الحساب الذهني

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة
لطالما كان الحساب الذهني عنصراً أساسياً في تعليم الرياضيات.

الحساب الذهني (المعروف أيضًا بالحساب العقلي [ 1 ] ) هو عملية حسابية يقوم بها العقل ، داخل الدماغ ، دون الاستعانة بأي أدوات (مثل القلم والورق) أو أجهزة مثل الآلة الحاسبة . يلجأ الأفراد إلى الحساب الذهني عندما لا تتوفر أدوات الحوسبة، أو عندما يكون أسرع من وسائل الحساب الأخرى (مثل الطرق التعليمية التقليدية)، أو حتى في سياق تنافسي . غالبًا ما يتضمن الحساب الذهني استخدام تقنيات محددة مصممة لأنواع معينة من المسائل. وتعتمد العديد من هذه التقنيات على النظام العشري أو تستفيد منه .

تُعدّ سعة الذاكرة قصيرة المدى عاملاً ضرورياً لاكتساب عملية حسابية بنجاح، [ 2 ] وتحديداً ربما، الحلقة الصوتية ، في سياق عمليات الجمع (فقط). [ 3 ] تُسهم المرونة الذهنية في احتمالية إتمام الجهد الذهني بنجاح، وهو مفهوم يُمثل الاستخدام التكيفي للمعرفة بقواعد أو طرق ارتباط أي عدد بأي عدد آخر، وكيفية ارتباط أعداد متعددة بشكل هادف، وأنماط عددية معينة (أي أنماط) ، بالإضافة إلى معالجة الخوارزميات . [ 4 ]

خلال القرن الثامن عشر، تبيّن أن الأطفال ذوي القدرات العقلية الفائقة في الحساب إما أن يصبحوا علماء و/أو رياضيين بارعين وناجحين للغاية، أو على النقيض من ذلك، يعانون من إعاقة ذهنية . [ 5 ] يُطلق على الأشخاص الذين يتمتعون بسرعة غير عادية في إجراء العمليات الحسابية الذهنية بدقة وموثوقية، حتى وإن كانت ذات تعقيد كافٍ، لقب العباقرة أو الفذين . [ 6 ] وبالمثل، في بعض السياقات وفي بعض الأوقات، يُعرف هذا الشخص الاستثنائي باسم " الحاسب السريع " أو " العبقري" . [ 7 ]

أظهرت دراسة استقصائية أجريت على أطفال في إنجلترا أن التصور الذهني يُستخدم في العمليات الحسابية الذهنية. [ 8 ] وباستخدام التصوير العصبي ، وُجد أن نشاط الدماغ في الفصوص الجدارية من نصف الكرة المخية الأيمن مرتبط بالتصور الذهني. [ 9 ]

يمكن أن يكون تدريس الحساب الذهني عنصراً من عناصر التعليم المدرسي ، مع التركيز في بعض السياقات التعليمية على الاستراتيجيات الذهنية. [ 10 ] [ 11 ]

قدرة حسابية استثنائية

ومن القدرات الاستثنائية إجراء العمليات الحسابية الذهنية مثل جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة الأعداد الكبيرة.

كان وجود حاسبين ماهرين ضروريًا في مراكز الأبحاث مثل سيرن قبل ظهور الآلات الحاسبة الإلكترونية والحواسيب الحديثة. انظر، على سبيل المثال، كتاب ستيفن ب. سميث الصادر عام 1983 بعنوان " الحاسبون الذهنيون العظماء" ، أو كتاب " شخصيات مخفية" الصادر عام 2016 [ 12 ] والفيلم المقتبس منه .

المسابقات

كأس العالم

كأس العالم للحساب الذهني هي مسابقة دولية تهدف إلى اختيار أفضل حاسب ذهني في العالم، وأفضل حاسب في أنواع محددة من العمليات الحسابية الذهنية، كالجمع والضرب والجذر التربيعي وحساب التقويم. أُقيمت أول بطولة لكأس العالم للحساب الذهني [ 13 ] عام 2004. وهي مسابقة حضورية تُقام كل عامين في ألمانيا. تتألف من أربع مهام قياسية مختلفة: جمع عشرة أعداد مكونة من عشرة أرقام، وضرب عددين مكونين من ثمانية أرقام، وحساب الجذر التربيعي، وحساب أيام الأسبوع لتواريخ محددة، بالإضافة إلى مجموعة متنوعة من المهام "المفاجئة". [ 13 ] نُظمت النسخة الأخيرة في سبتمبر 2024، وفاز بها آريان نيتين شوكلا ، الذي دافع بنجاح عن لقبه ليصبح بطل العالم للمرة الثانية.

