذا كانت النهاية عند اللانهاية موجودة، فإنها تمثل خط تقارب أفقي عند y = L. لا تحتوي كثيرات الحدود على خطوط تقارب أفقية؛ ومع ذلك، قد تحدث مثل هذه الخطوط مع الدوال الكسرية.

بملاحظة أن | x − p | يمثل مسافة ، يمكن توسيع تعريف النهاية ليشمل الدوال التي تحتوي على أكثر من متغير واحد. في حالة الدالة${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$محدد في${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$عرّفنا النهاية على النحو التالي: نهاية الدالة f عندما يقترب ( x , y ) من ( p , q ) هي L ، وتُكتب

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

إذا تحقق الشرط التالي:

لكل ε > 0 ، يوجد δ > 0 بحيث أنه لكل x في S و y في T ، عندما${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$لدينا | f ( x , y ) − L | < ε ، ^{[ 16 ]}

أو بشكل رسمي: $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

هنا${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$هي المسافة الإقليدية بين ( x , y ) و ( p , q ) . (يمكن في الواقع استبدال هذا بأي معيار || ( x , y ) − ( p , q ) || ، ويمكن تعميمه على أي عدد من المتغيرات. )

على سبيل المثال، قد نقول $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$ لأنه لكل ε > 0 ، يمكننا أن نأخذ${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$بحيث يكون لكل عدد حقيقي x ≠ 0 وعدد حقيقي y ≠ 0 ، إذا${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$ثم | f ( x , y ) − 0 | < ε .

على غرار الحالة في المتغير الواحد، فإن قيمة f عند ( p ، q ) لا تهم في هذا التعريف للنهاية.

لكي توجد مثل هذه النهاية متعددة المتغيرات، يتطلب هذا التعريف أن تقترب قيمة f من L على طول كل مسار ممكن يقترب من ( p , q ) . ^{[ 17 ]} في المثال أعلاه، الدالة $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$ وهو يحقق هذا الشرط. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال النظر في الإحداثيات القطبية.$${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$ مما يعطي $${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$ هنا ، θ = θ ( r ) دالة لـ r تتحكم في شكل المسار الذي تقترب فيه f من ( p , q ) . وبما أن cos θ محصور بين [−1, 1]، فبحسب نظرية الساندويتش ، فإن هذه النهاية تؤول إلى الصفر.

في المقابل، الوظيفة $${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$ ليس لها نهاية عند (0، 0) . بأخذ المسار ( x ، y ) = ( t ، 0) → (0، 0) ، نحصل على $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$ أثناء اتباع المسار ( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0) ، نحصل على $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

بما أن القيمتين لا تتفقان، فإن f لا تميل إلى قيمة واحدة عندما يقترب ( x , y ) من (0, 0) .

على الرغم من قلة شيوع استخدامها، إلا أن هناك نوعًا آخر من النهايات للدوال متعددة المتغيرات، يُعرف بالنهاية المتعددة . بالنسبة للدوال ذات المتغيرين، تُسمى هذه النهاية بالنهاية المزدوجة . ^{[ 18 ]} ليكن${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$يتم تعريفها على${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$نقول إن النهاية المزدوجة للدالة f عندما يقترب x من p ويقترب y من q هي L ، وتُكتب

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

إذا تحقق الشرط التالي:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

لكي توجد مثل هذه النهاية المزدوجة، يتطلب هذا التعريف أن تقترب قيمة f من L على طول كل مسار ممكن يقترب من ( p , q ) ، باستثناء الخطين x = p و y = q . ونتيجة لذلك، فإن مفهوم النهاية المتعددة أضعف من مفهوم النهاية العادية: فإذا كانت النهاية العادية موجودة وتساوي L ، فإن النهاية المتعددة موجودة وتساوي L أيضًا . والعكس غير صحيح: فوجود النهايات المتعددة لا يستلزم وجود النهاية العادية. لنأخذ المثال التالي $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$ أين $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$ لكن $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$غير موجود.

إذا اقتصر مجال الدالة f على${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$عندئذٍ يتطابق تعريفا الحدود. ^{[ 18 ]}

يمكن توسيع مفهوم النهاية المتعددة ليشمل النهاية عند اللانهاية، بطريقة مشابهة لمفهوم النهاية عند دالة ذات متغير واحد.${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$نقول إن النهاية المزدوجة للدالة f عندما يقترب x و y من اللانهاية هي L ، وتُكتب $${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

إذا تحقق الشرط التالي:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

نقول إن النهاية المزدوجة للدالة f عندما يقترب x و y من سالب ما لا نهاية هي L ، وتُكتب $${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

