الهندسة غير الإقليدية

سلوك الخطوط ذات العمود المشترك في كل نوع من أنواع الهندسة الثلاثة

في الرياضيات ، تتألف الهندسة غير الإقليدية من هندستين مبنيتين على بديهيات وثيقة الصلة بتلك التي تحدد الهندسة الإقليدية . ولأن الهندسة الإقليدية تقع عند تقاطع الهندسة المترية والهندسة الأفينية ، تنشأ الهندسة غير الإقليدية إما باستبدال مسلمة التوازي بأخرى بديلة، أو بالنظر في أشكال تربيعية غير الأشكال التربيعية المحددة المرتبطة بالهندسة المترية . في الحالة الأولى، نحصل على الهندسة الزائدية والهندسة الإهليلجية ، وهما الهندستان غير الإقليديتان التقليديتان. وعند قبول الأشكال التربيعية المتناحية ، تظهر مستويات أفينية مرتبطة بالجبر المستوي ، والتي تُنتج هندسات حركية تُسمى أيضاً بالهندسة غير الإقليدية.

مبادئ

يكمن الاختلاف الجوهري بين الهندسات المترية في طبيعة الخطوط المتوازية . ففرضية إقليدس الخامسة، وهي فرضية التوازي ، تُكافئ فرضية بلايفير ، التي تنص على أنه في مستوى ثنائي الأبعاد، لأي خط $l$ ونقطة p لا تقع على $l$ ، يوجد خط واحد فقط يمر بـ p ولا يتقاطع مع $l$ . في الهندسة الزائدية، على النقيض من ذلك، يوجد عدد لا نهائي من الخطوط التي تمر بـ p ولا تتقاطع مع $l$ ، بينما في الهندسة الإهليلجية، يتقاطع أي خط يمر بـ p مع $l$ .

هناك طريقة أخرى لوصف الاختلافات بين هذه الأشكال الهندسية وهي اعتبار خطين مستقيمين ممتدين إلى ما لا نهاية في مستوى ثنائي الأبعاد، وكلاهما عمودي على خط ثالث (في نفس المستوى):

في الهندسة الإقليدية، تبقى الخطوط على مسافة ثابتة من بعضها البعض (بمعنى أن الخط المرسوم عموديًا على أحد الخطوط عند أي نقطة سيتقاطع مع الخط الآخر ويبقى طول القطعة المستقيمة التي تصل بين نقاط التقاطع ثابتًا) وتُعرف باسم الخطوط المتوازية.
في الهندسة الزائدية، تتباعد هذه الخطوط عن بعضها البعض، وتزداد المسافة بينها كلما ابتعدنا عن نقاط التقاطع مع العمود المشترك؛ وغالبًا ما تسمى هذه الخطوط بالخطوط المتوازية الفائقة .
في الهندسة الإهليلجية، تتقارب الخطوط نحو بعضها البعض وتتقاطع.

تاريخ

خلفية

الهندسة الإقليدية ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات اليوناني إقليدس ، تشمل بعضًا من أقدم الرياضيات المعروفة، ولم يتم قبول الهندسات التي انحرفت عن هذا على نطاق واسع على أنها شرعية حتى القرن التاسع عشر.

بدأ النقاش الذي أدى في النهاية إلى اكتشاف الهندسات غير الإقليدية فور كتابة إقليدس لكتابه " الأصول" . في "الأصول" ، يبدأ إقليدس بعدد محدود من الافتراضات (23 تعريفًا، وخمسة مفاهيم مشتركة، وخمس مسلمات) ويسعى إلى إثبات جميع النتائج ( القضايا ) الأخرى الواردة في الكتاب. تُعرف أشهر هذه المسلمات باسم "المسلمة الخامسة لإقليدس"، أو ببساطة مسلمة التوازي ، والتي صاغها إقليدس في الأصل على النحو التالي:

إذا سقط خط مستقيم على خطين مستقيمين بحيث تكون الزوايا الداخلية على نفس الجانب معًا أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطوط المستقيمة، إذا امتدت إلى ما لا نهاية، تلتقي على ذلك الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من زاويتين قائمتين.

وقد ابتكر علماء رياضيات آخرون صيغًا أبسط لهذه الخاصية. ومع ذلك، وبغض النظر عن شكل المسلّمة، فإنها تبدو باستمرار أكثر تعقيدًا من مسلّمات إقليدس الأخرى .

لرسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى.
لإنتاج [تمديد] خط مستقيم محدود بشكل مستمر في خط مستقيم.
لوصف دائرة بأي مركز ومسافة [نصف القطر].
أن جميع الزوايا القائمة متساوية.

على مدى ألف عام على الأقل، انشغل علماء الهندسة بالتعقيد المتباين للمسلمة الخامسة، واعتقدوا أنه يمكن إثباتها كنظرية من المسلمات الأربع الأخرى. حاول الكثيرون إيجاد برهان بالتناقض ، بمن فيهم ابن الهيثم (الحسن، القرن الحادي عشر)، ^{[ 1 ]} وعمر الخيام (القرن الثاني عشر)، ونصير الدين الطوسي (القرن الثالث عشر)، وجيوفاني جيرولامو ساكيري (القرن الثامن عشر).

كانت نظريات ابن الهيثم والخيام والطوسي حول الأشكال الرباعية ، بما فيها شكل لامبرت الرباعي وشكل ساكيري الرباعي ، بمثابة "النظريات الأولى في الهندسة الزائدية والقطع الناقص ". وقد لعبت هذه النظريات، إلى جانب مسلماتها البديلة، مثل مسلمة بلايفير ، دورًا هامًا في التطور اللاحق للهندسة غير الإقليدية. كان لهذه المحاولات المبكرة لتحدي المسلمة الخامسة تأثير كبير على تطورها بين علماء الهندسة الأوروبيين اللاحقين، بمن فيهم ويتيلو وليفي بن جيرسون وألفونسو وجون واليس وساكيري . [ 2 ] ^ومع^ذلك^، قدمت جميع هذه المحاولات المبكرة لصياغة الهندسة غير الإقليدية براهين معيبة لمسلمة التوازي، اعتمادًا على افتراضات تُعتبر الآن مكافئة جوهريًا لمسلمة التوازي. ومع ذلك، فقد قدمت هذه المحاولات المبكرة بعض الخصائص المبكرة للهندسة الزائدية والقطع الناقص.

حاول الخيام، على سبيل المثال، استنتاجها من مسلمة مكافئة صاغها من "مبادئ الفيلسوف" ( أرسطو ): "يتقاطع خطان مستقيمان متقاربان، ويستحيل أن يتباعد خطان مستقيمان متقاربان في اتجاه تقاربهما". ^{[ 3 ]} ثم نظر الخيام في الحالات الثلاث التي يمكن أن تتخذها زوايا قمة الشكل الرباعي ساكيري: قائمة، ومنفرجة، وحادة. وبعد إثبات عدد من النظريات المتعلقة بها، دحض بشكل صحيح حالتي الزاوية المنفرجة والحادة استنادًا إلى مسلمته، ومن ثم استنتج المسلمة الكلاسيكية لإقليدس، والتي لم يدرك أنها مكافئة لمسلمته. مثال آخر هو ابن الطوسي، صدر الدين (المعروف أحيانًا باسم "الطوسي الزائف")، الذي كتب كتابًا عن الموضوع عام 1298، استنادًا إلى أفكار الطوسي اللاحقة، والذي قدم فرضية أخرى مكافئة لمسلمة التوازي. قام بمراجعة جوهرية لكل من النظام الإقليدي للبديهيات والمسلمات، وبراهين العديد من القضايا الواردة في كتاب الأصول . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} نُشر عمله في روما عام 1594، ودرسه علماء الهندسة الأوروبيون، بمن فيهم ساكيري ^{[ 4 ]} الذي انتقد هذا العمل، وكذلك عمل واليس. ^{[ 6 ]}

استخدم جيوردانو فيتالي ، في كتابه Euclide restituo (1680، 1686)، الشكل الرباعي ساكيري لإثبات أنه إذا كانت ثلاث نقاط متساوية البعد على القاعدة AB والقمة CD، فإن AB وCD متساويتان البعد في كل مكان.

في عمل بعنوان Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( إقليدس المحرر من جميع العيوب )، والذي نُشر عام 1733، استبعد ساكيري بسرعة الهندسة الإهليلجية كاحتمال (يجب تعديل بعض بديهيات إقليدس الأخرى لكي تعمل الهندسة الإهليلجية) وبدأ العمل على إثبات عدد كبير من النتائج في الهندسة الزائدية.

وصل في النهاية إلى قناعة بأن نتائجه تُثبت استحالة الهندسة الزائدية. ويبدو أن ادعاءه كان مبنيًا على افتراضات إقليدية، إذ لم يكن هناك أي تناقض منطقي . وفي محاولته لإثبات الهندسة الإقليدية، اكتشف دون قصد هندسة جديدة قابلة للتطبيق، لكنه لم يُدرك ذلك.

