نظرية الأعداد الضربية
نظرية الأعداد الضربية هي فرع من فروع نظرية الأعداد التحليلية، وتتناول الأعداد الأولية وتحليلها إلى عواملها الأولية وقواسمها . وينصب التركيز عادةً على تطوير صيغ تقريبية لحساب هذه العناصر في سياقات مختلفة. وتُعدّ نظرية الأعداد الأولية نتيجةً أساسيةً في هذا المجال. ويُصنّف موضوع نظرية الأعداد الضربية في الرياضيات تحت الرمز 11Nxx.
نِطَاق
تُعنى نظرية الأعداد الضربية بشكل أساسي بالتقديرات التقاربية للدوال الحسابية . تاريخيًا، هيمنت نظرية الأعداد الأولية على هذا المجال ، بدءًا بمحاولات إثباتها ثم بتحسينات في حد الخطأ. تُعدّ مسألة قاسم ديريشليه، التي تُقدّر متوسط رتبة دالة القاسم d(n)، ومسألة دائرة غاوس ، التي تُقدّر متوسط رتبة عدد تمثيلات عدد ما كمجموع مربعين، من المسائل الكلاسيكية أيضًا، وينصبّ التركيز فيها على تحسين تقديرات الخطأ.
يُعدّ توزيع الأعداد الأولية بين فئات البواقي بتردد عدد صحيح مجالًا بحثيًا نشطًا. تُبيّن نظرية ديريشليه للأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية في كل فئة من فئات البواقي الأولية فيما بينها، وتُبيّن نظرية الأعداد الأولية للمتتابعات الحسابية أن الأعداد الأولية موزعة بالتساوي تقريبًا بين فئات البواقي. تُقدّم نظرية بومبيري-فينوغرادوف مقياسًا أكثر دقة لمدى انتظام توزيعها. كما يُوجد اهتمام كبير بحجم أصغر عدد أولي في المتتابعة الحسابية؛ وتُقدّم نظرية لينيك تقديرًا له.
تُعدّ فرضية الأعداد الأولية المزدوجة ، التي تنص على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p + 2 عددًا أوليًا أيضًا، موضوعًا لبحوث مكثفة. وتُبيّن نظرية تشين وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية p بحيث يكون p + 2 إما عددًا أوليًا أو حاصل ضرب عددين أوليين.
طُرق
تنتمي هذه الطرق في المقام الأول إلى نظرية الأعداد التحليلية ، لكن الطرق الأولية، وخاصة طرق الغربلة ، لها أهمية بالغة أيضاً. وتُعتبر طرق الغربلة الكبيرة والمجاميع الأسية عادةً جزءاً من نظرية الأعداد الضربية.
يرتبط توزيع الأعداد الأولية ارتباطًا وثيقًا بسلوك دالة زيتا لريمان وفرضية ريمان ، ويتم دراسة هذه المواضيع من وجهة نظر نظرية الأعداد ومن وجهة نظر التحليل المركب .
النصوص القياسية
يتناول جزء كبير من نظرية الأعداد التحليلية مسائل الضرب، ولذا فإن معظم كتب هذا المجال تتضمن أقسامًا حول نظرية الأعداد الضربية. وفيما يلي بعض الكتب المعروفة التي تتناول مسائل الضرب تحديدًا:
- دافنبورت، هارولد (2000). نظرية الأعداد الضربية ( الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر. ISBN 978-0-387-95097-6.
- مونتغمري، هيو ؛ روبرت سي. فوغان (2005). نظرية الأعداد الضربية 1. النظرية الكلاسيكية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-84903-6.
انظر أيضاً
- نظرية الأعداد التحليلية