إذا تحقق الشرط التالي:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

يترك${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$بدلاً من حساب النهاية عندما ( س ، ص ) → ( ع ، ق ) ، يمكننا أن نأخذ نهاية متغير واحد فقط، ولنقل عندما س → ع ، للحصول على دالة بمتغير واحد لـ ص ، وهي:${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$في الواقع، يمكن إجراء عملية التحديد هذه بطريقتين مختلفتين. الأولى تسمى النهاية النقطية . نقول إن النهاية النقطية للدالة f عندما يقترب x من p هي g ، ويرمز لها بـ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$أو $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

أو بدلاً من ذلك، يمكننا القول إن f تقترب من g نقطة بنقطة عندما يقترب x من p ، ويرمز لها بـ $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$أو $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

يوجد هذا الحد إذا تحقق ما يلي:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

هنا، δ = δ ( ε , y ) هي دالة لكل من ε و y . يتم اختيار كل قيمة لـ δ لنقطة محددة من y . لذا نقول إن النهاية نقطية بالنسبة لـ y . على سبيل المثال، $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$ لها نهاية نقطية تساوي صفرًا ثابتًا $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$ لأنه لكل قيمة ثابتة لـ y ، تكون النهاية صفرًا بوضوح. وتفشل هذه الحجة إذا لم تكن y ثابتة: إذا كانت y قريبة جدًا من π /2 ، فقد تنحرف قيمة الكسر عن 0.

وهذا يقودنا إلى تعريف آخر للنهاية، وهو النهاية المنتظمة . نقول إن النهاية المنتظمة للدالة f على T عندما يقترب x من p هي g ، ويرمز لها بـ $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$أو $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

أو بدلاً من ذلك، يمكننا القول إن f تؤول إلى g بشكل منتظم على T عندما يقترب x من p ، ويرمز لها بـ $${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$أو $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

يوجد هذا الحد إذا تحقق ما يلي:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

هنا، δ = δ ( ε ) دالة لـ ε فقط وليست لـ y . بعبارة أخرى، δ قابلة للتطبيق بشكل منتظم على جميع قيم y في T. لذا نقول إن النهاية منتظمة بالنسبة لـ y . على سبيل المثال، $${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$ لها نهاية منتظمة لدالة ثابتة تساوي صفرًا $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$لأنّ cos y محصور بين [−1, 1] لكلّ قيمة حقيقية y . لذا، بغضّ النظر عن سلوك y ، يمكننا استخدام نظرية الساندويتش لإثبات أنّ النهاية تساوي صفرًا.

يترك${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$يمكننا أن نأخذ نهاية متغير واحد فقط، ولنقل x → p ، للحصول على دالة ذات متغير واحد لـ y ، وهي${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$ثم نأخذ النهاية في المتغير الآخر، أي y → q ، لنحصل على العدد L. رمزياً، $${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

تُعرف هذه النهاية بالنهاية المتكررة للدالة متعددة المتغيرات. ^{[ 20 ]} قد يؤثر ترتيب حساب النهايات على النتيجة، أي

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$على العموم.

يُقدّم شرط كافٍ للمساواة من خلال نظرية مور-أوسجود ، والتي تتطلب النهاية${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$أن يكون موحدًا ^على T. [ ^{21 ]}

النهاية في الفضاء الإقليدي هي تعميم مباشر للنهايات على الدوال المتجهة . على سبيل المثال، يمكننا اعتبار دالة${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$بحيث $${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$ ثم، وفقًا للمقياس الإقليدي المعتاد ، $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$ إذا تحقق ما يلي:

لكل ε > 0 ، يوجد δ > 0 بحيث يكون لكل x في S و y في T ،${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }$يشير إلى${\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}$^{[ 23 ]}

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

في هذا المثال، الدالة المعنية هي دالة متجهة ذات بُعد محدود. في هذه الحالة، تنص نظرية النهاية للدوال المتجهة على أنه إذا كانت نهاية كل مُركِّبة موجودة، فإن نهاية الدالة المتجهة تساوي المتجه الذي يحتوي على نهاية كل مُركِّبة: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

قد يرغب المرء أيضًا في النظر في فضاءات أخرى غير الفضاء الإقليدي. ومن الأمثلة على ذلك فضاء مانهاتن.${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$بحيث $${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$ ثم، وفقًا لمقياس مانهاتن ، $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$ إذا تحقق ما يلي:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

وبما أن هذه دالة متجهة ذات أبعاد محدودة، فإن نظرية النهاية المذكورة أعلاه تنطبق أيضاً. ^{[ 24 ]}

