التوقيع المتري

في الرياضيات ، التوقيع ( v ، p ، r ) ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} لموتر متري g (أو ما يعادله، شكل تربيعي حقيقي يُنظر إليه على أنه شكل ثنائي خطي متماثل حقيقي على فضاء متجه ذي أبعاد محدودة ) هو عدد (محسوبًا بالتعدد) القيم الذاتية الموجبة والسلبية والصفرية للمصفوفة المتماثلة الحقيقية g _ab للموتر المتري بالنسبة إلى الأساس . في الفيزياء النسبية ، يمثل v تقليديًا عدد الأبعاد الزمنية أو الافتراضية، و p عدد الأبعاد المكانية أو الفيزيائية. بدلاً من ذلك، يمكن تعريفه على أنه أبعاد الفضاء الفرعي الموجب والخالي الأقصى . وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي، لا تعتمد هذه الأرقام على اختيار الأساس وبالتالي يمكن استخدامها لتصنيف المتري. غالبًا ما يتم الإشارة إلى التوقيع بواسطة زوج من الأعداد الصحيحة ( v ، p ) مما يدل على أن r  = 0، أو كقائمة صريحة من علامات القيم الذاتية مثل (+، −، −، −) أو (−، +، +، +) للتوقيعات (1، 3، 0) و (3، 1، 0) ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} ، على التوالي. ^[1]

يقال أن التوقيع غير محدد أو مختلط إذا كان كل من v و p غير صفريين، ويتحلل إذا كان r غير صفريين. المقياس الريماني هو مقياس ذو توقيع محدد موجب ( v ، 0) . المقياس اللورينتزي هو مقياس ذو توقيع ( p ، 1) أو (1، p ) .

يوجد مفهوم آخر لتوقيع موتر متري غير متحلل يُعطى بواسطة رقم واحد s يُعرَّف بأنه ( v − p ) ، حيث v و p كما هو موضح أعلاه، وهو ما يعادل التعريف أعلاه عندما يكون البعد n = v + p معطى أو ضمنيًا. على سبيل المثال، s = 1 − 3 = −2 لـ (+، −، −، −) وانعكاسه s' = − s = +2 لـ (−، +، +، +) .

يتم تعريف توقيع موتر المقياس على أنه توقيع الشكل التربيعي المقابل . ^[2] إنه عدد ( v ، p ، r ) من القيم الذاتية الموجبة والسلبية والصفرية لأي مصفوفة (أي في أي أساس لمساحة المتجه الأساسية) التي تمثل الشكل، مع العد مع مضاعفاتها الجبرية . عادةً، يكون r = 0 مطلوبًا، وهو نفس القول بأن موتر المقياس يجب أن يكون غير متحلل، أي لا يوجد متجه غير صفري متعامد على جميع المتجهات.

بموجب قانون سيلفستر للقصور الذاتي، فإن الأرقام ( v ، p ، r ) لا تعتمد على القاعدة.

وفقًا لنظرية الطيف، فإن مصفوفة متماثلة n  ×  n على الأعداد الحقيقية تكون دائمًا قابلة للتحويل إلى قطري ، وبالتالي يكون لها بالضبط n قيمة ذاتية حقيقية (محسوبة باستخدام التعدد الجبري ). وبالتالي، v + p = n = dim( V ) .

وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي ، فإن توقيع حاصل الضرب القياسي (المعروف أيضًا باسم الشكل الخطي المتماثل الحقيقي)، g لا يعتمد على اختيار الأساس. علاوة على ذلك، لكل متري g للتوقيع ( v ، p ، r ) يوجد أساس بحيث g _ab = +1 لـ a = b = 1، ...، v ، g _ab = −1 لـ a = b = v + 1، ...، v + p و g _ab = 0 بخلاف ذلك. ويترتب على ذلك وجود تساوي القياس ( V ₁ ، g ₁ ) → ( V ₂ ، g ₂ ) إذا وفقط إذا كانت توقيعات g ₁ و g ₂ متساوية. وبالمثل، يكون التوقيع متساويًا لمصفوفتين متطابقتين ويصنف المصفوفة حتى التطابق. وعلى نحو مماثل، يكون التوقيع ثابتًا على مدارات المجموعة الخطية العامة GL( V ) في فضاء الموتر المتضاد ذي الرتبة المتماثلة 2 S ² V ^∗ ويصنف كل مدار.

