المجموعة الزائفة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الزمرة الزائفة هي مجموعة من التشاكلات الموضعية بين المجموعات المفتوحة في فضاء ما، والتي تحقق خصائص شبيهة بالزمر وخصائص شبيهة بالحزم . وهي تعميم لمفهوم زمرة التحويل ، إلا أنها نشأت من المنهج الهندسي لسوفوس لي [ 1 ] لدراسة تناظرات المعادلات التفاضلية، وليس من الجبر المجرد (مثل الزمر شبهية ، على سبيل المثال). وقد طوّر إيلي كارتان النظرية الحديثة للزمر الزائفة في أوائل القرن العشرين. [ 2 ] [ 3 ]

تعريف

تفرض الزمرة الزائفة عدة شروط على مجموعات التشاكلات الموضعية (أو التشاكلات التفاضلية ) المعرفة على المجموعات المفتوحة U في فضاء إقليدي معين، أو بشكل أعم، على فضاء طوبولوجي ثابت (أو متعدد شعب أملس ). بما أن تشاكلين موضعيين h  : U → V و g  : V → W يُركّبان على تشاكل موضعي من U إلى W ، يُشترط أن تكون الزمرة الزائفة مغلقة تحت التركيب والانعكاس. مع ذلك، وخلافًا لشروط الزمرة، فإن البديهيات التي تُعرّف الزمرة الزائفة ليست جبرية بحتة؛ إذ ترتبط الشروط الإضافية بإمكانية تقييد التشاكلات الموضعية ودمجها (على غرار بديهية اللصق لمقاطع الحزمة).

وبشكل أدق، فإن الزمرة الزائفة على الفضاء الطوبولوجي S هي مجموعة Γ من التشاكلات المتماثلة بين المجموعات الفرعية المفتوحة من S التي تحقق الخصائص التالية: [ 4 ] [ 5 ]

  1. تغطي مجالات العناصر g في Γ المجموعة S (" تغطي ").
  2. إن تقييد العنصر g في Γ إلى أي مجموعة مفتوحة موجودة في مجاله هو أيضًا في Γ (" تقييد ").
  3. التركيب g ∘ h لعنصرين من Γ ، عند تعريفه، يكون في Γ (" التركيب ").
  4. معكوس عنصر من g موجود في Γ (" معكوس ").
  5. خاصية التواجد في Γ هي خاصية محلية، أي إذا كان g  : U → V هو تماثل بين المجموعات المفتوحة لـ S و U مغطاة بالمجموعات المفتوحة U i مع تقييد g إلى U i الواقعة في Γ لكل i ، فإن g تقع أيضًا في Γ (" محلية ").

ونتيجة لذلك، فإن التماثل المتطابق لأي مجموعة فرعية مفتوحة من S يقع في Γ .

وبالمثل، تُعرَّف الزمرة الزائفة على مشعب أملس X على أنها مجموعة Γ من التشاكلات التفاضلية بين المجموعات الفرعية المفتوحة من X التي تحقق خصائص مماثلة (حيث نستبدل التشاكلات الموضعية بالتشاكلات التفاضلية). [ 6 ]

يُقال إن نقطتين في المجموعة X تقعان في نفس المدار إذا كان أحد عناصر المجموعة Γ يُرسل إحداهما إلى الأخرى. من الواضح أن مدارات الزمرة الزائفة تُشكل تجزئة للمجموعة X ؛ وتُسمى الزمرة الزائفة متعدية إذا كان لها مدار واحد فقط.

أمثلة

تُعدّ الزمر الزائفة التي تحافظ على بنية هندسية معينة فئة شائعة من الأمثلة. على سبيل المثال، إذا كان ( X , g ) مشعبًا ريمانيًا ، فإن لدينا الزمرة الزائفة للتناظرات الموضعية الخاصة به ؛ وإذا كان ( X , ω ) مشعبًا تماثليًا ، فإن لدينا الزمرة الزائفة للتماثلات الموضعية الخاصة به ؛ وهكذا. ينبغي اعتبار هذه الزمر الزائفة مجموعة التناظرات الموضعية لهذه البنى.

