طريقة المكملات

في الرياضيات والحوسبة ، تُعدّ طريقة المُكمِّلات أسلوبًا لترميز نطاق متناظر من الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة ، بحيث يُمكن استخدام نفس الخوارزمية (أو الآلية ) للجمع في كامل هذا النطاق. بالنسبة لعدد مُحدد من الخانات ، يُرمِّز نصف التمثيلات المُمكنة للأعداد الأعداد الموجبة، بينما يُرمِّز النصف الآخر معكوساتها الجمعية . تُسمى أزواج الأعداد المعكوسة الجمعية المُكمِّلات . وبالتالي، يتم طرح أي عدد بجمع مُكمِّله. كما يتم ترميز تغيير إشارة أي عدد بتوليد مُكمِّله، وهو ما يُمكن القيام به بواسطة خوارزمية بسيطة وفعّالة للغاية. كانت هذه الطريقة شائعة الاستخدام في الآلات الحاسبة الميكانيكية ، ولا تزال تُستخدم في الحواسيب الحديثة . يُعدّ المفهوم المُعمَّم لمُكمِّل الجذر (كما هو موضح أدناه) ذا قيمة أيضًا في نظرية الأعداد ، كما هو الحال في نظرية ميدي . 

يُحسب مكمل التسعات لعدد مكتوب بالنظام العشري باستبدال كل رقم بـ 9 مطروحًا منه ذلك الرقم. ولطرح عدد عشري y ( المطروح منه ) من عدد آخر x ( المطروح منه )، يمكن استخدام طريقتين:

في الطريقة الأولى، يتم جمع المتمم التساعي لـ x مع y . ثم يتم تكوين المتمم التساعي للنتيجة التي تم الحصول عليها لإنتاج النتيجة المطلوبة.

في الطريقة الثانية، يُضاف مُتمِّم التسعات للعدد y إلى العدد x ، ويُضاف واحد إلى المجموع. ثم يُهمل الرقم '1' الموجود في أقصى اليسار من الناتج. يُعدّ إهمال الرقم '1' الموجود في أقصى اليسار مُلائمًا بشكل خاص في الآلات الحاسبة أو أجهزة الكمبيوتر التي تستخدم عددًا ثابتًا من الأرقام: إذ لا يوجد مكان له، وبالتالي يُفقد ببساطة أثناء العملية الحسابية. يُعرف مُتمِّم التسعات مضافًا إليه واحد باسم مُتمِّم العشرات.

يمكن توسيع طريقة المكملات لتشمل أنظمة عددية أخرى ( جذور )؛ على وجه الخصوص، تُستخدم في معظم الحواسيب الرقمية لإجراء عمليات الطرح، وتمثيل الأعداد السالبة في النظام الثنائي أو النظام ذي الأساس 2، واختبار تجاوز السعة في العمليات الحسابية. ^{[ 1 ]}

المكمل الأساسي لـ${\displaystyle n}$رقم مكون من خانات${\displaystyle y}$في الجذر${\displaystyle b}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle b^{n}-y}$عمليًا، يُمكن الحصول على المكمل الأساسي بسهولة أكبر عن طريق إضافة 1 إلى المكمل الأساسي المنقح ، وهو${\displaystyle \left(b^{n}-1\right)-y}$على الرغم من أن حساب هذا يبدو صعبًا بنفس قدر صعوبة حساب المتمم الأساسي، إلا أنه في الواقع أبسط لأن${\displaystyle \left(b^{n}-1\right)}$هو ببساطة الرقم${\displaystyle b-1}$كرر${\displaystyle n}$مضروبًا في النظام الثنائي. هذا لأن

(انظر أيضًا صيغة المتسلسلة الهندسية ). بمعرفة ذلك، يمكن إيجاد المكمل الأساسي المخفض لعدد ما عن طريق مكمل كل رقم بالنسبة إلى${\displaystyle b-1}$أي طرح كل رقم في${\displaystyle y}$من${\displaystyle b-1}$.

طرح${\displaystyle y}$من${\displaystyle x}$يمكن إجراء عملية استخدام مكملات الأساس المتناقصة على النحو التالي. أضف مكمل الأساس المتناقص لـ${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$للحصول على${\displaystyle b^{n}-1-x+y}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle b^{n}-1-(xy)}$، وهو المكمل الجذري المنقوص لـ${\displaystyle xy}$. بالإضافة إلى ذلك، مع الأخذ في الاعتبار المكمل الأساسي المخفّض لـ${\displaystyle b^{n}-1-(xy)}$ينتج عنه الإجابة المطلوبة${\displaystyle xy}$.

