توزيع ناكاجامي

يُعد توزيع ناكاجامي، أو توزيع ناكاجامي - م ، توزيعًا احتماليًا مرتبطًا بتوزيع جاما . تتكون عائلة توزيعات ناكاجامي من معلَمَين: معلَم الشكل.${\displaystyle m\geq 1/2}$ومعامل قياس$Ω > 0$. يتم استخدامه لنمذجة الظواهر الفيزيائية مثل تلك الموجودة في التصوير الطبي بالموجات فوق الصوتية، وهندسة الاتصالات، والأرصاد الجوية، والهيدرولوجيا، والوسائط المتعددة، وعلم الزلازل.

دالة كثافة الاحتمال (pdf) الخاصة بها هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x;\,m,\Omega )={\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right){\text{ for }}x\geq 0.}$

أين${\displaystyle m\geq 1/2}$و$Ω > 0$.

دالة التوزيع التراكمي (CDF) الخاصة بها هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F(x;\,m,\Omega )={\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}=P\left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$

حيث P هي دالة جاما غير الكاملة المنتظمة (السفلى) .

المعايير${\displaystyle m}$و$أوميغا$هي ^{[ 2 ]}

${\displaystyle m={\frac {\left(\operatorname {E} [X^{2}]\right)^{2}}{\operatorname {Var} [X^{2}]}},}$

و

${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} [X^{2}].}$

لا يوجد حل مغلق لوسيط هذا التوزيع، على الرغم من وجود حالات خاصة، مثل${\displaystyle {\sqrt {\Omega \ln(2)}}}$عندما m  =  1. ولأغراض عملية، يجب حساب الوسيط باعتباره النسبة المئوية الخمسين للملاحظات.

ثمة طريقة بديلة لملاءمة التوزيع تتمثل في إعادة تحديد المعلمات$أوميغا$بما أن σ = Ω/ m . ^{[ 3 ]}

بالنظر إلى الملاحظات المستقلة${\textstyle X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n}}$من توزيع ناكاجامي، تكون دالة الاحتمال هي

${\displaystyle L(\sigma ,m)=\left({\frac {2}{\Gamma (m)\sigma ^{m}}}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2m-1}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma }}\right).}$

لوغاريتمه هو

${\displaystyle \ell (\sigma ,m)=\log L(\sigma ,m)=-n\log \Gamma (m)-nm\log \sigma +(2m-1)\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma }}.}$

لذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \ell }{\partial \sigma }}={\frac {-nm\sigma +\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\sigma ^{2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial \ell }{\partial m}}=-n{\frac {\Gamma '(m)}{\Gamma (m)}}-n\log \sigma +2\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}.\end{aligned}}}$

تختفي هذه المشتقات فقط عندما

${\displaystyle \sigma ={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{nm}}}$

ويتم إيجاد قيمة m التي عندها تتلاشى المشتقة بالنسبة إلى m بواسطة الطرق العددية بما في ذلك طريقة نيوتن-رافسون .

يمكن إثبات أنه عند النقطة الحرجة يتم الوصول إلى قيمة عظمى عالمية، لذا فإن النقطة الحرجة هي تقدير الاحتمال الأقصى لـ ( m , σ ). وبسبب تباين تقدير الاحتمال الأقصى، يتم الحصول على تقدير الاحتمال الأقصى لـ Ω أيضًا.

يرتبط توزيع ناكاجامي بتوزيع جاما . على وجه الخصوص، بالنظر إلى متغير عشوائي${\displaystyle Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )}$، من الممكن الحصول على متغير عشوائي${\displaystyle X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(m,\Omega )}$، عن طريق الضبط${\displaystyle k=m}$،${\displaystyle \theta =\Omega /m}$وأخذ الجذر التربيعي لـ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle X={\sqrt {Y}}.\,}$

أو بدلاً من ذلك، توزيع ناكاجامي${\displaystyle f(y;\,m,\Omega )}$يمكن توليدها من توزيع كاي ذي المعلمة${\displaystyle k}$تم ضبطه على${\displaystyle 2m}$ثم يتبع ذلك تحويل قياسي للمتغيرات العشوائية. أي متغير عشوائي من نوع ناكاجامي${\displaystyle X}$يتم توليدها عن طريق تحويل قياس بسيط على متغير عشوائي موزع وفقًا لتوزيع كاي${\displaystyle Y\sim \chi (2m)}$كما هو موضح أدناه.

${\displaystyle X={\sqrt {(\Omega /2m)}}Y.}$

بالنسبة لتوزيع كاي، درجات الحرية${\displaystyle 2m}$يجب أن يكون عددًا صحيحًا، ولكن بالنسبة لناكاجامي${\displaystyle m}$يمكن أن يكون أي عدد حقيقي أكبر من 1/2. هذا هو الفرق الحاسم، وبناءً على ذلك، يُنظر إلى Nakagami-m على أنه تعميم لتوزيع كاي، على غرار توزيع جاما الذي يُعتبر تعميمًا لتوزيعات كاي تربيع.

يُعدّ توزيع ناكاجامي حديثًا نسبيًا، إذ اقترحه مينورو ناكاجامي لأول مرة عام 1960 كنموذج رياضي للتلاشي على نطاق صغير في انتشار موجات الراديو عالية التردد لمسافات طويلة. ^{[ 4 ]} وقد استُخدم لنمذجة توهين الإشارات اللاسلكية التي تعبر مسارات متعددة ^{[ 5 ]} ولدراسة تأثير قنوات التلاشي على الاتصالات اللاسلكية. ^{[ 6 ]}

• يُعرّف حصر قيمة m في الفترة [0, 1] ( q = m ; 0 < q < 1) توزيع ناكاجامي- q ، المعروف أيضًا باسمتوزيع هويت ، الذي درسه آر إس هويت لأول مرة في أربعينيات القرن العشرين. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} وعلى وجه الخصوص، فإننصف القطرحول المتوسط ​​الحقيقي فيطبيعي ثنائي المتغيرات، عند إعادة كتابتهبإحداثيات قطبية(نصف القطر والزاوية)، يتبع توزيع هويت. وبالمثل، فإنالقيمة المطلقةلمتغيرطبيعي مركبتتبعه أيضًا.
• مع 2 م = ك ، فإن توزيع ناكاجامي يعطي توزيع كاي المقياس .
• مع${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}}$، يعطي توزيع ناكاجامي توزيعًا نصف طبيعي مُقاسًا .
• توزيع ناكاجامي هو شكل خاص من توزيع جاما المعمم ، حيث p = 2 و d = 2 m .

• توزيع جاما
• التوزيع الطبيعي النصفي المعدل
• التوزيع شبه الغاوسي