المعكوس الجمعي

في الرياضيات، المعكوس الجمعي للعنصر x ، ويرمز له بـ −x ، ^{[ 1 ]} هو العنصر الذي عند إضافته إلى x ينتج عنه العنصر المحايد الجمعي . ^{[ 2 ]} غالبًا ما يكون هذا العنصر المحايد الجمعي هو العدد 0 (صفر) ، ولكنه قد يشير أيضًا إلى عنصر صفري أكثر عمومية .

في الرياضيات الابتدائية ، يُشار إلى المعكوس الجمعي غالبًا بالعدد المقابل ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} أو سالب العدد. ^{[ 5 ]} ترتبط عملية النفي الحسابي الأحادية [6] ارتباطًا وثيقًا بالطرح [ 7 ] ^{وهي مهمة في} حل ^{المعادلات الجبرية .} [ 8 ] ^{لا تمتلك جميع} المجموعات التي يُعرَّف فيها الجمع معكوسًا جمعيًا، مثل الأعداد الطبيعية . ^{[ 9 ]}

عند التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة ، يمكن إيجاد المعكوس الجمعي لأي عدد عن طريق ضربه في -1 . ^{[ 8 ]}

حالات بسيطة من المعكوسات الجمعية

${\displaystyle n}$	${\displaystyle -n}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle -7}$
${\displaystyle 0.35}$	${\displaystyle -0.35}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle -\pi }$
${\displaystyle 1+2i}$	${\displaystyle -1-2i}$

ويمكن أيضًا توسيع هذا المفهوم ليشمل التعبيرات الجبرية، والتي غالبًا ما تستخدم عند موازنة المعادلات .

المعكوسات الجمعية للتعبيرات الجبرية

${\displaystyle n}$	${\displaystyle -n}$
${\displaystyle ab}$	${\displaystyle -(ab)=-a+b}$
${\displaystyle 2x^{2}+5}$	${\displaystyle -(2x^{2}+5)=-2x^{2}-5}$
${\displaystyle {\frac {1}{x+2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x+2}}}$
${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin {\theta }-{\sqrt {3}}\cos {2\theta }}$	${\displaystyle -({\sqrt {2}}\sin {\theta }-{\sqrt {3}}\cos {2\theta })=-{\sqrt {2}}\sin {\theta }+{\sqrt {3}}\cos {2\theta }}$

يرتبط المعكوس الجمعي ارتباطًا وثيقًا بالطرح ، والذي يمكن اعتباره عملية جمع باستخدام المعكوس:

أ - ب = أ + (- ب ) .

وعلى العكس من ذلك، يمكن اعتبار المعكوس الجمعي بمثابة طرح من الصفر:

− أ = 0 − أ .

أدى هذا الارتباط إلى استخدام علامة السالب للدلالة على كلٍّ من المقادير المتعاكسة والطرح منذ القرن السابع عشر. ورغم أن هذه الطريقة شائعة اليوم، إلا أنها قوبلت بمعارضة في ذلك الوقت، إذ رأى بعض علماء الرياضيات أنها قد تكون غامضة وتؤدي إلى أخطاء. ^{[ 10 ]}

بالنظر إلى بنية جبرية معرفة تحت الجمع${\displaystyle (S,+)}$بهوية إضافية${\displaystyle e\in S}$عنصر${\displaystyle x\in S}$له معكوس جمعي${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle y\in S}$،${\displaystyle x+y=e}$، و${\displaystyle y+x=e}$[ ^{9 ]​}

يُستخدم مصطلح الجمع عادةً للإشارة إلى عملية تبديلية فقط ، ولكن في بعض أنظمة الأرقام، مثل نظام الفاصلة العائمة ، قد لا يكون الجمع تجميعيًا . ^{[ 11 ]} عندما يكون تجميعيًا، فإن${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$في حالة عدم وجود عملية تجميعية، فإن المعكوسين الأيسر والأيمن سيتفقان، وسيكون المعكوس الجمعي فريدًا. أما في الحالات غير التجميعية، فقد يختلف المعكوسان الأيسر والأيمن، وفي هذه الحالة، لا يُعتبر المعكوس موجودًا.

يتطلب التعريف الإغلاق ، أي أن العنصر الإضافي${\displaystyle y}$يمكن العثور عليها في${\displaystyle S}$ومع ذلك، على الرغم من إمكانية جمع الأعداد الطبيعية، فإن مجموعة الأعداد الطبيعية لا تشمل القيم المعكوسة الجمعية. وذلك لأن المعكوس الجمعي لعدد طبيعي (مثلاً،${\displaystyle -3}$ل${\displaystyle 3}$) ليس عددًا طبيعيًا؛ إنه عدد صحيح . لذلك، فإن الأعداد الطبيعية في المجموعة${\displaystyle S}$لها معكوسات جمعية ومعكوساتها المرتبطة بها هي أعداد سالبة .

• في الفضاء المتجهي ، يكون للمتجه العكسي الجمعي − v (والذي يُطلق عليه غالبًا المتجه المعاكس لـ v ) نفس مقدار v ولكن باتجاه معاكس. ^{[ 12 ]}
• في الحساب النمطي ، المعكوس الجمعي النمطي للعدد x هو العدد a الذي يحقق الشرط a + x ≡ 0 (mod n ) ، وهو معكوس موجود دائمًا. على سبيل المثال، معكوس 3 بتردد 11 هو 8، لأن 3 + 8 ≡ 0 (mod 11) . ^{[ 13 ]}
• في حلقة منطقية ، والتي تحتوي على عناصر${\displaystyle \{0,1\}}$غالباً ما يُعرَّف الجمع بأنه الفرق المتناظر .${\displaystyle 0+0=0}$،${\displaystyle 0+1=1}$،${\displaystyle 1+0=1}$، و${\displaystyle 1+1=0}$العنصر المحايد الجمعي لدينا هو 0، وكلا العنصرين هما معكوسهما الجمعي الخاص بهما.${\displaystyle 0+0=0}$و${\displaystyle 1+1=0}$[ ^{14 ]​}

• القيمة المطلقة (مرتبطة من خلال المتطابقة |− x | = | x | ).
• العنصر العكسي
• الدالة العكسية
• الالتفاف (الرياضيات)
• أحادي
• المعكوس الضربي
• الانعكاس (الرياضيات)
• تناظر الانعكاس
• شبه مجموعة