أو باستخدام مكمل الجذر،${\displaystyle xy}$يمكن الحصول عليها عن طريق إضافة المتمم الأساسي لـ${\displaystyle y}$ل${\displaystyle x}$للحصول على${\displaystyle x+b^{n}-y}$أو${\displaystyle x-y+b^{n}}$بافتراض${\displaystyle y\leq x}$، ستكون النتيجة أكبر من أو تساوي${\displaystyle b^{n}}$وإسقاط البادئة${\displaystyle 1}$إن طرح الناتج من الناتج هو نفسه طرح${\displaystyle b^{n}}$مما يجعل النتيجة${\displaystyle x-y+b^{n}-b^{n}}$أو فقط${\displaystyle xy}$، النتيجة المرجوة.

في نظام العد العشري ، يُسمى المكمل الأساسي مكمل العشرات ، والمكمل الأساسي المنقح مكمل التسعات . في النظام الثنائي ، يُسمى المكمل الأساسي مكمل الاثنين ، والمكمل الأساسي المنقح مكمل الآحاد . وتتشابه تسمية المكملات في الأنظمة العددية الأخرى. يوصي بعض العلماء، وعلى رأسهم دونالد كنوث ، باستخدام موضع الفاصلة العليا للتمييز بين المكمل الأساسي والمكمل الأساسي المنقح. في هذا السياق، يُشير مكمل الأربعة إلى المكمل الأساسي لعدد في النظام العددي ذي الأساس أربعة، بينما يُشير مكمل الأربعة إلى المكمل الأساسي المنقح لعدد في النظام العددي ذي الأساس خمسة. مع ذلك، لا يُعد هذا التمييز مهمًا عندما يكون الأساس واضحًا (وهو الحال دائمًا تقريبًا)، كما أن الاختلاف الطفيف في موضع الفاصلة العليا ليس شائعًا. يستخدم معظم الكتّاب مكمل الآحاد ومكمل التسعات ، وتتجاهل العديد من أدلة الأسلوب الفاصلة العليا، موصيةً باستخدام مكمل الآحاد ومكمل التسعات .

المتمم التساعي لرقم عشري هو العدد الذي يجب إضافته إليه للحصول على 9؛ فالمتمم التساعي للرقم 3 هو 6، والمتمم التساعي للرقم 7 هو 2، وهكذا، انظر الجدول. ولتكوين المتمم التساعي لعدد أكبر، يُستبدل كل رقم بمتممه التساعي.

لنفترض مسألة الطرح التالية:

 873 [x، المطروح منه] - 218 [y، المطروح]

999 - 873 = 126

 126 [المكمل التساعي لـ x = 999 - x] + 218 [y، المطروح] ————— 344 [999 - x + y]

 344 [نتيجة] 655 [المكمل التساعي للعدد 344 = 999 - (999 - x + y) = x - y، الإجابة الصحيحة]

 873 [x] + 781 [المكمل التساعي لـ y = 999 - y] ————— 1654 [999 + x - y]

1654 -1000 [-(999 + 1)] ————— 654 [-(999 + 1) + 999 + س - ص]

 654 + 1 ————— 655 [س - ص]

 123410 [x، المطروح منه] - 123401 [y، المطروح]

 876589 [متمم التسعات لـ x] + 123401 [y] ———————— 999990

 48032 [x] - 391 [y]

 48032 [x] - 00391 [y مع أصفار بادئة]

 48032 [x] + 99608 [متمم التسعات لـ y] + 1 ——————— 147641

تُعدّ طريقة المُكمِّلات مفيدةً للغاية في النظام الثنائي (الأساس 2)، إذ يُمكن الحصول على مُكمِّل الواحد بسهولةٍ بالغةٍ عن طريق عكس كل بت (تغيير '0' إلى '1' والعكس). ويمكن إضافة 1 للحصول على مُكمِّل الاثنين عن طريق محاكاة عملية حمل في البت الأقل أهمية . على سبيل المثال:

 0110 0100 [x، يساوي 100 عشري] - 0001 0110 [y، يساوي 22 عشريًا]

يصبح المجموع:

 0110 0100 [x] + 1110 1001 [المتمم الأحادي لـ y = 1111 1111 - y] + 1 [للحصول على المتمم الثنائي = 1 0000 0000 - y] ——————————— 10100 1110 [س + 1 0000 0000 - ص]

وبحذف الرقم "1" الأولي نحصل على الإجابة: 0100 1110 (تساوي 78 بالنظام العشري).

