رقم سريالي

في سياق الأعداد السريالية، يُكتب الزوج المرتب من مجموعات الأعداد السريالية، L و R ، والذي يُكتب عادةً ( L , R ) في العديد من السياقات الرياضية الأخرى، على النحو التالي: { L | R } ، مع إضافة مسافة إضافية بجوار كل قوس. عندما تُوصف L أو R صراحةً بعناصرها، يُحذف غالبًا زوج الأقواس الذي يُحيط بمجموعة العناصر السريالية. وعندما تكون L أو R فارغة، يُحذف هذا الزوج أيضًا. على سبيل المثال، بدلًا من ({0, 1, 2}, {}) ، وهو الترميز الشائع في سياقات أخرى، نكتب عادةً {0, 1, 2 |} ، حيث 0 و 1 و 2 أعداد سريالية.

في بناء كونواي ^{[ 6 ]} ، تُبنى الأعداد السريالية على مراحل، مع ترتيب ≤ بحيث يكون لأي عددين سرياليين a و b ، إما a ≤ b أو b ≤ a . (قد يتحقق كلا الشرطين، وفي هذه الحالة يكون a و b متكافئين ويشيران إلى العدد نفسه). يتكون كل عدد من زوج مرتب من مجموعات جزئية من الأعداد التي تم بناؤها مسبقًا: إذا كانت لدينا مجموعتان جزئيتان L و R من الأعداد بحيث تكون جميع عناصر L أصغر تمامًا من جميع عناصر R ، فإن الزوج { L | R } يمثل عددًا متوسط ​​القيمة بين جميع عناصر L وجميع عناصر R. وفقًا لكونواي، يجب أن تخضع القيم المتوسطة لقاعدة البساطة. أي أن الأعداد التي تُولد في أعياد ميلاد متتالية يجب أن تكون أبسط عدد بين اليوم الجديد واليوم السابق. على سبيل المثال، في اليوم الأول، يُولد العددان -1 و 1. في اليوم الثاني، يكون أبسط عدد بين 1 و 0 هو 1/2؛ وبين 0 و -1 هو -1/2. قد تُعرّف مجموعات جزئية مختلفة العدد نفسه: { L | R } و { L ′ | R ′ } قد تُعرّفان العدد نفسه حتى لو كان L ≠ L′ وR ≠ R′. (تحدث ظاهرة مشابهة عند تعريف الأعداد النسبية كحاصل قسمة أعداد صحيحة: 1/2 و 2 / 4 تمثيلان مختلفان للعدد النسبي نفسه ) . كل عدد سريالي هو فئة تكافؤ من التمثيلات على الصورة { L | R } التي تُشير إلى العدد نفسه، مع ملاحظة أن كل فئة تكافؤ هي فئة حقيقية وليست مجموعة.

في المرحلة الأولى من البناء، لا توجد أعداد موجودة مسبقًا، لذا يجب أن يكون التمثيل الوحيد هو المجموعة الفارغة : { | } . يُسمى هذا التمثيل، حيث يكون كل من L و R فارغين، 0. وتُنتج المراحل اللاحقة أشكالًا مثل

و

وبالتالي، فإن الأعداد الصحيحة مُضمنة ضمن الأعداد السريالية. (المتطابقات المذكورة أعلاه هي تعريفات، بمعنى أن الطرف الأيمن هو اسم للطرف الأيسر. وسيتضح مدى ملاءمة هذه الأسماء عند تعريف العمليات الحسابية على الأعداد السريالية، كما في القسم أدناه). وبالمثل، فإن تمثيلات مثل

تنشأ، بحيث تكون الأعداد النسبية الثنائية (الأعداد النسبية التي تكون مقاماتها قوى العدد 2) موجودة داخل الأعداد السريالية.

بعد عدد لا نهائي من المراحل، تصبح مجموعات جزئية لا نهائية متاحة، بحيث يمكن تمثيل أي عدد حقيقي a بالصيغة { L _a | R _a }، حيث L _a هي مجموعة جميع الأعداد النسبية الثنائية الأصغر من a، و R _a هي مجموعة جميع الأعداد النسبية الثنائية الأكبر من a (وهو ما يُذكّر بقطع ديديكيند ). وبالتالي، فإن الأعداد الحقيقية مُضمنة أيضًا ضمن الأعداد السريالية.

وهناك أيضاً تمثيلات مثل

حيث ω عددٌ متسامٍ أكبر من جميع الأعداد الصحيحة، و ε عددٌ متناهي الصغر أكبر من الصفر وأصغر من أي عدد حقيقي موجب. علاوة على ذلك، يمكن توسيع العمليات الحسابية القياسية (الجمع والطرح والضرب والقسمة) لتشمل هذه الأعداد غير الحقيقية ، بحيث تتحول مجموعة الأعداد السريالية إلى حقل مرتب، ما يسمح بالحديث عن 2ω أو ω − 1 وهكذا.