أولمبياد الحساب الذهني والقراءة السريعة

تنظم أولمبياد الألعاب الذهنية بطولات عالمية سنوية منذ عام 1998 .

ميمورياد - ذاكرة العالم

أُقيمت أول مسابقة دولية في الحساب الذهني [ 14 ] في إسطنبول ، تركيا، عام 2008. وأُقيمت المسابقة الثانية في أنطاليا ، تركيا، في الفترة من 24 إلى 25 نوفمبر 2012، بمشاركة 89 متسابقًا من 20 دولة. وقُدّمت جوائز مالية وعينية لعشر فئات، منها خمس فئات متعلقة بالحساب الذهني (الجمع الذهني، والضرب الذهني، والجذور التربيعية الذهنية (لغير الأعداد الصحيحة)، وحساب تواريخ التقويم الذهني، والإنزان السريع). أما المسابقة الثالثة، فقد أُقيمت في لاس فيغاس، الولايات المتحدة الأمريكية، في الفترة من 8 إلى 10 نوفمبر 2016.

منظمة الرياضات الذهنية

تُقرّ منظمة الرياضات الذهنية بستة أساتذة كبار في الحساب الذهني: روبرت فاونتين (1999)، وجورج لين (2001)، وجيرت ميترينج (2005)، وكريس براينت (2017)، ووينزل غروس (2019)، وكالويان غيشيف (2022)، بالإضافة إلى أستاذ دولي واحد هو آندي روبرتشو (2008). وفي عام 2021، أصبح آريان نيتين شوكلا أصغر بطل على الإطلاق، إذ لم يتجاوز عمره 11 عامًا.

الأرقام القياسية العالمية

كثيراً ما ذُكر اسم شاكونتالا ديفي من الهند في موسوعة غينيس للأرقام القياسية . ويحمل آريان نيتين شوكلا من الهند حالياً تسعة أرقام قياسية في موسوعة غينيس في مختلف مجالات الحساب الذهني . كما ذُكر اسم نيلاكانثا بهانو براكاش من الهند أيضاً في موسوعة ليمكا للأرقام القياسية لتجاوزه سرعة الآلة الحاسبة. [ 15 ] أما الفنان السريلانكي الماليزي ياشوين ساراوانان، فقد حاز على المركز الثاني في برنامج "مواهب آسيا" عام 2019 .

الجذر الثالث عشر

يُعدّ استخراج الجذر الثالث عشر لعددٍ ما فئةً شهيرةً في سباقات الأرقام القياسية العالمية للحساب الذهني . ويتمثل التحدي في إعطاء عددٍ كاملٍ كبيرٍ مرفوعٍ للأس الثالث عشر (قد يتجاوز مئة رقم)، ثم يُطلب من المُتسابق إيجاد العدد الذي إذا رُفع إلى الأس الثالث عشر يُساوي العدد المُعطى. على سبيل المثال، الجذر الثالث عشر للعدد 8192 هو 2، والجذر الثالث عشر للعدد 96889010407 هو 7.

يتميز استخراج الجذر الثالث عشر بخصائص معينة. منها أن الجذر الثالث عشر لعدد ما أصغر بكثير: إذ يحتوي على ما يقارب 1/13 من عدد أرقامه. وبالتالي، فإن الجذر الثالث عشر لعدد مكون من 100 رقم يحتوي على 8 أرقام فقط [ 16 ] ، بينما يحتوي الجذر الثالث عشر لعدد مكون من 200 رقم على 16 رقمًا. علاوة على ذلك، فإن الرقم الأخير من الجذر الثالث عشر هو نفسه دائمًا الرقم الأخير من الأس. [ 16 ] يوجد 7,992,563 احتمالًا للجذر الثالث عشر لعدد مكون من 100 رقم، ضمن النطاق من 41,246,264 إلى 49,238,826. وتُعتبر هذه العملية حسابًا سهلًا نسبيًا. يوجد 393,544,396,177,593 احتمالاً، ضمن النطاق من 2,030,917,620,904,736 إلى 2,424,462,017,082,328، للجذر الثالث عشر لعدد مكون من 200 رقم. ويُعتبر هذا حساباً معقداً.

