الترميز المتجهي

يمكن تحديد متجه v في فضاء إحداثيات حقيقي ذي n بُعد باستخدام مجموعة (قائمة مرتبة) من الإحداثيات:

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n})}$

أحيانًا الأقواس الزاوية${\displaystyle \langle \dots \rangle }$تُستخدم بدلاً من الأقواس. ^{[ 12 ]}

متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن أيضًا تحديد المتجه كمصفوفة صفية أو عمودية تحتوي على مجموعة مرتبة من العناصر. يُعرف المتجه المحدد كمصفوفة صفية باسم متجه صفي ، بينما يُعرف المتجه المحدد كمصفوفة عمودية باسم متجه عمودي .

مرة أخرى، متجه ذو أبعاد n${\displaystyle \mathbf {v} }$يمكن تحديدها بأي من الصيغ التالية باستخدام المصفوفات:

• $//$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}}$

حيث _{تمثل v1 و v2} و _... و vn - 1 _{و vn مكونات} المتجه v . في بعض السياقات المتقدمة، يكون لمتجه الصف ومتجه العمود معنى مختلف؛ انظر إلى التباين المشترك والتباين العكسي للمتجهات لمزيد من المعلومات _.  

متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(أو أبعاد أقل، مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$حيث v _z أدناه يساوي صفرًا) يمكن تحديده كمجموع المضاعفات العددية لمكونات المتجه مع عناصر الأساس القياسي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يتم تمثيل الأساس باستخدام متجهات الوحدة${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}}=(1,0,0)}$،${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}=(0,1,0)}$، و${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {k}}}=(0,0,1)}$.

متجه ثلاثي الأبعاد${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$يمكن تحديدها بالشكل التالي، باستخدام ترميز متجه الوحدة: $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+v_{y}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+v_{z}{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

حيث أن v _x و v _y و v _z هي المكونات العددية لـ v . قد تكون المكونات العددية موجبة أو سالبة؛ والقيمة المطلقة للمكون العددي هي مقداره.

يمكن تحديد المتجهات باستخدام إما ترميز الأزواج المرتبة (وهو مجموعة فرعية من ترميز المجموعات المرتبة باستخدام عنصرين فقط)، أو ترميز المصفوفات، كما هو الحال مع الإحداثيات المستطيلة. في هذه الأشكال، يكون العنصر الأول للمتجه هو _r ( بدلاً من v1 )، والعنصر الثاني هو θ (بدلاً من v2 ₎ . ولتمييز الإحداثيات القطبية عن الإحداثيات المستطيلة، يمكن إضافة رمز الزاوية قبل الزاوية.${\displaystyle \angle }$.

يمكن تمثيل الإحداثيات القطبية ثنائية الأبعاد لـ v بأي من الطرق التالية، باستخدام إما ترميز الزوج المرتب أو ترميز المصفوفة:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \end{bmatrix}}}$

حيث r هي المقدار، وθ هي الزاوية، ورمز الزاوية (${\displaystyle \angle }$) اختياري.

يمكن أيضًا تحديد المتجهات باستخدام معادلات مستقلة مبسطة تُعرّف r و θ بشكل صريح. قد يكون هذا الأمر معقدًا بعض الشيء، ولكنه مفيد لتجنب الالتباس مع المتجهات المستطيلة ثنائية الأبعاد الذي ينشأ عن استخدام ترميز الأزواج المرتبة أو المصفوفات.

يمكن تحديد متجه ثنائي الأبعاد مقداره 5 وحدات، واتجاهه π /9 راديان (20 درجة)، باستخدام أي من الشكلين التاليين:

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9}}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ }}$

تستخدم المتجهات الأسطوانية الإحداثيات القطبية، حيث يتم دمج مُركِّب المسافة الثاني كمُركِّب ثالث لتشكيل ثلاثيات مُرتبة (وهي أيضًا مجموعة فرعية من ترميز المجموعات المُرتبة) والمصفوفات. يمكن أن تُسبق الزاوية برمز الزاوية (${\displaystyle \angle }$); إن تركيبة المسافة والزاوية والمسافة تميز المتجهات الأسطوانية في هذه الصيغة عن المتجهات الكروية في صيغة مماثلة.

يمكن تمثيل المتجه الأسطواني ثلاثي الأبعاد v بأي من الطرق التالية، باستخدام إما الترميز الثلاثي المرتب أو ترميز المصفوفة:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta ,h)}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta ,h\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta &h\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \\h\end{bmatrix}}}$

حيث r هي مقدار إسقاط v على المستوى xy ، وθ هي الزاوية بين المحور x الموجب و v ، و h هو الارتفاع من المستوى xy إلى نهاية v . مرة أخرى، رمز الزاوية (${\displaystyle \angle }$) اختياري.

