حقل مرتب غير أرخميدسي

في الرياضيات ، الحقل المرتب غير الأرخميدي هو حقل مرتب لا يحقق خاصية أرخميدس . تحتوي هذه الحقول على عناصر متناهية الصغر وعناصر لا نهائية الكبر، مُعرَّفة تعريفًا مناسبًا.

لنفترض أن F حقل مرتب . نقول إن F يحقق خاصية أرخميدس إذا كان لكل عنصرين موجبين x و y من F ، يوجد عدد طبيعي n بحيث يكون nx > y . هنا، يرمز n إلى عنصر الحقل الناتج عن تكوين مجموع n نسخة من عنصر الحقل 1 ، بحيث يكون nx هو مجموع n نسخة من x .

الحقل المرتب الذي لا يحقق خاصية أرخميدس هو حقل مرتب غير أرخميدس.

إن حقول الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية ، بترتيباتها المعتادة، تحقق خاصية أرخميدس.

أمثلة على الحقول المرتبة غير الأرخميدية هي حقل ليفي-سيفيتا ، والأعداد الحقيقية الفائقة ، والأعداد السريالية ، وحقل ديهن ، وحقل الدوال الكسرية ذات المعاملات الحقيقية (حيث نعرّف f > g بمعنى أن f ( t )> g ( t ) لـ t كبير بما فيه الكفاية ).

في حقل مرتب غير أرخميدسي، يمكننا إيجاد عنصرين موجبين x و y بحيث يكون لكل عدد طبيعي n ، nx ≤ y . هذا يعني أن العنصر الموجب y / x أكبر من كل عدد طبيعي n (لذا فهو "عنصر لانهائي")، وأن العنصر الموجب x / y أصغر من 1/ n لكل عدد طبيعي n (لذا فهو "عنصر متناهي الصغر").

وعلى العكس من ذلك، إذا احتوى حقل مرتب على عنصر لانهائي أو متناهي الصغر بهذا المعنى، فإنه يكون حقلاً مرتباً غير أرخميدسي.

تُستخدم الحقول الحقيقية الفائقة ، وهي حقول مرتبة غير أرخميدية تحتوي على الأعداد الحقيقية كحقل فرعي، لتوفير أساس رياضي للتحليل غير القياسي .

استخدم ماكس دين حقل دين ، وهو مثال على حقل مرتب غير أرخميدسي، لإنشاء هندسات غير إقليدية لا تكون فيها مسلمة التوازي صحيحة ولكن مع ذلك فإن المثلثات لها زوايا مجموعها π . ^{[ 1 ]}

حقل الدوال الكسرية على${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن استخدام هذه الطريقة لإنشاء حقل مرتب كامل كوشي (بمعنى تقارب متتابعات كوشي) ولكنه ليس حقل الأعداد الحقيقية. ^{[ 2 ]} يمكن وصف هذا الإكمال بأنه حقل متسلسلات لوران الرسمية على${\displaystyle \mathbb {R} }$هو حقل مرتب غير أرخميدسي. يُستخدم مصطلح "كامل" أحيانًا للدلالة على تحقق خاصية الحد الأعلى الأدنى ، أي اكتمال ديديكيند . لا توجد حقول مرتبة غير أرخميدسية كاملة ديديكيند. يُعدّ التمييز الدقيق بين هذين الاستخدامين لكلمة "كامل" مصدرًا للالتباس أحيانًا.