تحويلات الجيب وجيب التمام

تُبسط قواعد الضرب للدوال الزوجية والفردية، الموضحة بين قوسين في المعادلات التالية، الدوال التكاملية بشكل كبير عند تحويل الدوال الزوجية والفردية . بل إن بعض المؤلفين ^{[ 1 ]} يُعرّفون تحويل جيب التمام للدوال الزوجية فقط.${\displaystyle f_{\text{even}}(t)}$بما أن جيب التمام دالة زوجية، ولأن تكامل دالة زوجية من${\displaystyle {-}\infty }$ل${\displaystyle \infty }$يساوي ضعف تكامله من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle \infty }$يمكن تبسيط تحويل جيب التمام لأي دالة زوجية لتجنب القيم السالبة.${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{even·even=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{even}}(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

ولأن التكامل من${\displaystyle {-}\infty }$ل${\displaystyle \infty }$إذا كان تحويل جيب التمام لأي دالة فردية يساوي صفرًا ، فإن تحويل جيب التمام لأي دالة فردية يساوي صفرًا ببساطة:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·even=odd}}\,dt=0.}$$

وبالمثل، ولأن دالة الجيب فردية، فإن تحويل الجيب لأي دالة فردية${\displaystyle f_{\text{odd}}(t)}$كما أنه يبسط لتجنب السلبية${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·odd=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{odd}}(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt}$$

وتحويل الجيب لأي دالة زوجية يساوي ببساطة صفرًا:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{even·odd=odd}}\,dt=0.}$$

يمثل تحويل الجيب الجزء الفردي من الدالة ، بينما يمثل تحويل جيب التمام الجزء الزوجي من الدالة.

تمامًا كما يأخذ تحويل فورييه شكل معادلات مختلفة بعوامل ثابتة مختلفة (انظر تحويل فورييه §  الوحدة والتعريف للدوال القابلة للتكامل التربيعي للمناقشة)، فإن مؤلفين آخرين يعرفون أيضًا تحويل جيب التمام على النحو التالي ^{[ 2 ].}$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt}$$ وتحويل الجيب كما $${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$$وهناك اصطلاح آخر يُعرّف تحويل جيب التمام على النحو التالي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx}$$وتحويل الجيب كما$${\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx}$$استخدام${\displaystyle \alpha }$كمتغير تحويل. وبينما${\displaystyle t}$يُستخدم عادةً لتمثيل المجال الزمني ،${\displaystyle x}$غالباً ما يتم استخدامها بدلاً من ذلك لتمثيل مجال مكاني عند التحويل إلى ترددات مكانية.

لاحظ أن كلا الدالتين المتكاملتين هما دالتان زوجيتان لـ${\displaystyle \xi }$يمكن تجنب مفهوم التردد السالب عن طريق مضاعفة نتيجة التكامل على الترددات غير السالبة:

$${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi \,+2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi \,.}$$

أيضًا، إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة فردية ، فإن تحويل جيب التمام يساوي صفرًا، وبالتالي فإن معكوسها يتبسط إلى:$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is odd.}}}$$

وبالمثل، إذا كانت الوظيفة الأصلية${\displaystyle f}$إذا كانت دالة زوجية ، فإن تحويل الجيب يساوي صفرًا، وبالتالي فإن معكوسها يتبسط أيضًا إلى:

$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is even.}}}$$

ومن اللافت للنظر أن صيغتي الانعكاس المبسطتين الأخيرتين تبدوان متطابقتين مع تحويلات الجيب وجيب التمام الأصلية، على التوالي، على الرغم من اختلافهما.${\displaystyle t}$تم استبداله بـ${\displaystyle \xi }$(ومع${\displaystyle f}$تم استبداله بـ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$أو${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$نتيجةً لهذا التناظر، تظل عمليتا الانعكاس والتحويل فعالتين حتى عند تبديل الدالتين. تُسمى هاتان الدالتان أزواج التحويل . ^{[ ملاحظة 5 ]}

باستخدام صيغة الجمع لجيب التمام ، يمكن أيضًا إعادة كتابة صيغة الانعكاس الكامل كصيغة تكامل فورييه : ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$ تُصاغ هذه النظرية غالبًا في ظل فرضيات مختلفة، وهي:${\displaystyle f}$قابلة للتكامل، ولها تغير محدود على فترة مفتوحة تحتوي على النقطة${\displaystyle t}$وفي هذه الحالة $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left(f(t+h)+f(t-h)\right)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$

يُعد هذا الشكل الأخير خطوة وسيطة مفيدة في إثبات الصيغ العكسية لتحويلات الجيب التمام والجيب التمام. إحدى طرق اشتقاقه، التي وضعها كوشي، هي إدخال${\displaystyle e^{-\delta \xi }}$في التكامل، حيث${\displaystyle \delta >0}$تم إصلاحها. ثم $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\delta \xi }\cos(2\pi \xi (x-t))\,d\xi \,f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx.}$$ الآن متى${\displaystyle \delta \to 0}$، تؤول الدالة التكاملية إلى الصفر باستثناء عند${\displaystyle x=t}$وبالتالي فإن ما سبق هو رسميًا $${\displaystyle f(t)\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx=f(t).}$$

من مزايا تحويل فورييه الحديث أنه بينما يتطلب استخراج معلومات الطور للتردد استخدام تحويلي الجيب وجيب التمام معًا ، فإن تحويل فورييه الحديث يجمع معلومات الطور والسعة معًا ضمن نتيجته المركبة. لكن من عيوبه اعتماده على فهم الأعداد المركبة، والدوال الأسية المركبة، والترددات السالبة.

تتميز تحويلات الجيب وجيب التمام بأن جميع الكميات حقيقية. وبما أن الترددات الموجبة قادرة على التعبير عنها بشكل كامل، يُمكن تجنب مفهوم التردد السالب غير البديهي المطلوب في تحويل فورييه التقليدي. كما أنها قد تكون ملائمة عندما تكون الدالة الأصلية زوجية أو فردية، أو يُمكن جعلها كذلك، وفي هذه الحالة يكفي استخدام تحويل جيب التمام أو الجيب على التوالي. على سبيل المثال، حتى لو لم يكن المدخل زوجيًا أو فرديًا، يُمكن أن يبدأ تحويل جيب التمام المنفصل بافتراض امتداد زوجي للمدخل، بينما يبدأ تحويل الجيب المنفصل بافتراض امتداد فردي للمدخل، وذلك لتجنب حساب تحويل فورييه المنفصل بالكامل .