الرقم v (أو p ) هو البعد الأقصى لفضاء متجه فرعي يكون فيه حاصل الضرب القياسي g موجبًا محددًا (أو سالبًا محددًا)، و r هو بُعد الجذر للضرب القياسي g أو الفضاء الفرعي الصفري للمصفوفة المتماثلة g _ab للضرب القياسي . وبالتالي فإن حاصل الضرب القياسي غير المتحلل له توقيع ( v ، p ، 0) ، مع v + p = n . تتوافق ثنائية الحالات الخاصة ( v ، p ، 0) مع قيمتين ذاتيتين قياسيتين يمكن تحويلهما إلى بعضهما البعض عن طريق الانعكاس العكسي.

توقيع مصفوفة الهوية n  ×  n هو ( n , 0, 0) . توقيع المصفوفة القطرية هو عدد الأرقام الموجبة والسالبة والصفرية على قطرها الرئيسي .

المصفوفات التالية لها نفس التوقيع (1، 1، 0) ، وبالتالي فهي متطابقة بسبب قانون سيلفستر للقصور الذاتي :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

يحتوي المنتج القياسي القياسي المحدد على التوقيعات ذات الأبعاد n ( v ، p ، r ) ، حيث v + p = n والرتبة r = 0 . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

في الفيزياء، فضاء مينكوفسكي هو متعدد الشعب في الزمكان مع v = 1 و p = 3 قواعد، وله حاصل عددي يتم تعريفه بواسطة المصفوفة : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle {\check {g}}}$

${\displaystyle {\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

الذي له توقيع ويعرف باسم التفوق الفضائي أو الشبيه بالفضاء؛ أو التوقيع المرآوي ، المعروف باسم التفوق الافتراضي أو الشبيه بالزمن مع المصفوفة. ${\displaystyle (1,3,0)^{-}}$${\displaystyle (1,3,0)^{+}}$${\displaystyle {\hat {g}}}$

${\displaystyle {\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}}$

هناك بعض الطرق لحساب توقيع المصفوفة.

• بالنسبة لأي مصفوفة متماثلة غير متدهورة n  ×  n ، قم بتقسيمها قطريًا (أو ابحث عن جميع القيم الذاتية لها) وعد عدد الإشارات الموجبة والسلبية.
• بالنسبة لمصفوفة متماثلة، فإن كثيرة الحدود المميزة سيكون لها جميع الجذور الحقيقية التي قد تكون إشاراتها في بعض الحالات محددة بالكامل بواسطة قاعدة ديكارت للإشارات .
• تقدم خوارزمية لاغرانج طريقة لحساب أساس متعامد ، وبالتالي حساب مصفوفة قطرية متطابقة (وبالتالي، بنفس التوقيع) مع الأخرى: توقيع المصفوفة القطرية هو عدد العناصر الموجبة والسلبية والصفرية على قطرها.
• وفقًا لمعيار جاكوبي، تكون المصفوفة المتماثلة موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت جميع محددات متغيراتها الثانوية الرئيسية موجبة.

في الرياضيات، الاتفاقية المعتادة لأي متعدد شعب ريماني هي استخدام موتر متري موجب محدد (وهذا يعني أنه بعد التحويل إلى قطري، تكون العناصر الموجودة على القطر موجبة جميعها).

في الفيزياء النظرية ، يتم نمذجة الزمكان بواسطة متعدد شعب شبه ريماني . يحسب التوقيع عدد الأحرف الشبيهة بالزمن أو المكان الموجودة في الزمكان، بالمعنى الذي تحدده النسبية الخاصة : كما هو مستخدم في فيزياء الجسيمات ، فإن المقياس له قيمة ذاتية على الفضاء الفرعي الشبيه بالزمن، وقيمته الذاتية المرآة على الفضاء الفرعي الشبيه بالمكان. في الحالة الخاصة لمقياس مينكوفسكي ،

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}$

التوقيع المتري هو أو (+، −، −، −) إذا كانت قيمته الذاتية محددة في اتجاه الوقت، أو أو (−، +، +، +) إذا كانت القيمة الذاتية محددة في الاتجاهات المكانية الثلاثة x و y و z . (في بعض الأحيان يتم استخدام اتفاقية الإشارة المعاكسة ، ولكن مع الاتفاقية الواردة هنا، يقيس s الوقت المناسب بشكل مباشر .) ${\displaystyle (1,3,0)^{+}}$${\displaystyle (1,3,0)^{-}}$

إذا كان المقياس منتظمًا في كل مكان، فإن توقيع المقياس يكون ثابتًا. ومع ذلك، إذا سمحنا بمقاييس متدهورة أو غير متصلة على بعض الأسطح الفائقة، فقد يتغير توقيع المقياس عند هذه الأسطح. ^[3] قد يكون لمثل هذه المقاييس المتغيرة للتوقيع تطبيقات في علم الكونيات والجاذبية الكمومية .

• متعدد الشعب شبه الريماني
• اتفاقية التوقيع