حزمة طبيعية

في الهندسة التفاضلية ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، تُعرف الحزمة الطبيعية بأنها أي حزمة ليفية مرتبطة بحزمة الإطار من الرتبة الأعلى.${\displaystyle F^{r}(M)}$بالنسبة للبعض${\displaystyle r\geq 1}$بمعنى آخر، تعتمد دوال الانتقال الخاصة بها وظيفيًا على التغيرات المحلية للإحداثيات في الفضاء الأساسي.${\displaystyle M}$بالإضافة إلى مشتقاتها الجزئية حتى رتبة على الأكثر${\displaystyle r}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

تم تقديم مفهوم الحزمة الطبيعية في عام 1972 من قبل ألبرت ناينهاوس كإعادة صياغة حديثة للمفهوم الكلاسيكي للحزمة العشوائية من الأشكال الهندسية. ^{[ 3 ]}

يترك${\displaystyle {\mathcal {M}}f}$تشير إلى فئة المشعبات الملساء والخرائط الملساء و${\displaystyle {\mathcal {M}}f_{n}}$فئة السلاسة​${\displaystyle n}$المشعبات ذات الأبعاد n والتشاكلات التفاضلية المحلية . ضع في اعتبارك أيضًا الفئة${\displaystyle {\mathcal {FM}}}$من متعددات الألياف وتشكلات الحزم، والدالة${\displaystyle B:{\mathcal {FM}}\to {\mathcal {M}}f}$ربط أي مشعب ليفي بمشعب قاعدته.

الحزمة الطبيعية (أو دالة الحزمة) هي دالة${\displaystyle F:{\mathcal {M}}f_{n}\to {\mathcal {FM}}}$تحقيق الخصائص الثلاث التالية:

1. ${\displaystyle B\circ F=\mathrm {id} }$، أي${\displaystyle F(M)}$عبارة عن مشعب ليفي فوق${\displaystyle M}$، مع الإشارة إلى الإسقاط بواسطة${\displaystyle p_{M}:F(M)\to M}$؛
2. لو${\displaystyle U\subseteq M}$هي فضاء فرعي مفتوح ، مع خريطة تضمين${\displaystyle i:U\hookrightarrow M}$، ثم${\displaystyle F(U)}$يتزامن مع${\displaystyle p_{M}^{-1}(U)\subseteq F(M)}$، و${\displaystyle F(i):F(U)\to F(M)}$هل التضمين${\displaystyle p^{-1}(U)\hookrightarrow F(M)}$؛
3. لأي خريطة سلسة${\displaystyle f:P\times M\to N}$بحيث${\displaystyle f(p,\cdot ):M\to N}$هو تماثل موضعي لكل${\displaystyle p\in P}$ثم الدالة${\displaystyle P\times F(M)\to F(N),(p,x)\mapsto F(f(p,\cdot ))(x)}$سلس.

ونتيجة للشرط الأول، يحدث تحول طبيعي${\displaystyle p:F\to \mathrm {id} _{{\mathcal {M}}f_{n}}}$.

مجموعة طبيعية${\displaystyle F:{\mathcal {M}}f_{n}\to {\mathcal {FM}}}$يُطلق عليه اسم ذو رتبة محدودة${\displaystyle r}$إذا، لكل تحويل تفاضلي محلي${\displaystyle f:M\to N}$وكل نقطة${\displaystyle x\in M}$الخريطة${\displaystyle F(f)_{x}:F(M)_{x}\to F(N)_{f(x)}}$يعتمد فقط على الطائرة النفاثة${\displaystyle j_{x}^{r}f}$بصورة مكافئة، لكل تحويلات تفاضلية محلية${\displaystyle f,g:M\to N}$وكل نقطة${\displaystyle x\in M}$، لدى المرء$${\displaystyle j_{x}^{r}f=j_{x}^{r}g\Rightarrow F(f)|_{F(M)_{x}}=F(g)|_{F(M)_{x}}.}$$حزم طبيعية من النظام${\displaystyle r}$تتطابق مع حزم الألياف المرتبطة بها${\displaystyle r}$حزم الإطارات من الرتبة -th${\displaystyle F^{r}(M)}$.

بعد عدة حالات وسيطة، [ ^{1 ] [ 4 ] أثبت} إبستين وثورستون أن جميع الحزم الطبيعية لها رتبة محدودة. ^{[ 2 ]}

مفهوم الطبيعي${\displaystyle \Gamma }$تنشأ الحزمة من الحزمة الطبيعية عن طريق حصرها في الفئات المناسبة من${\displaystyle \Gamma }$-مشعبات و من${\displaystyle \Gamma }$- مشعبات ليفية، حيث${\displaystyle \Gamma }$هي زمرة زائفة . الحالة عندما${\displaystyle \Gamma }$هي الزمرة الزائفة لجميع التشاكلات التفاضلية بين المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يستعيد المفهوم العادي للحزمة الطبيعية.

في ظل افتراضات مناسبة، طبيعي${\displaystyle \Gamma }$تتمتع الحزم بترتيب محدود أيضًا. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

من أمثلة الحزم الطبيعية (من الدرجة الأولى) حزمة المماس${\displaystyle TM}$من مشعب${\displaystyle M}$.

ومن الأمثلة الأخرى حزم الظل التمام ، وحزم مقاييس التوقيع${\displaystyle (r,s)}$وحزمة الاتصالات الخطية . ^{[ 8 ]}

• كولار، إيفان؛ ميخور، بيتر؛ سلوفاك، يان (1993)، المؤثرات الطبيعية في الهندسة التفاضلية (ملف PDF) ، سبرينغر-فيرلاغ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 30 مارس 2017 ، تم استرجاعه بتاريخ 15 أغسطس 2017
• كروبكا، ديميتر؛ جانيسكا، جوزيف (1990)، محاضرات عن الثوابت التفاضلية ، Univerzita JE Purkyně V Brně، ISBN 80-210-0165-8
• ساوندرز، دي جيه (1989)، هندسة حزم النفاثات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-36948-7