الشكل هو زوج من مجموعات الأعداد السريالية، تُسمى المجموعة اليسرى والمجموعة اليمنى . يُكتب الشكل الذي له مجموعة يسرى L ومجموعة يمنى R على النحو التالي : { L | R } . عندما تُعطى L و R كقوائم من العناصر، تُحذف الأقواس المحيطة بهما.

قد تكون إحدى المجموعتين اليسرى واليمنى، أو كلتاهما، فارغة. وتُكتب الصيغة { { } | { } } التي تكون فيها كلتا المجموعتين اليسرى واليمنى فارغتين أيضاً { | } .

قاعدة البناء

تُصنَّف الأشكال العددية في فئات تكافؤ؛ كل فئة تكافؤ من هذه الفئات هي عدد سريالي . تُستمد عناصر المجموعتين اليمنى واليسرى للشكل من فضاء الأعداد السريالية (وليس من فضاء الأشكال ، بل من فضاء فئات التكافؤ الخاصة بها ).

قاعدة التكافؤ

يجب أن تكون علاقة الترتيب غير متناظرة ، أي يجب أن تتمتع بالخاصية x = y (أي أن x ≤ y و y ≤ x كلاهما صحيح) فقط عندما يكون x و y نفس العنصر. هذا لا ينطبق على أشكال الأعداد السريالية ، ولكنه صحيح بحكم تعريف الأعداد السريالية (فئات التكافؤ).

يتم تسمية فئة التكافؤ التي تحتوي على { | } بالرقم 0؛ بعبارة أخرى، { | } هو شكل من أشكال العدد السريالي 0.

يكتمل التعريف التكراري للأعداد السريالية بتعريف المقارنة:

إذا كانت لدينا الصيغ العددية x = { X _L | X _R } و y = { Y _L | Y _R } ، فإن x ≤ y إذا وفقط إذا كان كلاهما:

• لا يوجد عنصر x _L ∈ X _L بحيث يكون y ≤ x _L. أي أن كل عنصر في الجزء الأيسر من x أصغر تمامًا من y .
• لا يوجد عنصر y _R ∈ Y _R بحيث يكون y _R ≤ x . أي أن كل عنصر في الجزء الأيمن من y أكبر من x بشكل قاطع .

يمكن مقارنة الأعداد السريالية ببعضها البعض (أو بالأشكال العددية) عن طريق اختيار شكل عددي من فئة التكافؤ الخاصة بها لتمثيل كل عدد سريالي.

تتسم هذه المجموعة من التعريفات بالتكرارية ، وتتطلب شكلاً من أشكال الاستقراء الرياضي لتحديد عالم الأشياء (الأشكال والأعداد) التي تظهر فيها. الأعداد السريالية الوحيدة التي يمكن الوصول إليها عبر الاستقراء المحدود هي الكسور الثنائية ؛ ويمكن الوصول إلى عالم أوسع باستخدام شكل من أشكال الاستقراء المتسامي .

يُعرَّف نفي العدد المعطى x = { X _L | X _R } كما يلي:$${\displaystyle -x=-\{X_{L}\mid X_{R}\}=\{-X_{R}\mid -X_{L}\},}$$ حيث يتم إعطاء نفي مجموعة S من الأعداد بواسطة مجموعة العناصر المنفية من S : $${\displaystyle -S=\{-s:s\in S\}.}$$

تتضمن هذه الصيغة نفي الأعداد السريالية الظاهرة في المجموعتين اليسرى واليمنى لـ x ، ويُفهم ذلك على أنه نتيجة اختيار شكل للعدد، وتقييم نفي هذا الشكل، ثم تحديد فئة التكافؤ للشكل الناتج. ويكون هذا منطقيًا فقط إذا كانت النتيجة واحدة بغض النظر عن شكل المعامل المختار. ويمكن إثبات ذلك استقرائيًا باستخدام حقيقة أن الأعداد التي تظهر في المجموعتين _اليسرى واليمنى لـ _x مستمدة من أجيال سابقة للجيل الذي ظهر فيه الشكل x لأول مرة، مع ملاحظة الحالة الخاصة التالية: $${\displaystyle -0=-\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0.}$$