في عام ١٧٦٦، كتب يوهان لامبرت كتاب "نظرية الخطوط المتوازية" (Theorie der Parallellinien) ، لكنه لم ينشره، حيث حاول فيه، كما فعل ساكيري، إثبات المسلّمة الخامسة. استخدم لامبرت شكلاً يُعرف الآن باسم رباعي لامبرت ، وهو رباعي بثلاث زوايا قائمة (يمكن اعتباره نصف رباعي ساكيري ). استبعد سريعًا احتمال أن تكون الزاوية الرابعة منفرجة، كما فعل ساكيري والخيام، ثم شرع في إثبات العديد من النظريات بافتراض وجود زاوية حادة. وعلى عكس ساكيري، لم يشعر لامبرت قط بأنه قد وصل إلى تناقض مع هذا الافتراض. كان قد أثبت النتيجة غير الإقليدية التي تنص على أن مجموع زوايا المثلث يزداد كلما تناقصت مساحته، مما دفعه إلى التكهن بإمكانية وجود نموذج للحالة الحادة على كرة ذات نصف قطر وهمي. لم يطور لامبرت هذه الفكرة أكثر من ذلك. ^{[ ٧ ]}

في ذلك الوقت، كان يُعتقد على نطاق واسع أن الكون يعمل وفقًا لمبادئ الهندسة الإقليدية. ^{[ 8 ]}

تطور الهندسة غير الإقليدية

شهدت بداية القرن التاسع عشر خطوات حاسمة في نشأة الهندسة اللاإقليدية. ففي حوالي عام ١٨١٣، وضع كارل فريدريش غاوس ، وبشكل مستقل في حوالي عام ١٨١٨، الأستاذ الألماني في القانون فرديناند كارل شفايكارت ^{[ ٩ ]،} الأفكار الأولية للهندسة اللاإقليدية. ونشر شفايكارت نتائجه في كتابه عام ١٨٠٧ ^{[ ١٠ ]} . ووفقًا لجورج بروس هالستيد ^{[ ١١ ]} ، "يُمكن اعتبار شفايكارت أول من نشر بحثًا واعيًا وحقيقيًا في الهندسة اللاإقليدية. وهذا يُحدد تاريخ أول ابتكار وتسمية واعية للهندسة اللاإقليدية بين عامي ١٨١٢ و١٨١٦." نشر فرانز تاورينوس، ابن شقيق شفايكارت، نتائج مهمة في حساب المثلثات الزائدية في ورقتين بحثيتين عامي 1825 و1826، ومع ذلك، فبينما أقر بالاتساق الداخلي للهندسة الزائدية، ظل يؤمن بالدور الخاص للهندسة الإقليدية. ^{[ 12 ]}

ثم، في عامي 1829-1830، نشر عالم الرياضيات الروسي نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي ، وفي عام 1832 نشر عالم الرياضيات المجري يانوش بولياي، كلٌ على حدة وبشكل مستقل، أطروحاتٍ حول الهندسة الزائدية. ونتيجةً لذلك، تُسمى الهندسة الزائدية بالهندسة اللوباتشيفسكية أو هندسة بولياي-لوباتشيفسكية، حيث يُعتبر كلا العالمين، كلٌ على حدة، من المؤلفين الأساسيين للهندسة غير الإقليدية. وقد ذكر غاوس لوالد بولياي، عندما عرض عليه عمل ابنه، أنه قد طور هندسةً مماثلة قبل عدة سنوات، ^{[ 13 ]} على الرغم من أنه لم ينشرها. وبينما ابتكر لوباتشيفسكي هندسةً غير إقليدية بنفي مسلمة التوازي، فقد وضع بولياي هندسةً تكون فيها كلٌ من الهندسة الإقليدية والزائدية ممكنةً اعتمادًا على المعامل k . يختتم بولياي عمله بالإشارة إلى أنه لا يمكن تحديد ما إذا كانت هندسة الكون المادي إقليدية أم غير إقليدية من خلال التفكير الرياضي وحده؛ فهذه مهمة للعلوم الفيزيائية.