تفترض طريقة المكملات عادةً أن المعاملات موجبة وأن y ≤ x ، وهي قيود منطقية بالنظر إلى أن جمع وطرح الأعداد الصحيحة العشوائية يتم عادةً عن طريق مقارنة الإشارات، وجمع العددين أو طرح الأصغر من الأكبر، وإعطاء النتيجة الإشارة الصحيحة.

لنرى ماذا سيحدث إذا كانت x < y . في هذه الحالة، لن يكون هناك رقم "1" ليتم شطبه بعد الجمع لأن${\displaystyle x-y+b^{n}}$سيكون أقل من${\displaystyle b^{n}}$على سبيل المثال، (بالنظام العشري):

 185 [x] - 329 [y]

بإكمال y وإضافة ما يلي:

 185 [x] + 670 [متمم التسعات لـ y] + 1 ————— 856

في هذه المرحلة، لا توجد طريقة بسيطة لإكمال الحساب عن طريق الطرح.${\displaystyle b^{n}}$(1000 في هذه الحالة)؛ لا يمكن تجاهل الرقم 1 في البداية. الإجابة المتوقعة هي -144، وهي ليست بعيدة كما تبدو؛ 856 هو المتمم العشري للعدد 144. يمكن معالجة هذه المشكلة بعدة طرق:

• تجاهل المشكلة. هذا أمر منطقي إذا كان الشخص يستخدم آلة حاسبة لا تدعم الأرقام السالبة، حيث أن مقارنة المعاملين قبل إجراء العملية الحسابية لضمان إدخالهما بالترتيب الصحيح، والتحقق من منطقية النتيجة، أمر سهل بالنسبة للبشر.
• استخدم نفس الطريقة لطرح 856 من 1000، ثم أضف علامة سالبة إلى النتيجة.
• مثّل الأعداد السالبة كمكملات أساسية لنظائرها الموجبة. الأعداد الأقل من${\displaystyle b^{n}/2}$تُعتبر الأعداد العشرية موجبة؛ أما البقية فتُعتبر سالبة (ويمكن تحديد قيمتها باستخدام المتمم العشري). يُعدّ هذا الأسلوب الأمثل للأعداد ذات الأساس الزوجي، حيث يُمكن تحديد الإشارة من خلال النظر إلى الرقم الأول. على سبيل المثال، تكون الأعداد في نظام المتمم العشري موجبة إذا كان الرقم الأول 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4، وسالبة إذا كان 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9. كما أنه يُناسب النظام الثنائي تمامًا، حيث يُمكن اعتبار البت الأول بت الإشارة : يكون العدد موجبًا إذا كان بت الإشارة 0 وسالبًا إذا كان 1. في الواقع، يُستخدم نظام المتمم الثنائي في معظم الحواسيب الحديثة لتمثيل الأعداد الموقعة.
• يُكمل الناتج إذا لم يكن هناك حمل خارج من الرقم الأكثر أهمية (مما يشير إلى أن x أقل من y ). يُعدّ هذا أسهل في التنفيذ باستخدام الدوائر الرقمية من مقارنة المعاملات وتبديلها. ولكن نظرًا لأن حساب المتمم الأساسي يتطلب إضافة 1، فإنه يصعب القيام بذلك مباشرةً. لحسن الحظ، يمكن استخدام حيلة لتجاوز هذه العملية: فبدلاً من وضع حمل دائمًا في الرقم الأقل أهمية عند الطرح، يُستخدم الحمل الخارج من الرقم الأكثر أهمية كمدخل حمل في الرقم الأقل أهمية (وهي عملية تُسمى الحمل المُعاد ). لذا، إذا كان y ≤ x ، يُضاف الحمل من الرقم الأكثر أهمية الذي يُتجاهل عادةً، مما يُنتج النتيجة الصحيحة. وإذا لم يكن كذلك، فلا يُضاف 1 وتكون النتيجة أقل بواحد من المتمم الأساسي للناتج، أو المتمم الأساسي المُخفّض، الذي لا يتطلب إضافة للحصول عليه. تُستخدم هذه الطريقة في أجهزة الكمبيوتر التي تستخدم الإشارة والمقدار لتمثيل الأعداد المُوقّعة.