تعريف الجمع هو أيضاً صيغة تكرارية: $${\displaystyle x+y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L}\mid X_{R}+y,x+Y_{R}\},}$$ أين

$${\displaystyle X+y=\{x'+y:x'\in X\},\quad x+Y=\{x+y':y'\in Y\}}$$

تتضمن هذه الصيغة مجموع أحد المعاملات الأصلية وعددًا سرياليًا مُستمدًا من المجموعة اليسرى أو اليمنى للمعامل الآخر. ويمكن إثباتها استقرائيًا باستخدام الحالات الخاصة التالية: $${\displaystyle 0+0=\{{}\mid {}\}+\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0}$$$${\displaystyle x+0=x+\{{}\mid {}\}=\{X_{L}+0\mid X_{R}+0\}=\{X_{L}\mid X_{R}\}=x}$$$${\displaystyle 0+y=\{{}\mid {}\}+y=\{0+Y_{L}\mid 0+Y_{R}\}=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=y}$$

على سبيل المثال:

والتي تعتبر خاصية عيد الميلاد شكلاً من أشكال الرقم 1. وهذا يبرر التسمية المستخدمة في القسم السابق.

يمكن تعريف الضرب بشكل تكراري أيضًا، بدءًا من الحالات الخاصة التي تتضمن 0، والعنصر المحايد للضرب 1، ومعكوسه الجمعي −1: $${\displaystyle {\begin{aligned}xy&=\{X_{L}\mid X_{R}\}\{Y_{L}\mid Y_{R}\}\\&=\left\{X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}\mid X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\right\}\\\end{aligned}}}$$ تحتوي الصيغة على تعابير حسابية تتضمن المعاملات ومجموعاتها اليسرى واليمنى، مثل التعبير${\textstyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}}$الذي يظهر في المجموعة اليسرى من حاصل ضرب x و y . ويُفهم هذا على أنه${\textstyle \left\{x'y+xy'-x'y':x'\in X_{R},~y'\in Y_{R}\right\}}$، مجموعة الأرقام الناتجة عن اختيار جميع التوليفات الممكنة لأعضاء${\textstyle X_{R}}$و${\textstyle Y_{R}}$، واستبدالها في التعبير.

على سبيل المثال ، لإثبات أن مربع 1/2 يساوي 1/4 :​​

يتم تعريف القسمة من حيث المقلوب والضرب:

$${\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}}$$

حيث ^{[ 6 ] : 21}

$${\displaystyle {\frac {1}{y}}=\left\{\left.0,{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{R}}},{\frac {1+\left(y_{L}-y\right)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{L}}}\,\,\right|\,\,{\frac {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{R}}}\right\}}$$

بالنسبة لقيم y الموجبة ، يُسمح فقط بقيم yL الموجبة _في الصيغة ، مع تجاهل أي حدود غير موجبة (وقيم _yR موجبة دائمًا). لا تقتصر هذه الصيغة على الاستدعاء الذاتي من حيث إمكانية القسمة على أعداد من مجموعتي y اليسرى واليمنى، بل تشمل أيضًا الاستدعاء الذاتي في كون عناصر مجموعتي 1/y اليسرى واليمنى هي نفسها . الصفر دائمًا عنصر من المجموعة اليسرى لـ 1 / y ، ويمكن استخدام ذلك لإيجاد المزيد من الحدود بطريقة استدعاء ذاتي. على سبيل المثال، إذا كانت y = 3 = {2| } ، فإننا نعلم أن الحد الأيسر لـ 1/3 هو 0. وهذا بدوره يعني أن 1 + (2 − 3 ) 0/2 = 1/2 هو حد أيمن .$${\displaystyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$$ مصطلح يساري. هذا يعني $${\displaystyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$$ سيكون مصطلحًا مناسبًا. واستمرارًا لذلك، فإن هذا يعطي $${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\left\{\left.0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots \,\right|\,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \right\}}$$

بالنسبة لقيمة y السالبة ، يُعطى 1 / y بالعلاقة التالية :$${\displaystyle {\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)}$$

إذا كانت y = 0 ، فإن 1 / y غير معرف.

يمكن إثبات أن تعريفات النفي والجمع والضرب متسقة، بمعنى أن:

• يتم تعريف الجمع والنفي بشكل متكرر من حيث خطوات الجمع والنفي "الأبسط"، بحيث يتم التعبير عن العمليات على الأعداد التي يكون تاريخ ميلادها n في النهاية بشكل كامل من حيث العمليات على الأعداد التي يكون تاريخ ميلادها أقل من n ؛
• يتم تعريف الضرب بشكل متكرر من حيث عمليات الجمع والنفي وخطوات الضرب "الأبسط"، بحيث يتم التعبير عن ناتج الأعداد التي يكون تاريخ ميلادها n في النهاية بشكل كامل من حيث مجموع وفروق نواتج الأعداد التي يكون تاريخ ميلادها أقل من n ؛
• طالما أن المعاملات هي أشكال أعداد سريالية محددة جيدًا (كل عنصر من المجموعة اليسرى أصغر من كل عنصر من المجموعة اليمنى)، فإن النتائج هي أيضًا أشكال أعداد سريالية محددة جيدًا؛
• يمكن توسيع نطاق العمليات لتشمل الأعداد (فئات التكافؤ للأشكال): فنتيجة نفي x أو جمع أو ضرب x و y ستمثل نفس العدد بغض النظر عن اختيار شكل x و y ؛ و
• تخضع هذه العمليات لبديهيات التجميعية، والتبديلية، والمعكوس الجمعي، والتوزيعية في تعريف الحقل ، مع العنصر المحايد الجمعي 0 = { | } والعنصر المحايد الضربي 1 = { 0 | } .

