الحقل المرتب

في الرياضيات ، الحقل المرتب هو حقلٌ مع ترتيبٍ كلي لعناصره يتوافق مع عمليات الحقل. ومن الأمثلة الأساسية على الحقول المرتبة الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية ، وكلاهما بترتيبهما القياسي.

كل حقل جزئي من حقل مرتب هو أيضًا حقل مرتب بالترتيب الموروث. يحتوي كل حقل مرتب على حقل جزئي مرتب متماثل مع الأعداد النسبية . كل حقل مرتب كامل من نوع ديديكيند متماثل مع الأعداد الحقيقية. المربعات غير سالبة بالضرورة في أي حقل مرتب. هذا يعني أن الأعداد المركبة لا يمكن ترتيبها لأن مربع الوحدة التخيلية i يساوي -1 (وهو سالب في أي حقل مرتب). لا يمكن ترتيب الحقول المنتهية .

تاريخياً، تم استخلاص بديهيات الحقل المرتب تدريجياً من الأعداد الحقيقية، على يد علماء رياضيات من بينهم ديفيد هيلبرت وأوتو هولدر وهانز هان . وقد تطور هذا في النهاية إلى نظرية آرتين-شراير للحقول المرتبة والحقول الحقيقية شكلياً .

يوجد تعريفان شائعان متكافئان للحقل المرتب. ظهر تعريف الترتيب الكلي أولاً تاريخياً، وهو عبارة عن بديهية من الدرجة الأولى للترتيب.${\displaystyle \leq }$كصفة ثنائية . قدّم آرتين وشراير التعريف بدلالة المخروط الموجب عام ١٩٢٦، والذي يُؤَسِّس المجموعة الفرعية من العناصر غير السالبة. على الرغم من أن هذا الأخير ذو رتبة أعلى، فإن اعتبار المخاريط الموجبة مخاريط ما قبل موجبة قصوى يُوفِّر سياقًا أوسع تكون فيه ترتيبات الحقول ترتيبات جزئية قصوى .

أمثلة على الحقول المرتبة هي:

• الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية بترتيبها القياسي (وهو أيضاً ترتيبها الوحيد)؛
• الحقل${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية بترتيبها القياسي (وهو أيضاً ترتيبها الوحيد)؛
• أي حقل فرعي من حقل مرتب، مثل الأعداد الجبرية الحقيقية أو الأعداد القابلة للحساب ، يصبح حقلاً مرتباً عن طريق تقييد الترتيب على الحقل الفرعي؛
• الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$من الدوال الكسرية${\displaystyle p(x)/q(x)}$، أين${\displaystyle p(x)}$و${\displaystyle q(x)}$هي كثيرات حدود ذات معاملات نسبية و${\displaystyle q(x)\neq 0}$يمكن تحويلها إلى حقل مرتب عن طريق تثبيت عدد حقيقي متسامٍ${\displaystyle \alpha }$وتحديد${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$هذا يعادل التضمين${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} }$عبر${\displaystyle x\mapsto \alpha }$وتقييد ترتيب${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى ترتيب صورة${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$وبهذه الطريقة، نحصل على العديد من الترتيبات المختلفة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$.
• الحقل${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$من الدوال الكسرية${\displaystyle p(x)/q(x)}$، أين${\displaystyle p(x)}$و${\displaystyle q(x)}$هي كثيرات حدود ذات معاملات حقيقية و${\displaystyle q(x)\neq 0}$يمكن تحويلها إلى حقل مُرتب عن طريق تعريف${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$بمعنى أن${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$، أين${\displaystyle p_{n}\neq 0}$و${\displaystyle q_{m}\neq 0}$هي المعاملات الرئيسية لـ${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$و${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$على التوالي. أو بصورة مكافئة: بالنسبة للدوال الكسرية${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$لدينا${\displaystyle f(x)<g(x)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(t)<g(t)}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$في هذا الحقل المرتب، تكون متعددة الحدود${\displaystyle p(x)=x}$أكبر من أي متعدد حدود ثابت والحقل المرتب ليس أرخميديًا .
• المجال${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$من متسلسلات لوران الرسمية ذات المعاملات الحقيقية، حيث يُؤخذ x كمتناهي الصغر وموجب.
• المسلسل المتحول
• حقول مغلقة حقيقية
• الأعداد الخارقة للواقع
• الأعداد الحقيقية الفائقة