أخيرًا، سنناقش النهاية في فضاء الدوال ، الذي له أبعاد لا نهائية. لنفترض دالة f ( x , y ) في فضاء الدوال.${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$نريد أن نعرف كيف ستؤول الدالة f ( x , y ) إلى دالة أخرى g ( y ) عندما يقترب x من p ، علماً بأن هذه الدالة تقع في فضاء الدوال.${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$يمكن قياس "التقارب" في فضاء الدوال هذا باستخدام المقياس الموحد . ^{[ 25 ]} عندئذٍ، نقول إن النهاية الموحدة للدالة f على T عندما يقترب x من p هي g ونكتب $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$أو $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

إذا تحقق ما يلي:

لكل ε > 0 ، يوجد δ > 0 بحيث أنه لكل x في S ، فإن 0 < | x − p | < δ يستلزم${\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

في الواقع، يمكن للمرء أن يرى أن هذا التعريف مكافئ لتعريف النهاية المنتظمة لدالة متعددة المتغيرات التي تم تقديمها في القسم السابق.

بالنسبة للدوال على خط الأعداد الحقيقية، إحدى طرق تعريف نهاية الدالة هي بدلالة نهاية المتتابعات. (يُنسب هذا التعريف عادةً إلى إدوارد هاين ). في هذا السياق: $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ إذا، وفقط إذا، لجميع المتتاليات x_{_n} (حيث x_n _لا يساوي a لكل n ) التي تتقارب إلى a، فإن المتتالية f ( x_{_n} ) تتقارب إلى L. وقد بيّن سيربينسكي في عام 1916 أن إثبات تكافؤ هذا التعريف والتعريف أعلاه يتطلب، وهو مكافئ لصيغة ضعيفة من بديهية الاختيار . تجدر الإشارة إلى أن تعريف معنى تقارب متتالية x_{_n} إلى a يتطلب طريقة إبسيلون، دلتا .

على غرار تعريف فايرشتراس، ينطبق تعريف هاين الأكثر عمومية على الدوال المعرفة على مجموعات جزئية من خط الأعداد الحقيقية. لتكن f دالة حقيقية ذات مجال Dm( f ) . ولتكن a نهاية متتالية من عناصر Dm( f ) \ { a }. عندئذٍ، تكون نهاية f (بهذا المعنى) هي L عندما يقترب x من a إذا كان لكل متتالية x_{_n} ∈ Dm( f ) \ { a } (بحيث يكون x _{_n} ≠ a لكل n ) تتقارب إلى a ، فإن المتتالية f ( x_{_n} ) تتقارب إلى L. وهذا هو نفسه تعريف النهاية المتسلسلة في القسم السابق، والذي تم الحصول عليه بالنظر إلى المجموعة الجزئية Dm ( f ) من${\displaystyle \mathbb {R} }$كمساحة مترية مع المقياس المستحث.

في حساب التفاضل والتكامل غير القياسي، تُعرَّف نهاية الدالة كما يلي: $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},}$${\displaystyle f^{*}(x)-L}$تكون القيمة متناهية الصغر عندما تكون قيمة x − a متناهية الصغر. هنا${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$هي الأعداد الفائقة الحقيقية ، و f* هي الامتداد الطبيعي لـ f إلى الأعداد الحقيقية غير القياسية. أثبت كيسلر أن تعريف النهاية في الأعداد الفائقة الحقيقية يقلل من تعقيد المُكمِّمات بمقدار مُكمِّمين. ^{[ 26 ]} من جهة أخرى، يكتب هرباسيك أنه لكي تكون التعريفات صالحة لجميع الأعداد الفائقة الحقيقية، يجب أن تكون مُؤسَّسة ضمنيًا في طريقة إبسيلون-دلتا، ويدّعي أنه من وجهة النظر التربوية، لا يمكن تحقيق الأمل في إمكانية إجراء حساب التفاضل والتكامل غير القياسي دون استخدام طرق إبسيلون-دلتا بشكل كامل. ^{[ 27 ]} يُفصِّل بواشتشيك وآخرون فائدة الاستمرارية الجزئية في تطوير تعريف واضح للاستمرارية المنتظمة ، ويصفون نقد هرباسيك بأنه "رثاء مشكوك فيه". ^{[ 28 ]}

في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1908، قدم فريدريك ريز طريقة بديلة لتعريف النهايات والاستمرارية في مفهوم يُسمى "القرب". ^{[ 29 ]} تُعرَّف النقطة x بأنها قريبة من مجموعة${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$إذا كان لكل r > 0 توجد نقطة a ∈ A بحيث يكون | x − a | < r . في هذا السياق $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميع${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$تكون L قريبة من f ( A ) كلما كانت a قريبة من A. هنا f ( A ) هي المجموعة${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}.}$ ويمكن توسيع هذا التعريف ليشمل الفضاءات المترية والطوبولوجية.