باستخدام هذه القواعد، يمكن الآن التحقق من أن الأرقام التي تم العثور عليها في الأجيال القليلة الأولى قد تم تصنيفها بشكل صحيح. يتم تكرار قاعدة البناء للحصول على المزيد من أجيال الأشكال السريالية.

لكل عدد طبيعي (ترتيبي محدود) n ، فإن جميع الأعداد المتولدة في S _n هي كسور ثنائية ، أي يمكن كتابتها ككسر غير قابل للاختزال a / 2 ^b ، حيث a و b عددان صحيحان و 0 ≤ b < n .

يمكن الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد السريالية التي يتم توليدها في S _n لقيم n محدودة على النحو التالي:${\textstyle S_{*}=\bigcup _{n\in N}S_{n}}$يمكن للمرء أن يشكل الفئات الثلاث $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=\{0\}\\S_{+}&=\{x\in S_{*}:x>0\}\\S_{-}&=\{x\in S_{*}:x<0\}\end{aligned}}}$$ والتي تمثل S _* اتحادها. لا يوجد عنصر فردي _Sn مغلق تحت عمليتي الجمع والضرب (باستثناء S0 )، ولكن S _{* مغلق} ؛ فهو الحلقة الفرعية للأعداد النسبية التي تتكون من جميع الكسور الثنائية.

توجد أعداد ترتيبية لا نهائية β بحيث ^تكون مجموعة الأعداد السريالية التي يكون تاريخ ميلادها أقل من β مغلقة تحت العمليات الحسابية المختلفة. ^{[ 7 ]} لأي عدد ترتيبي ^{α، تكون مجموعة الأعداد السريالية التي يكون تاريخ ميلادها أقل من β = ωα (باستخدام قوى ω) مغلقة تحت عملية الجمع وتشكل زمرة؛ أما بالنسبة للأعداد التي يكون تاريخ ميلادها أقل من ωα،} فتكون مغلقة تحت عملية الضرب وتشكل حلقة ؛ [ ب ^] وبالنسبة ^{للأعداد التي يكون} تاريخ ميلادها أقل من عدد إبسيلون (ترتيبي) εα _، فتكون مغلقة تحت عملية المعكوس الضربي وتشكل حقلاً. كما أن المجموعات الأخيرة مغلقة تحت الدالة الأسية كما عرّفها كروسكال وجونشور. ^{[ 7 ] [ 8 ] : الفصل 10 [ 7 ]}

مع ذلك، من الممكن دائمًا إنشاء عدد سريالي أكبر من أي عنصر في مجموعة الأعداد السريالية (بإضافة المجموعة إلى الجانب الأيسر من الدالة البانية)، وبالتالي فإن مجموعة الأعداد السريالية تُشكّل فئةً حقيقية . وبترتيبها وعملياتها الجبرية، تُشكّل هذه الأعداد حقلًا مرتبًا ، مع التنبيه إلى أنها لا تُشكّل مجموعة . في الواقع، هو حقل مرتب خاص جدًا: أكبر حقل مرتب، حيث أن كل حقل مرتب هو حقل فرعي من الأعداد السريالية. ^{[ 2 ]} يُرمز إلى فئة جميع الأعداد السريالية بالرمز √(√ ...${\textstyle \mathbb {No} }$.

بالنظر إلى أي x = { L | R } في S _ω ، فإن أحد الخيارات التالية صحيح تمامًا:

