ميكانيكيو نامبو

في الرياضيات ، تُعدّ ميكانيكا نامبو تعميمًا لميكانيكا هاميلتون، حيث تتضمن عدة هاميلتونيات. تجدر الإشارة إلى أن ميكانيكا هاميلتون تعتمد على التدفقات الناتجة عن هاميلتوني أملس على مشعب سيمبلكتيكي . هذه التدفقات هي تماثلات سيمبلكتية، وبالتالي تخضع لنظرية ليوفيل . وسرعان ما عُمِّم هذا المفهوم ليشمل التدفقات الناتجة عن هاميلتوني على مشعب بواسون . في عام 1973، اقترح يويتشيرو نامبو تعميمًا يتضمن مشعبات نامبو-بواسون بأكثر من هاميلتوني واحد. ^{[ 1 ]} وفي عام 1994، أعاد ليون تاختاجان النظر في ديناميكيات نامبو. ^{[ 2 ]}

على وجه التحديد، لنفترض وجود ^مشعب تفاضلي M ، حيث N عدد صحيح ≥ 2 ؛ لدينا تطبيق خطي N أملس من N نسخة من C∞ ( M ) إلى نفسها، بحيث يكون متناظرًا تمامًا: قوس نامبو ،

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\infty }(M)\times \cdots C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M),}$

والذي يعمل كمشتق

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},}$

ومن هنا تأتي متطابقات فيليبوف (FI) ^{[ 3 ]} (التي تذكرنا بمتطابقات جاكوبي ، ولكن على عكسها، فهي ليست مضادة للتناظر في جميع الوسائط، بالنسبة لـ N ≥ 2 ):

${\displaystyle \{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots }$${\displaystyle +\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N}\}\},}$

بحيث تعمل { f ₁ ,  ..., f _{N − 1} , •}   كاشتقاق معمّم على الضرب N -fold {.  ,...,  .} .

يوجد N − 1 من الهاميلتونيين، H ₁ ،  ...، H _{N − 1}  ، مما يؤدي إلى توليد تدفق غير قابل للانضغاط ،

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N-1}\},}$

سرعة فضاء الطور المعممة عديمة التباعد، مما يُمكّن نظرية ليوفيل . الحالة N = 2 تُختزل إلى مشعب بواسون ، وإلى ميكانيكا هاميلتونية تقليدية.

بالنسبة لقيم N الزوجية الأكبر ، تتطابق دوال هاميلتون N − 1 مع العدد الأقصى من الثوابت المستقلة للحركة (انظر الكمية المحفوظة ) التي تميز نظامًا فائق التكامل يتطور في فضاء طور ذي N بُعد . يمكن وصف هذه الأنظمة أيضًا باستخدام ديناميكيات هاميلتون التقليدية ؛ لكن وصفها في إطار ميكانيكا نامبو أكثر أناقةً وبديهيةً، حيث تتمتع جميع الثوابت بنفس الوضع الهندسي لدالة هاميلتون: المسار في فضاء الطور هو تقاطع الأسطح الفائقة N − 1 المحددة بهذه الثوابت. وبالتالي، يكون التدفق عموديًا على جميع تدرجات N − 1 لهذه الدوال، ومن ثم موازيًا للجداء الاتجاهي المعمم المحدد بواسطة قوس نامبو ذي الصلة.

يمكن توسيع نطاق ميكانيكا نامبو لتشمل ديناميكا الموائع، حيث تكون أقواس نامبو الناتجة غير قياسية، ويتم تحديد الهاميلتوني مع كازيمير النظام، مثل الإنستروفي أو الحلزونية. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

من وجهة نظر التكميم زاريسكي ، يقترح تاختاجان وآخرون تكميم ديناميكيات نامبو. ^{[ 6 ]}

يؤدي تكميم ديناميكيات نامبو إلى هياكل مثيرة للاهتمام ^{[ 7 ]} تتطابق مع هياكل التكميم التقليدية عندما تكون الأنظمة فائقة التكامل متضمنة - كما يجب أن تكون.

فيما يتعلق بنماذج المصفوفات وأغشية M2 ، ناقش إس. كاتاغيري مؤخرًا موضوع تكميم ديناميكيات نامبو. ^{[ 8 ]}

• ميكانيكا هاميلتون
• متعدد الشعب التبسيطي
• مشعب بواسون
• جبر بواسون
• نظام قابل للتكامل
• الكمية المحفوظة
• ميكانيكا الموائع الهاميلتونية

• كورترايت، ت .؛ زاكوس، س. (2003). "ميكانيكا نامبو الكلاسيكية والكمية". مجلة Physical Review D. 68 ( 8) 085001. arXiv : hep-th/0212267 . Bibcode : 2003PhRvD..68h5001C . doi : 10.1103/PhysRevD.68.085001 . S2CID 17388447 . 
• تاختاجان، ليون (1994). "حول أسس ميكانيكا نامبو المعممة" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 160 (2): 295-315 . arXiv : hep-th/9301111 . Bibcode : 1994CMaPh.160..295T . doi : 10.1007/BF02103278 . S2CID 119137896 . 
• فيليبوف، ف. ت. (1986). "جبر لي من الرتبة n". مجلة الرياضيات السيبيرية . 26 (6): 879-891 . doi : 10.1007/BF00969110 . S2CID 125051596 . 
• نامبو، ي. (1973). "ديناميكيات هاميلتون المعممة". مجلة Physical Review D. 7 ( 8): 2405–2412 . Bibcode : 1973PhRvD...7.2405N . doi : 10.1103/PhysRevD.7.2405 .
• نيفير، ب.؛ بليندر، ر. (1993). "تمثيل نامبو للديناميكا المائية غير القابلة للانضغاط باستخدام الحلزونية والدوامية". مجلة الفيزياء أ . 26 (22): 1189-1193 . رمز Bibcode : 1993JPhA...26L1189N . doi : 10.1088/0305-4470/26/22/010 .
• بليندر، ر.؛ بادين، ج. (2015). "ميكانيكا نامبو الهيدروديناميكية المستمدة من القيود الهندسية". مجلة الفيزياء أ . 48 (10) 105501. arXiv : 1510.04832 . Bibcode : 2015JPhA...48j5501B . doi : 10.1088/1751-8113/48/10/105501 . S2CID 119661148 . 
• ديتو، ج.؛ فلاتو، م.؛ ستيرنهايمر، د.؛ تاختاجان، ل. (1997). "تكميم التشوه وميكانيكا نامبو" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 183 (8): 1-22 . arXiv : hep-th/9602016 . Bibcode : 1994CMaPh.160..295T . doi : 10.1007/BF02509794 . S2CID 119137896 . 
• بليندر، ر.؛ بادين، ج. (2017). "بناء صيغ هاميلتونية ونامبو لمعادلات المياه الضحلة" . الموائع . 2 (2): 24. arXiv : 1606.03355 . Bibcode : 2017Fluid...2...24B . doi : 10.3390/fluids2020024 . S2CID 36189352 .