توزيع كاي

دالة كثافة الاحتمال (pdf) لتوزيع كاي هي

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \Gamma (z)}$هي دالة غاما .

دالة التوزيع التراكمي معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

أين${\displaystyle P(k,x)}$هي دالة غاما المنتظمة .

دالة توليد العزوم معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

أين${\displaystyle M(a,b,z)}$هي دالة كومر الهندسية الفائقة المتقاربة . الدالة المميزة معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}$

ثم تُعطى اللحظات الخام من خلال:

$\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}\mathrm {d} x=2^{j/2}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+j)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

أين${\displaystyle \ \Gamma (z)\ }$هي دالة غاما . وبالتالي فإن اللحظات الخام القليلة الأولى هي:

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\ ,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+3)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\ ,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k\!+\!5)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)(k+3)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\ ,}$

حيث يتم اشتقاق التعبيرات الموجودة في أقصى اليمين باستخدام علاقة التكرار لدالة جاما:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\ \Gamma (x)~.}$

من هذه التعبيرات يمكننا استخلاص العلاقات التالية:

يقصد:${\displaystyle \mu ={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}\ ,}$وهو قريب من${\displaystyle {\sqrt {k-{\tfrac {1}{2}}\ }}\ }$بالنسبة لقيم k الكبيرة .

التباين:${\displaystyle V=k-\mu ^{2}\ ,}$أي المناهج${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ }$مع ازدياد قيمة k .

الانحراف:${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\ \sigma ^{3}\ }}\left(1-2\sigma ^{2}\right)~.}$

زيادة التفرطح:${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\left(1-\mu \ \sigma \ \gamma _{1}-\sigma ^{2}\right)~.}$

الإنتروبيا معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

أين${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$هي دالة بوليغاما .

نجد تقريبًا كبيرًا (n=k+1) لمتوسط ​​وتباين توزيع كاي. ولهذا تطبيقات، على سبيل المثال، في إيجاد توزيع الانحراف المعياري لعينة من مجتمع ذي توزيع طبيعي، حيث n هو حجم العينة.

إذن، المتوسط ​​هو:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}$

نستخدم صيغة تكرار ليجندر لكتابة ما يلي:

${\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}$،

لهذا السبب:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}$

باستخدام تقريب ستيرلينغ لدالة غاما، نحصل على التعبير التالي للمتوسط:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}$

${\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

وبالتالي فإن التباين هو:

${\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]={\frac {1}{2}}\left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}$