• L و R كلاهما فارغان، وفي هذه الحالة x = 0 ؛
• R فارغة وهناك عدد صحيح n ≥ 0 أكبر من كل عنصر من عناصر L ، وفي هذه الحالة x يساوي أصغر عدد صحيح n ؛
• R فارغة ولا يوجد عدد صحيح n أكبر من كل عنصر من عناصر L ، وفي هذه الحالة x يساوي + ω ؛
• L فارغة وهناك عدد صحيح n ≤ 0 أصغر من كل عنصر من عناصر R ، وفي هذه الحالة x يساوي أكبر عدد صحيح n ؛
• L فارغة ولا يوجد عدد صحيح n أصغر من كل عنصر من عناصر R ، وفي هذه الحالة x يساوي − ω ؛
• L و R كلاهما غير فارغين، و:
  • بعض الكسور الثنائية y تقع "بشكل صارم" بين L و R (أكبر من جميع عناصر L وأصغر من جميع عناصر R )، وفي هذه الحالة x يساوي أقدم كسر ثنائي من هذا النوع y ؛
  • لا يوجد كسر ثنائي y يقع تمامًا بين L و R ، ولكن يوجد كسر ثنائي ما${\textstyle y\in L}$أكبر من أو يساوي جميع عناصر L وأصغر من جميع عناصر R ، وفي هذه الحالة x يساوي y + ε ؛
  • لا يوجد كسر ثنائي y يقع تمامًا بين L و R ، ولكن يوجد كسر ثنائي ما${\textstyle y\in R}$أكبر من جميع عناصر L وأصغر من أو يساوي جميع عناصر R ، وفي هذه الحالة x يساوي y − ε ؛
  • كل كسر ثنائي إما أكبر من عنصر ما من R أو أصغر من عنصر ما من L ، وفي هذه الحالة يكون x عددًا حقيقيًا ليس له تمثيل ككسر ثنائي.

S _ω ليس حقلاً جبرياً، لأنه ليس مغلقاً تحت العمليات الحسابية؛ لننظر إلى ω + 1 ، الذي شكله $${\displaystyle \omega +1=\{1,2,3,4,...\mid {}\}+\{0\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots ,\omega \mid {}\}}$$ لا يقع في أي عدد في S _ω . المجموعة الجزئية القصوى من S _ω المغلقة تحت (سلسلة منتهية من) العمليات الحسابية هي حقل الأعداد الحقيقية، الذي يتم الحصول عليه عن طريق حذف اللانهائيات ± ω ، والمتناهيات في الصغر ± ε ، والجيران المتناهية في الصغر y ± ε لكل كسر ثنائي غير صفري y .

يختلف هذا البناء للأعداد الحقيقية عن قطوع ديديكيند في التحليل القياسي في أنه يبدأ من الكسور الثنائية بدلاً من الأعداد النسبية العامة، ويُعرّف كل كسر ثنائي في Sω بشكل طبيعي _{بأشكاله} في الأجيال السابقة. ( تتطابق الأشكال الكاملة ω للعناصر الحقيقية في Sω تطابقًا تامًا مع الأعداد الحقيقية المُستنتجة من قطوع ديديكيند، بشرط أن تُمثَّل أعداد ديديكيند الحقيقية المُقابلة للأعداد النسبية بالشكل الذي تُحذف فيه نقطة القطع من كلتا المجموعتين اليمنى واليسرى). لا تُمثل الأعداد النسبية مرحلة قابلة للتحديد في البناء السريالي؛ فهي ببساطة المجموعة الجزئية _Q من Sω التي تحتوي على جميع العناصر x التي تحقق x b = a لبعض a وبعض b غير الصفري، _{وكلاهما} مُستمد من S _* . من خلال إثبات أن Q مُغلقة تحت التكرارات الفردية للعمليات الحسابية السريالية، يُمكن إثبات أنها حقل. ومن خلال إظهار أن كل عنصر من Q يمكن الوصول إليه من S _∗ بواسطة سلسلة محدودة (لا تزيد عن اثنين في الواقع) من العمليات الحسابية بما في ذلك الانعكاس الضربي ، يمكن للمرء أن يظهر أن Q أصغر تمامًا من المجموعة الفرعية S _ω المحددة بالأعداد الحقيقية.

_تتمتع المجموعة Sω بنفس عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية R. ويمكن إثبات ذلك من خلال عرض التطبيقات الشاملة من _Sω إلى الفترة المغلقة I من R والعكس. يُعدّ تطبيق Sω على I إجراءً روتينيًا؛ حيث يتم تطبيق الأعداد الأقل من أو تساوي ε (بما في ذلك −ω ₎ على 0، والأعداد الأكبر من أو تساوي 1 − ε (بما في ذلك ω ) على 1، والأعداد بين ε و 1 − ε على ما يكافئها في I (بتطبيق الجوار المتناهي الصغر y ± ε لكل كسر ثنائي y ، بالإضافة إلى y نفسه ، على y ). ولتطبيق I على Sω _، يتم تطبيق الثلث المركزي (المفتوح) ( 1/3 ، 2/3 ) من I على { | } = 0 . الثلث الأوسط ( 7/9 ، 8/9 ) من الثلث العلوي يُقابل { 0|} = 1 ؛ وهكذا . هذا يُسقط فترة مفتوحة غير فارغة من I على كل عنصر من S _* ، بشكل رتيب. يتكون باقي I من مجموعة كانتور 2ω ^، حيث تُحدد كل نقطة منها بشكل فريد بتقسيم فترات الثلث الأوسط إلى مجموعتين يمين ويسار، بما يتوافق تمامًا مع الشكل { L | R } في Sω _. هذا يجعل مجموعة كانتور في تناظر أحادي مع مجموعة الأعداد السريالية ذات تاريخ الميلاد ω .