أرقام مكونة من 100 رقم

نشرت موسوعة غينيس للأرقام القياسية أرقامًا قياسية لاستخراج الجذر الثالث عشر لعدد مكون من 100 رقم. [ 16 ] جميع الأرقام القياسية العالمية لاستخراج الجذر الثالث عشر ذهنيًا كانت لأعداد ذات جذر صحيح.

  • كان أول رقم قياسي 23 دقيقة بواسطة هربرت ب. دي غروت (المكسيك) في 5 أكتوبر 1970. [ 16 ]
  • في عام 1981، سجل ويم كلاين (هولندا) رقماً قياسياً بلغ 88.8 ثانية في المختبر الوطني لفيزياء الطاقة العالية في تسوكوبا، اليابان. [ 17 ] : 356
  • قام جيرت ميترينج بحسابها في 39 ثانية.
  • حطم ألكسيس لومير هذا الرقم القياسي بزمن قدره 13.55 ثانية في عام 2002. [ 18 ] وهذا هو آخر رقم قياسي عالمي رسمي لاستخراج الجذر الثالث عشر لعدد مكون من 100 رقم. [ 19 ]
  • حاول ميترينغ كسر هذا الرقم القياسي بزمن قدره 11.8 ثانية في نوفمبر 2004. ومع ذلك، لم يُحتسب هذا الرقم رسميًا لأن موسوعة غينيس للأرقام القياسية توقفت عن الاعتراف بالأرقام القياسية لاستخراج جذور الأرقام العشوائية، نظرًا لصعوبة توحيد معايير التحدي. [ 18 ]
  • حطم لومير هذا الرقم القياسي بشكل غير رسمي 6 مرات، مرتين في غضون 4 ثوانٍ: وكان أفضلها 3.625 ثانية في ديسمبر 2004. [ 20 ]

أرقام مكونة من 200 رقم

كما سجل لومير أول رقم قياسي عالمي للجذر الثالث عشر لعدد مكون من 200 رقم: 513.55 ثانية و742 محاولة في 6 أبريل 2005، وحطمه بزمن قدره 267.77 ثانية و577 محاولة في 3 يونيو 2005. [ 20 ] [ 21 ]

  • وفي نفس اليوم، سجل لومير أيضاً أمام شهود رسميين رقماً قياسياً غير رسمي بلغ 113 ثانية و40 محاولة.
  • في 27 فبراير 2007، سجل رقماً قياسياً عالمياً بلغ دقيقة واحدة و47 ثانية
  • وقد حطم هذا الرقم القياسي في 24 يوليو 2007، بزمن قدره دقيقة واحدة و17 ثانية (77.99 ثانية) في متحف تاريخ العلوم بجامعة أكسفورد، المملكة المتحدة. [ 22 ]
  • حطم لومير رقمه القياسي في 15 نوفمبر 2007، بزمن قدره 72.4 ثانية
  • حطم لومير رقمه القياسي في 10 ديسمبر 2007، بزمن قدره 70.2 ثانية

وسائط

أدبي

  • في رواية فرانك هربرت " الكثيب" ، استُبدلت الحواسيب الميكانيكية تمامًا بآلات حاسبة ذهنية مدربة تدريبًا خاصًا تُعرف باسم "المنتات" . العديد من الشخصيات الثانوية المهمة في الرواية، ولا سيما بيتر دي فريس وثوفير هوات ، هم من "المنتات". دُرِّب بول أتريدس في الأصل كواحد منهم دون علمه. مع ذلك، لا يتخصص هؤلاء "المنتات" في العمليات الحسابية، بل في استرجاع أنواع مختلفة من البيانات بشكل كامل. على سبيل المثال، يستطيع ثوفير هوات سرد تفاصيل عملية تعدين، بما في ذلك عدد المعدات المختلفة، والعمال الذين يشغلونها، والأرباح والتكاليف المترتبة عليها، وما إلى ذلك. في الرواية، لا يُصوَّر أبدًا وهو يُجري عمليات حسابية أكاديمية فعلية. قُدِّرت قيمة "المنتات" لقدرتهم، كبشر، على تخزين البيانات، لأن "الآلات المفكرة" محظورة.
  • في رواية ماتيلدا للكاتب روالد دال ، تُصوَّر الشخصية الرئيسية بمهارات حسابية استثنائية، إذ تحسب ربح والدها دون الحاجة إلى استخدام الورق. خلال الحصة الدراسية (فهي طالبة في السنة الأولى من المرحلة الابتدائية)، تُجري مسائل ضرب الأعداد الكبيرة ذهنيًا بسرعة فائقة.
  • أندرو جاكسون "سليبستيك" ليبي هو عبقري بارع في الحساب في قصة الخيال العلمي " أبناء متوشلخ" لروبرت أ. هاينلاين .
  • في رواية هاروكي موراكامي "أرض العجائب القاسية ونهاية العالم" ، تقوم فئة من الحاسبين العقليين المعروفين باسم "كالكوتكس " بإجراء عمليات التشفير في جزء مغلق من أدمغتهم، ولا يمكنهم الوصول إلى نتائجها من وعيهم الطبيعي أثناء اليقظة.