تشكل الأعداد السريالية فئةً حقيقيةً وليست مجموعةً ، ولكنها تخضع لبديهيات الحقل المرتب. ويمكن تضمين أي حقل مرتب في الأعداد السريالية.

لكل a و b و c و d في F :

• إما − a ≤ 0 ≤ a أو a ≤ 0 ≤ − a .
• يمكن للمرء "إضافة المتباينات": إذا كان a ≤ b و c ≤ d ، فإن a + c ≤ b + d .
• يمكن للمرء "ضرب المتباينات ذات العناصر الموجبة": إذا كان a ≤ b و 0 ≤ c ، فإن ac ≤ bc .
• "الضرب بالأعداد السالبة يقلب المتباينة": إذا كان a ≤ b و c ≤ 0، فإن ac ≥ bc .
• إذا كان a < b و a و b > 0، فإن 1/ b < 1/ a .
• المربعات غير سالبة: 0 ≤ a² لكل a في F. وبالتحديد، بما أن 1 = 1/2 ^، فإن 0 ≤ 1. وبما أن 0 ≠ 1، نستنتج أن 0 < 1 ^.
• الحقل المرتب له خاصية 0. (بما أن 1 > 0، فإن 1 + 1 > 0، و 1 + 1 + 1 > 0، وهكذا، ولا يمكن لأي مجموع منتهٍ من الآحاد أن يساوي صفرًا.) على وجه الخصوص، لا يمكن ترتيب الحقول المنتهية.
• كل مجموع مربعات غير تافه هو مجموع غير صفري. أو بصورة مكافئة:${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

كل حقل جزئي من حقل مرتب هو أيضاً حقل مرتب (يرث الترتيب المستحث). أصغر حقل جزئي متماثل مع حقل الأعداد النسبية (كما هو الحال في أي حقل آخر ذي خاصية صفر)، وترتيب هذا الحقل الجزئي للأعداد النسبية هو نفسه ترتيب الأعداد النسبية نفسها.

إذا كان كل عنصر من حقل مرتب يقع بين عنصرين من حقله الجزئي النسبي، يُقال إن الحقل أرخميدسي . وإلا، فإن هذا الحقل يُسمى حقلاً مرتباً غير أرخميدسي، ويحتوي على أعداد متناهية الصغر، بالإضافة إلى عدد لا نهائي من العناصر الأكبر من أي عدد نسبي. على سبيل المثال، تُشكل الأعداد الحقيقية حقلاً أرخميدسياً، بينما تُشكل الأعداد الفائقة الحقيقية حقلاً غير أرخميدسي، لأنها تُوسع نطاق الأعداد الحقيقية لتشمل عناصر أكبر من أي عدد طبيعي قياسي . ^{[ 4 ]}

يكون الحقل المرتب F متماثلاً مع حقل الأعداد الحقيقية R إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئية غير فارغة من F ذات حد أعلى في F حد أعلى أصغر في F. هذه الخاصية تعني أن الحقل أرخميدسي. 