إن قوى الدالة ω هي أيضاً دالة أسية، لكنها لا تمتلك الخصائص المطلوبة لتمديد الدالة على الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، ستكون ضرورية في تطوير الدالة الأسية ذات الأساس e ، وهي المقصودة كلما استُخدم الرمز ω ^{x فيما يلي.}

عندما يكون y كسرًا ثنائيًا، فإن دالة القوة${\textstyle x\in \mathbb {No} }$يمكن تكوين المشتقة x ↦ xy من الضرب ^{والمعكوس} الضربي والجذر التربيعي، وكلها قابلة للتعريف الاستقرائي. وتُحدد قيمها بالكامل من خلال العلاقة الأساسية xy ^{+ z} = xy · x ^z ، وعند تعريفها، فإنها تتطابق بالضرورة مع أي ^عملية أسية ^أخرى ممكنة.

تعتمد خطوات الاستقراء للدالة الأسية السريالية على متسلسلة التوسع للدالة الأسية الحقيقية. $${\displaystyle \exp x=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}}$$_{وبشكلٍ أدق ،} تلك المجاميع الجزئية التي يمكن إثبات أنها موجبة ولكنها أصغر من جميع المجاميع اللاحقة باستخدام الجبر الأساسي. بالنسبة لـ x الموجبة، يُرمز لها بـ [ x ] _ⁿ وتشمل جميع المجاميع الجزئية ؛ أما بالنسبة لـ x السالبة والمحدودة، فيُرمز لها بـ [ x ] _{²ⁿ⁺¹ ،} حيث تُمثل الخطوات الفردية في المتسلسلة بدءًا من أول خطوة ذات جزء حقيقي موجب (وهو موجود دائمًا). بالنسبة لـ x السالبة والمحدودة _، تكون المجاميع الجزئية ذات الأرقام الفردية متناقصة تمامًا، ويُرمز لها بـ [ x ] _{²ⁿ⁺¹ ،} حيث تُمثل المجموعة الفارغة، ولكن يتضح أن العناصر المقابلة غير ضرورية في الاستقراء.

العلاقات التي تنطبق على x الحقيقي < y هي

و

ويمكن توسيع هذا ليشمل السرياليين بالتعريف

$${\displaystyle \exp z=\{0,\exp z_{L}\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp z_{R}\cdot [z-z_{R}]_{2n+1}\mid \exp z_{R}/[z_{R}-z]_{n},\exp z_{L}/[z_{L}-z]_{2n+1}\}.}$$

هذا محدد جيدًا لجميع الحجج السريالية (القيمة موجودة ولا تعتمد على اختيار z _L و z _R ).