استُخدمت طريقة المكملات في العديد من الآلات الحاسبة الميكانيكية كبديل لتشغيل التروس في الاتجاه المعاكس. على سبيل المثال:

• كانت آلة باسكال الحاسبة تحتوي على مجموعتين من أرقام النتيجة، مجموعة سوداء تعرض النتيجة الأصلية، ومجموعة حمراء تعرض المتمم التساعي لها. استُخدم شريط أفقي لتغطية إحدى المجموعتين، كاشفًا الأخرى. للطرح، تُكشف الأرقام الحمراء وتُضبط على الصفر. ثم يُدخل المتمم التساعي للمطروح منه. في بعض الآلات، كان بالإمكان فعل ذلك بإدخال قيمة المطروح منه باستخدام عجلات المتمم الداخلية (أي دون الحاجة إلى تحديد المتمم التساعي للمطروح منه ذهنيًا). عند عرض هذه البيانات في نافذة المتمم (المجموعة الحمراء)، يستطيع المستخدم رؤية المتمم التساعي للمتمم التساعي للمطروح منه، أي قيمة المطروح منه. ثم يُحرّك الشريط لكشف الأرقام السوداء (التي تعرض الآن المتمم التساعي للمطروح منه) ويُضاف المطروح بإدخال قيمته. أخيرًا، كان على المستخدم تحريك الشريط مرة أخرى لقراءة الإجابة الصحيحة.
• كانت آلة الحساب تحتوي على أرقام المتمم التساعي مطبوعة بخط أصغر إلى جانب الأرقام العادية على كل مفتاح. ولإجراء عملية الطرح، كان على المستخدم أن يطرح 1 ذهنيًا من المطروح، ثم يُدخل النتيجة باستخدام الأرقام الأصغر. وبما أن طرح 1 قبل تطبيق المتمم التساعي يُعادل إضافة 1 بعد ذلك، فإن المستخدم سيضيف فعليًا المتمم العشري للمطروح. كما كان على المستخدم الضغط باستمرار على زر "قطع الطرح" المقابل للرقم الأيسر من الناتج. يمنع هذا الزر انتقال الرقم الزائد (الرقم 1) من النتيجة، وهي الطريقة التي كانت تستخدمها آلة الحساب لحذف الرقم 1 الأولي من النتيجة. ^{[ 2 ]}
• استخدمت آلة حاسبة كورتا طريقة المكملات في الطرح، ونجحت في إخفاء ذلك عن المستخدم. كان يتم إدخال الأرقام باستخدام أزرار إدخال رقمية منزلقة على جانب الجهاز. يُضاف الرقم الموجود على كل زر إلى عداد النتائج بواسطة آلية تروس تُشغّل كاميرات على "أسطوانة متدرجة" دوارة. تُدار الأسطوانة بواسطة ذراع تدوير في أعلى الجهاز. يتحدد عدد الكاميرات التي يواجهها كل رقم أثناء دوران الذراع بقيمة ذلك الرقم. على سبيل المثال، إذا تم ضبط زر على الوضع "6"، فسيتم مواجهة صف من 6 كاميرات حول الأسطوانة المقابلة لهذا الوضع. للطرح، تُحرّك الأسطوانة قليلاً قبل تدويرها، مما يُحرّك صفًا مختلفًا من الكاميرات إلى موضعه. يحتوي هذا الصف البديل على مكمل التسعات للأرقام. وهكذا، فإن صف الكاميرات الست الذي كان في موضعه للجمع أصبح الآن يحتوي على صف من 3 كاميرات. كما فعّلت الأسطوانة المُزاحة كامة إضافية أضافت 1 إلى النتيجة (كما هو مطلوب في طريقة المُكمِّلات). وبذلك، تم تجاهل مُكمِّل العشرات "الفائض 1" الموجود دائمًا والذي يتجاوز الرقم الأكثر أهمية في سجل النتائج.

في المدارس الابتدائية، يُدرَّس الطلاب أحيانًا طريقة المكملات كطريقة مختصرة مفيدة في الحساب الذهني . ^{[ 3 ]} تتم عملية الطرح بجمع مكمل العشرات للمطروح ، وهو مكمل التسعات مضافًا إليه 1. يُستخدم ناتج هذا الجمع عندما يكون من الواضح أن الفرق سيكون موجبًا، وإلا يُستخدم مكمل العشرات لناتج الجمع مع الإشارة إليه بأنه سالب. وتُطبَّق نفس التقنية في الطرح باستخدام آلة الجمع.

• كورتا