الكمية المحفوظة

الكمية المحفوظة هي خاصية أو قيمة تظل ثابتة بمرور الوقت في نظام ما حتى عند حدوث تغييرات فيه. في الرياضيات ، تُعرَّف الكمية المحفوظة لنظام ديناميكي رسميًا بأنها دالة للمتغيرات التابعة ، وتبقى قيمتها ثابتة على طول كل مسار للنظام. ^{[ 1 ]}

لا تحتوي جميع الأنظمة على كميات محفوظة، والكميات المحفوظة ليست فريدة، حيث يمكن دائمًا إنتاج كمية أخرى من هذا القبيل عن طريق تطبيق دالة مناسبة ، مثل إضافة ثابت، إلى كمية محفوظة.

بما أن العديد من قوانين الفيزياء تعبر عن نوع من أنواع الحفظ ، فإن الكميات المحفوظة شائعة في النماذج الرياضية للأنظمة الفيزيائية . على سبيل المثال، أي نموذج ميكانيكي كلاسيكي سيحتوي على الطاقة الميكانيكية ككمية محفوظة طالما أن القوى المعنية محافظة .

بالنسبة لنظام من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

حيث يشير الخط الغامق إلى الكميات المتجهة ، فإن الدالة ذات القيمة العددية H ( r ) هي كمية محفوظة للنظام إذا، لجميع الأوقات والشروط الأولية في مجال محدد،

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

لاحظ أنه باستخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات ،

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

بحيث يمكن كتابة التعريف على النحو التالي

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

والتي تحتوي على معلومات خاصة بالنظام ويمكن أن تكون مفيدة في إيجاد الكميات المحفوظة، أو تحديد ما إذا كانت الكمية المحفوظة موجودة أم لا.

بالنسبة لنظام مُعرَّف بواسطة الهاميلتوني${\displaystyle {\mathcal {H}}}$، دالة f للإحداثيات المعممة q والزخم المعمم p لها تطور زمني

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

وبالتالي، يتم الحفاظ عليها إذا وفقط إذا${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$. هنا${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$يشير إلى قوس بواسون .

لنفترض أن نظامًا ما مُعرَّف بواسطة لاغرانجيان L ذي الإحداثيات المعممة q . إذا لم يكن لـ L اعتماد زمني صريح (لذا${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$ثم الطاقة E المحددة بواسطة

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

يتم الحفاظ عليه.

علاوة على ذلك، إذا${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$عندئذٍ يُقال إن q إحداثية دورية، ويُعرَّف الزخم المعمم p بواسطة

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

يتم الحفاظ على هذه الخاصية. ويمكن استنتاج ذلك باستخدام معادلات أويلر-لاغرانج .

• النظام المحافظ
• دالة ليابونوف
• نظام هاميلتوني
• قانون الحفاظ على البيئة
• نظرية نوثر
• الشحنة (الفيزياء)
• ثابت (في الفيزياء)