أسس برنارد ريمان ، في محاضرة شهيرة ألقاها عام 1854، مجال الهندسة الريمانية ، متناولًا على وجه الخصوص المفاهيم المعروفة اليوم باسم المتشعبات ، والمقياس الريماني ، والانحناء . وقد بنى عائلة لانهائية من الهندسات غير الإقليدية من خلال تقديم صيغة لعائلة من المقاييس الريمانية على كرة الوحدة في الفضاء الإقليدي . أبسط هذه الهندسات هي الهندسة الإهليلجية ، وتُعتبر هندسة غير إقليدية نظرًا لافتقارها إلى الخطوط المتوازية. ^{[ 14 ]}

من خلال صياغة الهندسة بدلالة موتر الانحناء ، سمح ريمان بتطبيق الهندسة غير الإقليدية على الأبعاد الأعلى. وكان بلترامي (1868) أول من طبق هندسة ريمان على فضاءات ذات انحناء سالب.

مصطلحات

كان غاوس هو من صاغ مصطلح "الهندسة غير الإقليدية". ^{[ 15 ]} وكان يشير إلى عمله الخاص، الذي نسميه اليوم الهندسة الزائدية أو هندسة لوباتشيفسكي . ولا يزال العديد من المؤلفين المعاصرين يستخدمون مصطلح " الهندسة غير الإقليدية" بشكل عام للإشارة إلى الهندسة الزائدية . ^{[ 16 ]}

لاحظ آرثر كايلي أن المسافة بين النقاط داخل القطع المخروطي يمكن تعريفها بدلالة اللوغاريتم ودالة النسبة التبادلية الإسقاطية . وقد عُرفت هذه الطريقة باسم مقياس كايلي-كلاين، نسبةً إلى فيليكس كلاين الذي استغلها لوصف الهندسات غير الإقليدية في مقالتين ^{[ 17 ]} عامي 1871 و1873، ثم لاحقًا في كتاب. وقد وفرت مقاييس كايلي-كلاين نماذج عملية للهندسات المترية الزائدية والإهليلجية، بالإضافة إلى الهندسة الإقليدية.

يُنسب إلى كلاين مصطلحي "الزائدي" و"الإهليلجي" (في نظامه أطلق على الهندسة الإقليدية اسم " القطع المكافئ "، وهو مصطلح لم يعد يُستخدم على نطاق واسع ^{[ 18 ]} ). وقد أدى تأثيره إلى الاستخدام الحالي لمصطلح "الهندسة غير الإقليدية" ليعني إما الهندسة "الزائدية" أو الهندسة "الإهليلجية".

هناك بعض علماء الرياضيات الذين يرغبون في توسيع قائمة الأشكال الهندسية التي ينبغي تسميتها "غير إقليدية" بطرق مختلفة. ^{[ 19 ]}

هناك أنواع عديدة من الهندسة تختلف تمامًا عن الهندسة الإقليدية ولكنها لا تندرج بالضرورة ضمن المعنى التقليدي لـ "الهندسة غير الإقليدية"، مثل الحالات الأكثر عمومية للهندسة الريمانية .

الأساس البديهي للهندسة غير الإقليدية

يمكن وصف الهندسة الإقليدية بشكل بديهي بعدة طرق. مع ذلك، فإن نظام إقليدس الأصلي المكون من خمس مسلمات (بديهيات) ليس من بينها، إذ اعتمدت براهينه على عدة افتراضات ضمنية كان ينبغي اعتبارها بديهيات أيضًا. يُعد نظام هيلبرت، المؤلف من 20 بديهية ^{[ 20 ]} ، الأقرب إلى منهج إقليدس، ويُبرر جميع براهينه. أما الأنظمة الأخرى، التي تستخدم مجموعات مختلفة من المصطلحات غير المُعرَّفة، فتتوصل إلى نفس الهندسة عبر مسارات مختلفة. مع ذلك، تشترك جميع المناهج في بديهية تُكافئ منطقيًا مسلمة إقليدس الخامسة، وهي بديهية التوازي. يستخدم هيلبرت صيغة بديهية بلايفير، بينما يستخدم بيركوف ، على سبيل المثال، البديهية التي تنص على أنه "يوجد زوج من المثلثات المتشابهة ولكنها غير متطابقة". في أيٍّ من هذه الأنظمة، يؤدي حذفُ البديهية المكافئة لمسلمة التوازي، مهما كان شكلها، مع الإبقاء على جميع البديهيات الأخرى سليمة، إلى الهندسة المطلقة . ولأنّ القضايا الثماني والعشرين الأولى لإقليدس (في كتاب الأصول ) لا تتطلب استخدام مسلمة التوازي أو أيّ شيء مكافئ لها، فإنّها جميعًا عبارات صحيحة في الهندسة المطلقة. ^{[ 21 ]}

للحصول على هندسة غير إقليدية، يجب استبدال مسلمة التوازي (أو ما يعادلها) بنفيها . ويمكن نفي صيغة بديهية بلايفير ، كونها عبارة مركبة (... يوجد واحد فقط ...)، بطريقتين: إما أن يوجد أكثر من خط مستقيم يمر بالنقطة موازياً للخط المعطى، أو لا يوجد أي خط مستقيم يمر بالنقطة موازياً للخط المعطى.