فيلم

خيالي

القرن العشرين
ثمانينيات القرن العشرين
  • في فيلم " رجل المطر" الذي صدر عام 1988 ، يستطيع ريموند بابيت، وهو رجل مصاب بالتوحد ومتلازمة العبقري ، إجراء حسابات ذهنية لأعداد كبيرة، من بين قدرات أخرى.
التسعينيات
  • في فيلم "ليتل مان تيت" الذي صدر عام 1991 ، قام فريد تيت، أحد الحضور، بإعطاء الإجابة بشكل مفاجئ أثناء مسابقة حساب ذهني.
  • في فيلم الخيال العلمي والإثارة "كيوب" الذي صدر عام 1997 ، أحد السجناء، كازان، يعاني من إعاقة عقلية، ويتضح لاحقًا أنه عبقري قادر على حساب العوامل الأولية في رأسه.
  • في فيلم دارين أرونوفسكي " باي" عام 1998 ، يُطلب من ماكسيميليان كوهين عدة مرات من قبل طفل صغير يحمل آلة حاسبة أن يقوم بعمليات ضرب وقسمة كبيرة في رأسه، وهو ما يفعله على الفور وبشكل صحيح.
  • في فيلم "ميركوري رايزينغ" عام 1998 ، قام طفل يبلغ من العمر 9 سنوات مصاب بالتوحد ولديه قدرات رياضية هائلة بفك شفرة حكومية سرية للغاية .
القرن الحادي والعشرون
العقد الأول من القرن الحادي والعشرين
  • في فيلم Stranger than Fiction الذي صدر عام 2006 ، يتمكن الشخصية الرئيسية، هارولد كريك، من إجراء عمليات حسابية سريعة بناءً على طلب زملائه في العمل.
العقد الثاني من القرن الحادي والعشرين
  • في فيلم Safe الذي صدر عام 2012 ، يتم اختطاف طفلة عبقرية في الرياضيات لاستخدامها من قبل عصابة الترياد الصينية.
  • في فيلم "المحاسب" الذي صدر عام 2016 ، يجسد كريستيان وولف شخصية رجل مصاب بالتوحد يتمتع بقدرات عالية، ويتتبع عمليات الخداع المالي الداخلي للعديد من المنظمات الإجرامية.
  • في فيلم Gifted لعام 2017 ، تصبح ماري أدلر، وهي طفلة موهوبة فكرياً تبلغ من العمر سبع سنوات، موضوع معركة حضانة بين عمها وجدتها.

السيرة الذاتية

تلفزيون

  • في مسلسل الدراما القانونية Suits الذي يُعرض على شبكة USA Network ، يُطلب من الشخصية الرئيسية، مايك روس، ضرب أعداد كبيرة جدًا في رأسه لإثارة إعجاب فتاتين، ويفعل ذلك لاحقًا.
  • في مسلسل فوكس التلفزيوني مالكولم في الوسط ، يُظهر مالكولم ويلكرسون قدرات مذهلة في الحساب الذهني التلقائي، مما يجعله يخشى أن تنظر إليه عائلته على أنه "غريب الأطوار"، ويدفع شقيقه إلى السؤال: "هل مالكولم روبوت؟".
  • في المسلسل الكوميدي التلفزيوني NewsRadio الذي عُرض على قناة NBC في التسعينيات ، تستطيع المراسلة/المنتجة ليزا ميلر حساب المنتجات والقسمة والجذور التربيعية ذهنياً بسهولة وفوراً تقريباً، عند الطلب.
  • في المسلسل الكوميدي "نظرية الانفجار العظيم" الذي عُرض عام 2007 ، يقوم الشخصية الرئيسية، شيلدون كوبر ، بحساب الأرقام والحلول في رأسه لأبحاثه في الفيزياء النظرية.
  • في مسلسل Breaking Bad الذي عُرض عام 2008 ، يظهر أن الشخصية الرئيسية، والتر وايت ، يقوم بحساب معظم الأرقام المتعلقة بصفقاته، مثل الربح وتكاليف الإنتاج، بشكل كامل في رأسه.
  • في مسلسل "فرينج" الذي يُعرض على قناة فوكس، وتحديدًا في الحلقة الثالثة من الموسم الثالث، تلتقي أوليفيا وزملاؤها في فرقة "فرينج" بشخص يعاني من ضعف إدراكي حاد، وقد خضع لتجربة منشطات ذهنية، ما جعله عبقريًا في الرياضيات. يستطيع هذا الشخص حساب مئات المعادلات في آنٍ واحد، ويستغل هذه الميزة لتجنب العودة إلى حالته السابقة من الضعف الإدراكي.
  • في المسلسل التلفزيوني Scorpion لعام 2014 ، تم وصف سيلفستر دود بأنه عالم رياضيات وإحصائي موهوب بمعدل ذكاء يبلغ 175؛ ووصف بأنه "آلة حاسبة بشرية".