باستخدام هذا التعريف، فإن ما يلي صحيح: ^{[ هـ ]}

• الدالة exp دالة موجبة متزايدة تمامًا، x < y ⇒ 0 < exp x < exp y
• تحقق الدالة exp المعادلة exp( x + y ) = exp x · exp y
• الدالة exp هي دالة شاملة (على${\textstyle \mathbb {No} _{+}}$وله معكوس محدد جيدًا، log = exp ^–1
• تتطابق الدالة exp مع الدالة الأسية المعتادة على الأعداد الحقيقية (وبالتالي فإن exp 0 = 1، exp 1 = e ).
• بالنسبة لقيم x المتناهية الصغر، تكون قيمة متسلسلة القوى الرسمية ( توسيع تايلور ) للدالة exp محددة جيدًا وتتطابق مع التعريف الاستقرائي.
  • عندما يتم إعطاء x في شكل كونواي الطبيعي، تكون مجموعة الأسس في النتيجة مرتبة ترتيبًا جيدًا وتكون المعاملات عبارة عن مجاميع محدودة، مما يعطي مباشرة الشكل الطبيعي للنتيجة (التي تحتوي على 1 رئيسي ).
  • وبالمثل، بالنسبة لقيمة x القريبة جدًا من 1 ، يُعطى لوغاريتم x بواسطة متسلسلة قوى لـ x – 1
• بالنسبة لـ x الموجبة اللانهائية ، فإن exp x تكون لانهائية أيضًا
  • إذا كان x على الصورة ω ^α (حيث α > 0 )، فإن exp x على الصورة ω ^{ω β} حيث β دالة متزايدة تمامًا لـ α . في الواقع، يوجد تقابل معرف استقرائيًا${\textstyle g:\mathbb {No} _{+}\to \mathbb {No}$ } والتي يمكن تعريف معكوسها أيضاً بالاستقراء
  • إذا كانت x _" لا نهائية خالصة" بالشكل الطبيعي x = Σ _{α < β} r _α ω ^{a _α} حيث كل α > 0 ، ثم exp x = ω ^{Σ _{α < β} r _α ω g ( a _α )}
  • وبالمثل، بالنسبة لـ x = ω ^{Σ _{α < β} r _α ω b _α} ، يتم إعطاء المعكوس بواسطة السجل x = Σ _{α < β} r _α ω ^{g –1 ( b _α )}
• يمكن كتابة أي عدد سريالي كمجموع جزء لانهائي محض، وجزء حقيقي، وجزء متناهي الصغر، والدالة الأسية هي حاصل ضرب النتائج الجزئية المذكورة أعلاه.
  • يمكن كتابة الصيغة الطبيعية بضرب الجزء اللانهائي (قوة واحدة لـ ω ) والدالة الأسية الحقيقية في متسلسلة القوى الناتجة عن المتناهية الصغر
  • وعلى العكس، فإن قسمة الحد الرئيسي للصيغة الطبيعية ستجعل أي عدد سريالي على الصورة ( ω ^{Σ _{γ < δ} t _γ ω b _γ} )· r ·(1 + Σ _{α < β} s _α ω ^{a _α} ) ، حيث a _α < 0 ، ولكل عامل صيغة تم توضيح طريقة حساب لوغاريتمها أعلاه؛ ويكون المجموع حينها هو اللوغاريتم العام.
    • على الرغم من عدم وجود تعريف استقرائي عام للوغاريتم (على عكس الدالة الأسية )، إلا أن النتائج الجزئية تُعطى بدلالة هذه التعريفات. وبهذه الطريقة، يمكن حساب اللوغاريتم بشكل صريح، دون الرجوع إلى حقيقة أنه معكوس الدالة الأسية.
• الدالة الأسية أكبر بكثير من أي قوة محدودة
  • لأي قيمة موجبة لانهائية x وأي قيمة منتهية n ، ^فإن exp( x )/ xⁿ لانهائي
  • لأي عدد صحيح n وعدد حقيقي x > n ² ، فإن exp( x ) > x ⁿ . هذا القيد الأقوى هو أحد بديهيات ريساير للحقل الأسي الحقيقي ^{[ 7 ].}
• exp يحقق جميع بديهيات Ressayre للحقل الأسي الحقيقي ^{[ 7 ]}
  • تُعدّ الأعداد السريالية ذات الدالة الأسية امتدادًا أوليًا للحقل الأسي الحقيقي.
  • بالنسبة لـ ε _β عدد إبسيلون ترتيبي، فإن مجموعة الأعداد السريالية التي يكون تاريخ ميلادها أقل من ε _β تشكل حقلاً مغلقاً تحت الدوال الأسية، وهي كذلك امتداد أولي للحقل الأسي الحقيقي.

تُعطى الدالة الأسية السريالية أساسًا من خلال سلوكها على القوى الموجبة لـ ω ، أي الدالة ⁠${\displaystyle g(a)}$، بالإضافة إلى السلوك المعروف على الأعداد المحدودة. سيتم تقديم أمثلة على الحالة الأولى فقط. علاوة على ذلك ،${\displaystyle g(a)=a}$ينطبق هذا على جزء كبير من نطاقه، على سبيل المثال لأي عدد محدود ذي جزء حقيقي موجب وأي عدد لا نهائي أقل من قوة متكررة لـ ω ( ω ^{ω · · ω} لعدد معين من المستويات).

• exp ω = ω ^ω
• إكس ω ^{1/ ω} = ω وسجل ω = ω ^{1 /} ω
• إكسب ( ω · سجل ω ) = إكسب ( ω · ω ^{1/ ω} ) = ω ^{ω 1 + 1/ ω}
  • هذا يُظهر أن دالة "قوة ω " غير متوافقة مع الدالة الأسية ، لأن التوافق يتطلب قيمة ω هنا ^.
• exp ε ₀ = ω ^{ω ε ₀ + 1}
• log ε ₀ = ε ₀ / ω

يمكن تعريف عملية الأس العامة على النحو التالي: x ^y = exp( y · log x ) ، مما يعطي تفسيراً لتعبيرات مثل 2 ^ω = exp( ω · log 2).= ω ^{log 2 · ω} . مرة أخرى، من الضروري التمييز بين هذا التعريف ودالة "قوى ω "، خاصة إذا كان من الممكن أن يظهر ω كأساس.

