ديناميكا نيوتن

في الفيزياء، تُعرف الديناميكا النيوتونية (أو الميكانيكا النيوتونية ) بدراسة ديناميكا الجسيمات أو الأجسام الصغيرة وفقًا لقوانين نيوتن للحركة . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

عادةً، تحدث الديناميكا النيوتونية في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد ، وهو فضاء مسطح. مع ذلك، في الرياضيات، يمكن تعميم قوانين نيوتن للحركة لتشمل الفضاءات متعددة الأبعاد والمنحنية . غالبًا ما يُختزل مصطلح الديناميكا النيوتونية إلى قانون نيوتن الثاني.${\displaystyle \displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F} }$.

يعتبر${\displaystyle \displaystyle N}$جسيمات ذات كتل${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد المنتظم . ليكن${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$لنفترض أن هذه الجسيمات هي متجهات أنصاف أقطارها في نظام إحداثيات قصوري ما . عندئذٍ، تخضع حركة هذه الجسيمات لقانون نيوتن الثاني المطبق على كل منها.

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}=\mathbf {v} _{i},\qquad {\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{N},t)}{m_{i}}},\quad i=1,\ldots ,N.}$

1

متجهات نصف القطر ثلاثية الأبعاد${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$يمكن دمجها في واحد${\displaystyle \displaystyle n=3N}$متجه نصف القطر ذو الأبعاد n. وبالمثل، متجهات السرعة ثلاثية الأبعاد${\displaystyle \displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}}$يمكن دمجها في واحد${\displaystyle \displaystyle n=3N}$متجه السرعة ذو الأبعاد:

$// \\\mathbf {v} _{N}\end{Vmatrix}}.}$

2

بالنسبة للمتجهات متعددة الأبعاد ( 2 ) ، تُكتب المعادلات ( 1 ) على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} ,\qquad {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t),}$

3

أي أنها تأخذ شكل قانون نيوتن الثاني المطبق على جسيم واحد ذي كتلة وحدة${\displaystyle \displaystyle م=1}$.

التعريف . تُسمى المعادلات ( 3 ) معادلات نظام ديناميكي نيوتني في فضاء إقليدي متعدد الأبعاد مسطح ، يُسمى فضاء التكوين لهذا النظام. وتُحدد نقاطه بواسطة متجه نصف القطر. ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$الفضاء الذي تُحدد نقاطه بواسطة زوج من المتجهات${\displaystyle \displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$يُطلق عليه اسم فضاء الطور للنظام الديناميكي ( 3 ).

يُعد كل من فضاء التكوين وفضاء الطور للنظام الديناميكي ( 3 ) فضاءين إقليديين، أي أنهما مزودان ببنية إقليدية. وتُعرَّف البنية الإقليدية لهما بحيث تكون الطاقة الحركية للجسيم المفرد متعدد الأبعاد ذي الكتلة الوحدة${\displaystyle \displaystyle م=1}$يساوي مجموع الطاقات الحركية للجسيمات ثلاثية الأبعاد ذات الكتل${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$:

${\displaystyle T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}}$.

4

في بعض الحالات، حركة الجسيمات ذات الكتل${\displaystyle \displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}}$يمكن تقييدها. تبدو القيود النموذجية كمعادلات قياسية من الشكل التالي:

${\displaystyle \displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K}$.

5

تُسمى القيود من الشكل ( 5 ) بالقيود الهولونومية والصلبة . بدلالة متجه نصف القطر${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$بالنسبة للنظام الديناميكي النيوتوني ( 3 )، تُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle \displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K}$.

6

كل قيد من هذه القيود يقلل بمقدار واحد عدد درجات حرية النظام الديناميكي النيوتوني ( 3 ). لذلك، فإن النظام المقيد لديه${\displaystyle \displaystyle n=3\,NK}$درجات الحرية.

التعريف . تحدد معادلات القيد ( 6 )${\displaystyle \displaystyle n}$متعدد الأبعاد${\displaystyle \displaystyle M}$ضمن فضاء التكوين للنظام الديناميكي النيوتوني ( 3 ). هذا التشعب${\displaystyle \displaystyle M}$يُطلق عليه اسم فضاء التكوين للنظام المقيد. حزمة المماس الخاصة به${\displaystyle \displaystyle TM}$يُطلق عليه اسم فضاء الطور للنظام المقيد.

يترك${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$لتكن الإحداثيات الداخلية لنقطة من${\displaystyle \displaystyle M}$يُعد استخدامها نموذجيًا في ميكانيكا لاغرانج . متجه نصف القطر${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} }$يتم التعبير عنها كدالة محددة لـ${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$:

${\displaystyle \displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q^{1},\,\ldots ,\,q^{n})}$.

7

تُحل دالة المتجهات ( 7 ) معادلات القيد ( 6 ) بمعنى أنه عند استبدال ( 7 ) في ( 6 ) ، تتحقق المعادلات ( 6 ) بشكل مطابق في${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}}$.

يُعبَّر عن متجه السرعة للنظام الديناميكي النيوتوني المقيد بدلالة المشتقات الجزئية للدالة المتجهة ( 7 ):

${\displaystyle \displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}}$.