يمكن أيضًا تحديد متجه أسطواني مباشرةً باستخدام معادلات مستقلة مبسطة تُعرّف r (أو ρ )، وθ (أو φ )، و h (أو z ). يجب مراعاة التناسق عند اختيار أسماء المتغيرات؛ فلا ينبغي الخلط بين ρ و θ وهكذا.

يمكن تحديد متجه ثلاثي الأبعاد، مقدار إسقاطه على المستوى xy هو 5 وحدات، وزاويته من المحور x الموجب هي π /9 راديان (20 درجة)، وارتفاعه من المستوى xy هو 3 وحدات، بأي من الأشكال التالية:

• ${\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9},\ h=3}$
• ${\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ },\ h=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi ={\pi \over 9},\ z=3}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \phi =20^{\circ },\ z=3}$

تُحدد المتجهات الكروية بنفس طريقة تحديد المتجهات القطبية ، حيث تُضاف زاوية السمت كمكون ثالث لتشكيل ثلاثيات ومصفوفات مرتبة. ويمكن أن تُسبق كل من زاوية السمت وزاوية السمت برمز الزاوية (${\displaystyle \angle }$); يجب استخدام البادئة باستمرار لإنتاج تركيبة المسافة والزاوية والزاوية التي تميز المتجهات الكروية عن المتجهات الأسطوانية.

يمكن تمثيل المتجه الكروي ثلاثي الأبعاد v بأي من الطرق التالية، باستخدام إما الترميز الثلاثي المرتب أو ترميز المصفوفة:

• ${\displaystyle \mathbf {v} =(\rho ,\angle \theta ,\angle \phi )}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} =\langle \rho ,\angle \theta ,\angle \phi \rangle }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho &\angle \theta &\angle \phi \end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho \\\angle \theta \\\angle \phi \end{bmatrix}}}$

حيث ρ هي المقدار، و θ هي زاوية السمت، و φ هي زاوية السمت الرأسي.

مثل المتجهات القطبية والأسطوانية، يمكن تحديد المتجهات الكروية باستخدام معادلات مستقلة مبسطة، في هذه الحالة لـ ρ و θ و φ .

يمكن تحديد متجه ثلاثي الأبعاد مقداره 5 وحدات، وزاوية سمته π /9 راديان (20 درجة)، وزاوية سمته π /4 راديان (45 درجة) على النحو التالي:

• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta ={\pi \over 9},\ \phi ={\pi \over 4}}$
• ${\displaystyle \rho =5,\ \theta =20^{\circ },\ \phi =45^{\circ }}$

يُرمز إلى جمع المتجهات بعلامة الجمع (+) المستخدمة كعامل بين متجهين. ويمكن تمثيل مجموع متجهين u و v على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$$

يُعبَّر عن الضرب القياسي بنفس طريقة الضرب الجبري. فوجود عدد قياسي بجانب متجه (قد يكون أحدهما أو كلاهما بين قوسين) يدل على الضرب القياسي. كما يُمكن استخدام عاملي الضرب القياسي والضرب الاتجاهي (مع أن الضرب الاتجاهي نادر الاستخدام)، لكنهما قد يُسببان التباسًا مع الضرب القياسي والضرب الاتجاهي، اللذين يُجرىان على متجهين. يُمكن تمثيل حاصل ضرب عدد قياسي k في متجه v بأي من الطرق التالية:

• ${\displaystyle k\mathbf {v} }$
• ${\displaystyle k\cdot \mathbf {v} }$

يُرمز إلى معيار المتجه بخطين مزدوجين على جانبي المتجه. ويمكن تمثيل معيار المتجه v كما يلي:$${\displaystyle \|\mathbf {v} \|}$$

كما يتم تمثيل القاعدة أحيانًا بخطوط مفردة، مثل${\displaystyle |\mathbf {v} |}$، ولكن يمكن الخلط بين هذا وبين القيمة المطلقة (وهي نوع من أنواع المعايير).

يُعبَّر عن الضرب الداخلي لمتجهين (المعروف أيضًا بالضرب القياسي، ويجب عدم الخلط بينه وبين الضرب القياسي) بزوج مرتب محصور بين قوسين زاويين. ويمكن تمثيل الضرب الداخلي لمتجهين u و v على النحو التالي:$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$$

الضرب الاتجاهي لمتجهين (في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُمثَّل الضرب الاتجاهي باستخدام علامة الضرب الاتجاهي المُدارة كعامل. ويُمكن تمثيل الضرب الاتجاهي لمتجهين u و v على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$$

بحسب بعض الاتفاقيات (على سبيل المثال في فرنسا وفي بعض مجالات الرياضيات العليا)، يُشار إلى هذا أيضًا بالوتد، ^{[ 13 ]} مما يتجنب الخلط مع حاصل الضرب الوتد لأن الاثنين متكافئان وظيفيًا في ثلاثة أبعاد: $${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$$

في بعض المؤلفات القديمة، يتم استخدام الرمز التالي للضرب الاتجاهي بين u و v : $${\displaystyle [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$$