في مقاربة أخرى للأعداد السريالية، قدمها ألينغ ^{[ 11 ]} ، يتم تجاوز البناء الصريح تمامًا. وبدلًا من ذلك، تُعطى مجموعة من البديهيات التي يجب أن تستوفيها أي مقاربة محددة للأعداد السريالية. ومثل المقاربة البديهية للأعداد الحقيقية، تضمن هذه البديهيات التفرد حتى التشاكل.

ثلاثية${\textstyle \langle \mathbb {No} ,\mathrm {<} ,b\rangle }$يُعتبر نظام أعداد سريالياً إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية:

• < هو ترتيب كلي${\textstyle \mathbb {No} }$
• b هي دالة من${\textstyle \mathbb {No} }$على فئة جميع الأعداد الترتيبية ( يُطلق على b اسم "دالة عيد الميلاد" على${\textstyle \mathbb {No} }$).
• ليكن A و B مجموعتين جزئيتين من${\textstyle \mathbb {No} }$بحيث يكون لكل x ∈ A و y ∈ B ، يكون x < y (باستخدام مصطلحات ألينغ، فإن 〈A , B〉 هو "قطع كونواي" لـ${\textstyle \mathbb {No} }$ثم يوجد حل فريد${\textstyle z\in \mathbb {No} }$بحيث يكون b ( z ) أصغر ما يمكن، ولكل x ∈ A ولكل y ∈ B ، يكون x < z < y . (يشار إلى هذه البديهية غالبًا باسم "نظرية كونواي للبساطة").
• علاوة على ذلك، إذا كان العدد الترتيبي α أكبر من b ( x ) لجميع x ∈ A , B ، فإن b ( z ) ≤ α . (يُطلق ألينغ على النظام الذي يحقق هذه البديهية اسم "نظام الأعداد السريالية الكاملة").

إن كلاً من بناء كونواي الأصلي وبناء توسيع العلامات للسرياليين يفي بهذه البديهيات.

وبناءً على هذه البديهيات، يستنتج ألينج ^{[ 11 ]} تعريف كونواي الأصلي لـ ≤ ويطور الحساب السريالي.

يعود الفضل في بناء الأعداد السريالية كشجرة ثنائية زائفة قصوى ذات علاقات بسيطة (الأسلاف) وترتيبية إلى فيليب إيرليخ. ^{[ 12 ]} ويكمن الاختلاف عن التعريف المعتاد للشجرة في أن مجموعة أسلاف أي رأس مرتبة ترتيبًا جيدًا ، ولكنها قد لا تحتوي على عنصر أقصى (سلف مباشر)؛ بمعنى آخر، يكون نوع ترتيب تلك المجموعة عددًا ترتيبيًا عامًا، وليس مجرد عدد طبيعي. يحقق هذا البناء بديهيات ألينغ أيضًا، ويمكن ربطه بسهولة بتمثيل تسلسل الإشارات. بالإضافة إلى ذلك، أنشأ إيرليخ تماثلًا بين حقل الأعداد السريالية القصوى لكونواي والأعداد الفائقة القصوى في نظرية مجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل . ^{[ 12 ]}

يُثبت آلينغ ^{[ 11 ] : th. 6.55، ص 246} أيضًا أن حقل الأعداد السريالية متماثل (كحقل مُرتب) مع حقل متسلسلات هان ذات المعاملات الحقيقية على مجموعة قيم الأعداد السريالية نفسها (تمثيل المتسلسلة المُطابق للشكل الطبيعي للعدد السريالي، كما هو مُعرّف أعلاه ). وهذا يُوفر صلة بين الأعداد السريالية والمناهج الرياضية التقليدية لنظرية الحقول المُرتبة.

لاحظ أن دعم متسلسلة هان يجب أن يكون مجموعة، وليس فئة مناسبة؛ على سبيل المثال، متسلسلة هان${\displaystyle \omega ^{-\alpha }}$لا يوجد نظير سريالي لمجموع جميع الأعداد الترتيبية α .

يُحوّل هذا التشاكل الأعداد السريالية إلى حقل قيم ، حيث تكون القيمة هي المعكوس الجمعي لأسّ الحدّ الرئيسي في صيغة كونواي المعيارية، على سبيل المثال، ν ( ω ) = -1 . وتتألف حلقة القيمة حينها من الأعداد السريالية المحدودة (الأعداد التي لها جزء حقيقي و/أو جزء متناهي الصغر). ويعود سبب عكس الإشارة إلى أن الأسس في صيغة كونواي المعيارية تُشكّل مجموعة معكوسة مُرتبة ترتيبًا جيدًا، بينما تُصاغ متسلسلات هان بدلالة مجموعات فرعية (غير معكوسة) مُرتبة ترتيبًا جيدًا من زمرة القيم.