8

الكميات${\displaystyle \displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}}$تُسمى هذه المكونات بالمكونات الداخلية لمتجه السرعة. ويُشار إليها أحيانًا باستخدام رمز منفصل.

${\displaystyle \displaystyle {\dot {q}}^{i}=w^{i},\qquad i=1,\,\ldots ,\,n}$

9

ثم تُعامل كمتغيرات مستقلة. الكميات

${\displaystyle \displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n},\,w^{1},\,\ldots ,\,w^{n}}$

10

تُستخدم كإحداثيات داخلية لنقطة في فضاء الطور${\displaystyle \displaystyle TM}$من النظام الديناميكي النيوتوني المقيد.

من الناحية الهندسية، تُنفذ الدالة المتجهة ( 7 ) تضمينًا لفضاء التكوين${\displaystyle \displaystyle M}$تحويل النظام الديناميكي النيوتوني المقيد إلى${\displaystyle \displaystyle 3\,N}$فضاء التكوين المسطح ذو الأبعاد n للنظام الديناميكي النيوتوني غير المقيد ( 3 ). وبسبب هذا التضمين، فإن البنية الإقليدية للفضاء المحيط تُدخل المقياس الريماني على المتشعب.${\displaystyle \displaystyle M}$تُعطى مكونات موتر القياس لهذا المقياس المستحث بالصيغة التالية :

${\displaystyle \displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)}$،

11

أين${\displaystyle \displaystyle (\ ,\ )}$هو حاصل الضرب القياسي المرتبط بالبنية الإقليدية ( 4 ).

بما أن البنية الإقليدية لنظام غير مقيد من${\displaystyle \displaystyle N}$يتم إدخال الجسيمات من خلال طاقتها الحركية، والبنية الريمانية المستحثة في فضاء التكوين${\displaystyle \displaystyle N}$يحافظ النظام المقيد على هذه العلاقة مع الطاقة الحركية:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}}$.

12

تم اشتقاق الصيغة ( 12 ) عن طريق استبدال ( 8 ) في ( 4 ) وأخذ ( 11 ) في الاعتبار.

في نظام ديناميكي نيوتوني مقيد، تُطبَّق القيود الموصوفة بالمعادلات ( 6 ) عادةً بواسطة إطار ميكانيكي. يُنتج هذا الإطار بعض القوى المساعدة، بما في ذلك القوة التي تُبقي النظام ضمن نطاق تكوينه.${\displaystyle \displaystyle M}$تكون قوة الحفاظ هذه عمودية على${\displaystyle \displaystyle M}$تُسمى هذه القوة بالقوة العمودية .${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} }$يتم تقسيم ( 6 ) إلى مكونين

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }}$.

13

المكون الأول في ( 13 ) يكون مماساً لمتشعب التكوين${\displaystyle \displaystyle M}$المكون الثاني عمودي على${\displaystyle \displaystyle M}$يتطابق مع القوة العمودية${\displaystyle \displaystyle \mathbf {N} }$. مثل متجه السرعة ( 8 )، القوة المماسية ${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$له عرضه الداخلي

${\displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}}$.

14

الكميات${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$وتسمى المكونات الداخلية لمتجه القوة في ( 14 ).

النظام الديناميكي النيوتوني ( 3 ) مقيد بمتشعب التكوين${\displaystyle \displaystyle M}$يتم وصفها بواسطة المعادلات التفاضلية وفقًا لمعادلات القيد ( 6 ).

${\displaystyle {\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {dw^{s}}{dt}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\Gamma _{ij}^{s}\,w^{i}\,w^{j}=F^{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n}$،

15

أين${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}}$هي رموز كريستوفيل للوصلة المترية الناتجة عن المقياس الريماني ( 11 ).

عادةً ما يتم وصف الأنظمة الميكانيكية ذات القيود بواسطة معادلات لاغرانج :

${\displaystyle {\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n}$،

16

أين${\displaystyle T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})}$تمثل الطاقة الحركية للنظام الديناميكي المقيد المعطى بالصيغة ( 12 ). الكميات${\displaystyle Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}}$في ( 16 ) هي المكونات المتغيرة الداخلية لمتجه القوة المماسية${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$(انظر ( 13 ) و( 14 )). يتم إنتاجها من المكونات المتغيرة الداخلية.${\displaystyle F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}}$من المتجه${\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$عن طريق إجراء خفض المؤشر القياسي باستخدام المقياس ( 11 ):

${\displaystyle Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n}$،

17

المعادلات ( 16 ) مكافئة للمعادلات ( 15 ). ومع ذلك، فإن المقياس ( 11 ) والخصائص الهندسية الأخرى لمتشعب التكوين${\displaystyle \displaystyle M}$ليست صريحة في ( 16 ). يمكن استخلاص المقياس ( 11 ) من الطاقة الحركية${\displaystyle \displaystyle T}$عن طريق الصيغة

${\displaystyle g_{ij}={\frac {\partial ^{2}T}{\partial w^{i}\,\partial w^{j}}}}$.

18

• ديناميكا نيوتن المعدلة