كل حقل مرتب هو حقل حقيقي شكليًا ، أي لا يمكن كتابة الصفر كمجموع مربعات غير صفرية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

وبالمقابل، يمكن تزويد كل حقل حقيقي شكليًا بترتيب كلي متوافق، مما يحوله إلى حقل مرتب. (لا يشترط أن يكون هذا الترتيب محددًا بشكل فريد). يستخدم البرهان ليمّة زورن . ^{[ 5 ]}

لا يمكن تحويل الحقول المنتهية ، وبشكل أعم الحقول ذات الخاصية الموجبة، إلى حقول مرتبة، كما هو موضح أعلاه. كذلك، لا يمكن تحويل الأعداد المركبة إلى حقل مرتب، لأن -1 هو مربع الوحدة التخيلية i . بالإضافة إلى ذلك، لا يمكن ترتيب الأعداد p -adic ، لأنه وفقًا لفرضية هينسل، _يحتوي Q² على جذر تربيعي لـ -7، وبالتالي 1² ⁺ 1² ^{+ 1² +} 2² + √ - 7² = 0 ، ويحتوي Qp ( _حيث p > 2 ⁾ على جذر تربيعي لـ 1 ^- p ، ^{وبالتالي} ( p - 1 ) ⋅ 1² ⁺ ( √1 - p ) ^² = 0. ^{[ 6} ]                      

إذا كان F مزودًا بطوبولوجيا الترتيب الناشئة عن الترتيب الكلي ≤، فإن البديهيات تضمن أن العمليات + و × متصلة ، بحيث يكون F حقلًا طوبولوجيًا .

تُعرَّف طوبولوجيا هاريسون بأنها طوبولوجيا على مجموعة الترتيبات X ∘ _F لحقل حقيقي شكليًا F. يمكن اعتبار كل ترتيب بمثابة تشاكل ضربي من F ^* إلى ±1. بإعطاء ±1 الطوبولوجيا المنفصلة و±1 ∘ ^F طوبولوجيا الضرب، نحصل على طوبولوجيا الفضاء الجزئي على X ∘ _F. مجموعات هاريسون${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$تشكل أساسًا فرعيًا لطوبولوجيا هاريسون. الناتج فضاء بولياني ( مضغوط ، هاوسدورف، ومنفصل تمامًا )، و X _F مجموعة جزئية مغلقة، وبالتالي فهي بوليانية أيضًا. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

المروحة على الحقل F هي ترتيب جزئي T بحيث إذا كانت S زمرة جزئية من الرتبة 2 في F ^* تحتوي على T  −  {0} ولا تحتوي على  -1، فإن S تكون ترتيبًا (أي أن S مغلقة تحت عملية الجمع). ^{[ 9 ]} الحقل المرتب ترتيبًا فائقًا هو حقل حقيقي كليًا تشكل فيه مجموعة مجاميع المربعات مروحة. ^{[ 10 ]}

• المجموعة المرتبة خطيًا - المجموعة ذات الترتيب الكلي الثابت تحت الإزاحة 
• حقل أسي مرتب – حقل مرتب مع دالة تعمم الدالة الأسية 
• مجموعة مرتبة – مجموعة ذات ترتيب جزئي متوافق. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الخاتم المطلوب
• فضاء متجهي طوبولوجي مرتب
• الفضاء المتجهي المرتب – الفضاء المتجهي ذو الترتيب الجزئي 
• خاتم مُرتب جزئيًا - خاتم ذو طلب جزئي متوافق 
• الفضاء المرتب جزئيًا – الفضاء الطوبولوجي المرتب جزئيًا 
• حقل الترتيب المسبق – ​​مفهوم جبري في نظرية القياس، ويُشار إليه أيضًا باسم جبر المجموعات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• فضاء ريز – فضاء متجهي مرتب جزئيًا، مرتب كشبكة 

• لام، تي واي (1983)، الترتيبات والتقييمات والصيغ التربيعية ، سلسلة مؤتمرات سي بي إم إس الإقليمية في الرياضيات، المجلد  52، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 0-8218-0702-1، Zbl 0516.12001 
• لام، تسيت-يوين (2005). مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  67. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 . 
• لانغ، سيرج (1993)، الجبر (  الطبعة الثالثة)، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، رقم ISBN 978-0-201-55540-0، Zbl 0848.13001