الرسوم المتحركة

في فيلم الرسوم المتحركة الياباني " حروب الصيف" (2009) ، يتمكن البطل، العبقري الرياضي كينجي كويزو، من فك رموز التشفير الرياضية البحتة التي يولدها نظام الأمان في العالم الافتراضي "أوز" ذهنياً. كما يستطيع حساب يوم ميلاد أي شخص ذهنياً بناءً على تاريخ ميلاده.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  1. ↑ أليستير ماكنتوش (2004). الحوسبة الذهنية: منهج الاستراتيجيات (ملف PDF) . جامعة تسمانيا : وزارة التربية والتعليم. ISBN 1920865209.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )
  2. ↑ هوب، جون ألفريد (1984). خصائص الحاسبين الذهنيين غير المهرة والمهرة والمهرة للغاية (أطروحة). جامعة كولومبيا البريطانية . doi : 10.14288/1.0096641 .
  3. ↑ نويل، ماري-باسكال؛ ديزير، ميشيل؛ أوبرون، آن؛ سيرون، كزافييه (يناير 2001). "مشاركة الذاكرة قصيرة المدى في العمليات الحسابية الذهنية المعقدة". الذاكرة والإدراك . 29 (1): 34-42 . doi : 10.3758/BF03195738 . PMID 11277462 . 
  4. ↑ تيمو فلوكيجر؛ إليزابيث راثجيب-شنييرر (فبراير 2022). "استيعاب المرونة في الحساب الذهني" . دراسات تربوية في الرياضيات . 50. المؤتمر الثاني عشر للجمعية الأوروبية لأبحاث تعليم الرياضيات (CERME12): HAL : 29-47 . doi : 10.1023/A:1020572803437 – عبر جون ثريلفال. الحساب الذهني المرن doi:10.1023/A:1020572803437.
  5. ↑ كلاوسون، سي سي (1994). "الآلات الحاسبة العبقرية". المسافر الرياضي . سبرينغر. ص 233-246 . doi : 10.1007/978-1-4899-6014-6_14 . ISBN  978-0-306-44645-0.
  6. ↑ فير، ثورستن؛ ويبر، يوشين؛ ويلمس، كلاوس؛ هيرمان، مانفريد (أبريل 2010). "الارتباطات العصبية في الحساب الذهني الاستثنائي - حول البنية العصبية للمهارات الخارقة". علم النفس العصبي . 48 (5): 1407-1416 . doi : 10.1016/j.neuropsychologia.2010.01.007 . PMID 20079753 . 
  7. ↑ بوسفيلد، واشنطن؛ باري الابن، هـ. (أبريل 1933). "التصوير البصري لآلة حاسبة البرق" . المجلة الأمريكية لعلم النفس . 45 (2). مطبعة جامعة إلينوي : JSTOR : 233. doi : 10.2307/1414296 . JSTOR 1414296 . 
  8. ↑ كريس بيلز؛ إيدي غراي. " استخدام الصور الذهنية في الحساب الذهني " (ملف PDF) . مركز معلومات موارد التعليم . جامعة وارويك : معهد علوم التربية . ص 97. من الواضح أن هؤلاء الأطفال قد أظهروا تفضيلًا للصور البصرية الملموسة أو المجردة في سياقات الحساب وغير الحساب على حد سواء. 
  9. ↑ أوبويل، مايكل و. وآخرون (أكتوبر 2005). "ينشط المراهقون الذكور الموهوبون رياضياً شبكة دماغية فريدة أثناء التدوير الذهني". أبحاث الدماغ الإدراكي . 25 (2): 583-587 . doi : 10.1016/j.cogbrainres.2005.08.004 . PMID 16150579 .  
  10. ↑ تومسون، إيان (نوفمبر 1999). "استراتيجيات الحساب الذهني للجمع والطرح. الجزء 1" . الرياضيات في المدرسة . 28 (5): 2-4 . JSTOR 30215422 . 