مجموعات التناظرات الزائفة والهياكل الهندسية

يمكن تعريف المتشعبات ذات البنى الإضافية غالبًا باستخدام الزمر الزائفة للتناظرات لنموذج محلي ثابت. وبشكل أدق، بالنظر إلى زمرة زائفة Γ ، فإن أطلس Γ على فضاء طوبولوجي S يتكون من أطلس قياسي على S بحيث تنتمي تغييرات الإحداثيات (أي خرائط الانتقال) إلى Γ . ويُطلق على فئة مكافئة من أطالس Γ أيضًا اسم بنية Γ على S.

على وجه الخصوص، عندما تكون Γ هي الزمرة الزائفة لجميع التشاكلات التفاضلية المعرفة محليًا في R n ، فإن المرء يستعيد المفهوم القياسي للأطلس الأملس والبنية الملساء . وبشكل أعم، يمكن تعريف الكائنات التالية على أنها بنى Γ على فضاء طوبولوجي S :

وبشكل عام، فإن أي بنية G قابلة للتكامل وأي مشعب ( G ، X ) هي حالات خاصة من بنى Γ ، بالنسبة للمجموعات الزائفة المناسبة Γ .

الزمر الزائفة ونظرية الكذب

بشكل عام، دُرست الزمر الزائفة كنظرية محتملة لزمر لي اللانهائية الأبعاد . يُعد مفهوم زمرة لي المحلية ، أي زمرة زائفة من الدوال المعرفة في جوارات نقطة الأصل في الفضاء الإقليدي E ، أقرب في الواقع إلى مفهوم لي الأصلي لزمرة لي، في حالة اعتماد التحويلات المعنية على عدد محدود من المعاملات ، من التعريف المعاصر عبر المتشعبات . كان من إنجازات كارتان توضيح النقاط ذات الصلة، بما في ذلك حقيقة أن زمرة لي المحلية تُنتج دائمًا زمرة شاملة ، بالمعنى الحالي (وهو ما يُشابه نظرية لي الثالثة حول جبر لي الذي يُحدد زمرة). تُعد الزمرة الشكلية نهجًا آخر لتحديد زمر لي، بشكل متناهي الصغر. ومع ذلك، من المعروف أن الزمر الطوبولوجية المحلية لا تمتلك بالضرورة نظائر شاملة.

تتعدد الأمثلة على الزمر الزائفة اللانهائية الأبعاد، بدءًا من الزمرة الزائفة لجميع التشاكلات التفاضلية لـ E. وينصب الاهتمام بشكل أساسي على الزمر الزائفة الفرعية للتشاكلات التفاضلية، وبالتالي على الكائنات التي لها نظير في جبر لي لحقول المتجهات . وقد أصبحت الطرق التي اقترحها لي وكارتان لدراسة هذه الكائنات أكثر عمليةً بفضل التقدم الذي أحرزه الجبر الحاسوبي .

في خمسينيات القرن العشرين، أعاد شينغ-شين تشيرن صياغة نظرية كارتان ، وطوّر كونيهيكو كودايرا [ 7 ] ودي سي سبنسر [ 8 ] نظرية تشوه عامة للمجموعات الزائفة . وفي ستينيات القرن العشرين، طُبّق الجبر الهومولوجي على مسائل المعادلات التفاضلية الجزئية الأساسية المتعلقة بالتحديد الزائد؛ إلا أن هذا كشف عن أن جبر النظرية قد يكون معقدًا للغاية. وفي العقد نفسه، ظهر الاهتمام بنظرية لي اللانهائية الأبعاد في الفيزياء النظرية لأول مرة، في صورة جبر التيارات .

بشكل بديهي، ينبغي أن تكون الزمرة الزائفة لـ Lie زمرة زائفة "تنشأ" من نظام معادلات تفاضلية جزئية. توجد العديد من المفاهيم المشابهة ولكن غير المتكافئة في الأدبيات؛ [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] ويعتمد المفهوم "الصحيح" على التطبيق المقصود. مع ذلك، تتضمن جميع هذه المناهج المختلفة حزم النفاثات (ذات الأبعاد المحدودة أو غير المحدودة) لـ Γ ، والتي يُطلب منها أن تكون زمرة Lie جزئية . على وجه الخصوص، تُسمى الزمرة الزائفة لـ Lie من الرتبة المحدودة k إذا أمكن "إعادة بنائها" من فضاء نفاثاتها من الرتبة k .