  11. ^ جاركون ، مانويل. علي، ماوريتسيو؛ كروز، روزميري. نيكار ، نثنائيل (2023/05/21). "الحساب الذهني والمهارات الرياضية في المدرسة الابتدائية. منظور مقارن بين نظامين تعليميين ما بعد الاستعمار: المارتينيك والسنغال" . Giornale Italiano di Educazione alla Salute, Sport e Didattica Inclusiva . 7 (2). دوى : 10.32043/gsd.v7i2.877 .
  12. ↑ شيتيرلي، مارغوت لي (2016). شخصيات خفية: الحلم الأمريكي والقصة غير المروية للنساء السوداوات اللواتي ساهمن في الفوز بسباق الفضاء . دار ويليام مورو وشركاه . 115 صفحة . ISBN  978-0062363596كانت بعض النساء قادرات على إجراء عمليات حسابية ذهنية فائقة السرعة، تنافس آلاتهن الحاسبة الميكانيكية في السرعة والدقة. بينما امتلكت أخريات ، مثل دوروثي هوفر ودوريس كوهين، فهمًا عميقًا للرياضيات النظرية، حيث كنّ يحللن المعادلات المعقدة بدقة متناهية، حتى في صفحات طويلة، دون أدنى خطأ في الإشارة. وقد برزت أفضل النساء بفضل دقتهن وسرعتهن وبصيرتهن.
  13. 1 2 "كأس العالم للحساب الذهني - بطولة العالم للحاسبين الذهنيين" . www.recordholders.org .
  14. ↑ ميمورياد - أولمبياد العقل العالمي
  15. ↑ أدكي، آرتي (6 مايو 2019). "أحب أن أكون أسرع من أي شخص آخر، هانز إنديا، مايو 2019" . مؤرشف من الأصل في 9 ديسمبر 2020. تم الاطلاع عليه في 17 أغسطس 2020 .
  16. 1 2 3 4 سميث، ستيفن برادلي (1983). العقول الحاسبة العظيمة: سيكولوجية وأساليب وحياة العباقرة في الحساب، الماضي والحاضر . نيويورك: مطبعة جامعة كولومبيا. ص 129. ISBN  0231056419.
  17. ↑ هوب، جاك أ. (نوفمبر 1985). "كشف أسرار الحساب الذهني للخبراء". دراسات تربوية في الرياضيات . 16 (4): 355-374 . doi : 10.1007/BF00417192 . JSTOR 3482445 . 
  18. 1 2 "المجد لملك المهووسين" . أخبار سي بي إس . 24 نوفمبر 2004. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 مايو 2008 .
  19. ↑ ماكورا، فيكتور ك.؛ وايسشتاين، إريك و. "الجذر الثالث عشر" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 14 مايو 2025 .
  20. 1 2 بريمنر، تشارلز (2005-04-08). "ما هو الجذر الثالث عشر لـ ... 836894668823695693983732866222 5645224726780466493836677 497357558157303507570408962 528802385783156837680293 493820105634336385559593151415 04151494907094190977044493 0566026840277186962415568 8082648640933؟" صحيفة التايمز ، لندن. مؤرشفة من الأصل بتاريخ 8 فبراير 2007. تم الاطلاع عليها بتاريخ 15 مايو 2008 .
  21. ↑ بهاتاشارجي، يوديجيت (17 يونيو 2005). "معالم بارزة". مجلة ساينس . 308 (5729): 1739. doi : 10.1126/science.308.5729.1739a .
  22. ↑ "كيف يقوم الإنسان بالحساب؟" . مجلة بي بي سي الإخبارية . 30 يوليو 2007. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 مايو 2025 .

للمزيد من القراءة

  • فرانك د. ميتشل، "عباقرة الرياضيات"، المجلة الأمريكية لعلم النفس، المجلد 18، العدد 1 (يناير 1907)، الصفحات  61-143 JSTOR 1412172 (وصول مجاني)