مراجع

  1. ^ سوفوس لي (1888–1893). مجموعة نظرية التحولات . بي جي تيوبنر. او سي ال سي 6056947 . 
  2. ^ كارتان ، إيلي (1904). ""سور لا هيكل المجموعات اللانهائية للتحولات"" (PDF) . الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة . 21 : 153– 206. دوى : 10.24033/asens.538 .
  3. ^ كارتان ، إيلي (1909). "مجموعات التحولات المستمرة، اللانهائية، البسيطة" (PDF) . الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة . 26 : 93- 161. دوى : 10.24033/asens.603 .
  4. ↑ كوباياشي، شوشيتشي ؛ نوميزو، كاتسومي (1963). أسس الهندسة التفاضلية ، المجلد الأول . مكتبة وايلي كلاسيكس. نيويورك: جون وايلي وأولاده. الصفحات 1-2 . ISBN  0470496487.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  5. ↑ ثورستون، ويليام ب. (1997). سيلفيو ليفي (محرر). الهندسة والطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد . سلسلة برينستون الرياضية. المجلد 35. مطبعة جامعة برينستون . doi : 10.1515/9781400865321 . ISBN  0-691-08304-5MR 1435975 .​ 
  6. ↑ لوميس، لين ؛ ستيرنبرغ، شلومو (2014). "المشعبات التفاضلية". حساب التفاضل والتكامل المتقدم ( طبعة منقحة). وورلد ساينتيفيك. ص 364-372 . ISBN   978-981-4583-93-0. MR 3222280 . 
  7. ↑ كودايرا، ك. (1960). "حول تشوهات بعض هياكل الزمر الزائفة المعقدة" . حوليات الرياضيات . 71 (2): 224-302 . doi : 10.2307/1970083 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970083 .  
  8. ↑ غيليمين، فيكتور؛ ستيرنبرغ، شلومو (1966). "نظرية التشوه لبنى الزمر الزائفة" . مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية (64): 0. doi : 10.1090/memo/0064 . ISSN 0065-9266 . 
  9. ↑ كومبيرا، أنطونيو؛ سبنسر، دونالد كلايتون (1973-01-01). معادلات لي، المجلد الأول . مطبعة جامعة برينستون. doi : 10.1515/9781400881734 . ISBN 978-1-4008-8173-4.
  10. ↑ سينغر، آي إم ؛ ستيرنبرغ، شلومو (1965). "المجموعات اللانهائية لـ لي وكارتان، الجزء الأول (المجموعات المتعدية)". مجلة التحليل الرياضي . 15 (1): 1-114 . doi : 10.1007/bf02787690 . ISSN 0021-7670 . S2CID 123124081 .  
  11. ^ كلود، ألبرت (1984-1987). مجموعات زائفة من الكذب العابر . هيرمان. او سي ال سي 715985799 . 
  12. ↑ كورانيشي، ماساتاكي (1959). "حول النظرية المحلية للمجموعات الزائفة اللانهائية المتصلة I" . مجلة ناغويا الرياضية . 15 : 225-260 . doi : 10.1017/s0027763000006747 . ISSN 0027-7630 . 
  13. ↑ أولفر، بيتر جيه؛ بوهيانبيلتو، جوها (2005). "أشكال ماورر-كارتان وبنية زمر لي الزائفة" . سيليكتا ماثيماتيكا . 11 (1): 99-126 . doi : 10.1007/s00029-005-0008-7 . ISSN 1022-1824 . S2CID 14712181 .  
  • القديس جلاب (1939). "الجزء الأكبر من "المجموعة الزائفة للتحويلات""". Mathematische Annalen . 116 : 768– 780. دوى : 10.1007 / BF01597390 . S2CID 124962440 .