في الحالة الأولى، يؤدي استبدال مسلمة التوازي (أو ما يعادلها) بالعبارة "في مستوى، إذا أعطيت نقطة P وخط $l$ لا يمر عبر P، فإنه يوجد خطان يمران عبر P ولا يتقاطعان مع $l$ " مع الإبقاء على جميع البديهيات الأخرى، إلى الهندسة الزائدية . ^{[ 22 ]}
لا يُمكن التعامل مع الحالة الثانية بسهولة. فمجرد استبدال مسلمة التوازي بالعبارة التالية: "في المستوى، إذا كانت لدينا نقطة P وخط $l$ لا يمر بها، فإن جميع الخطوط المارة بـ P تتقاطع مع $l$ "، لا يُعطي مجموعة متسقة من البديهيات. وهذا ناتج عن وجود خطوط متوازية في الهندسة المطلقة، ^{[ 23 ]} بينما تنص هذه العبارة على عدم وجود خطوط متوازية. كانت هذه المشكلة معروفة (بصورة مختلفة) لدى الخيام، وساكيري، ولامبرت، وكانت أساس رفضهم لما يُعرف بـ "حالة الزاوية المنفرجة". وللحصول على مجموعة متسقة من البديهيات تتضمن هذه البديهية المتعلقة بعدم وجود خطوط متوازية، يجب تعديل بعض البديهيات الأخرى. وتعتمد هذه التعديلات على نظام البديهيات المُستخدم. ومن بين هذه التعديلات، تغيير مسلمة إقليدس الثانية من القول بأن القطع المستقيمة يُمكن تمديدها إلى ما لا نهاية إلى القول بأن الخطوط غير محدودة. تبرز الهندسة الإهليلجية لريمان باعتبارها الهندسة الأكثر طبيعية التي تحقق هذه البديهية.

نماذج

نماذج الهندسة غير الإقليدية هي نماذج رياضية للهندسات غير الإقليدية، بمعنى أنه لا يمكن رسم خط واحد فقط موازٍ لخط معين (ل) يمر بنقطة (أ) لا تقع على (ل) . في المقابل، في نماذج الهندسة الزائدية، يوجد عدد لا نهائي من الخطوط المارة بالنقطة (أ) والموازية لـ (ل) ، بينما في نماذج الهندسة الإهليلجية، لا توجد خطوط متوازية. ( للمزيد من المعلومات، انظر مدخلات الهندسة الزائدية والهندسة الإهليلجية ).

تُنمذج الهندسة الإقليدية بمفهومنا عن " المستوى المسطح ". أما أبسط نموذج للهندسة الإهليلجية فهو الكرة، حيث تمثل الخطوط " دوائر عظمى " (مثل خط الاستواء أو خطوط الطول على الكرة الأرضية )، وتُعتبر النقاط المتقابلة متطابقة. وللكرة الزائفة الانحناء المناسب لتمثيل الهندسة الزائدية.

الهندسة الإهليلجية

أبسط نموذج للهندسة الإهليلجية هو الكرة، حيث تمثل الخطوط " دوائر عظمى " (مثل خط الاستواء أو خطوط الطول على الكرة الأرضية )، وتُعتبر النقاط المتقابلة (وتُسمى النقاط المضادة ) متطابقة. وهذا أيضًا أحد النماذج القياسية للمستوى الإسقاطي الحقيقي . والفرق هو أنه في الهندسة الإهليلجية، يُستخدم مقياس يسمح بقياس الأطوال والزوايا، بينما لا يُستخدم هذا المقياس في المستوى الإسقاطي.

في النموذج الإهليلجي، بالنسبة لأي خط معين $l$ ونقطة A ، التي لا تقع على $l$ ، فإن جميع الخطوط التي تمر عبر A ستتقاطع مع $l$ .

الهندسة الزائدية

حتى بعد أعمال لوباتشيفسكي، وجاوس، وبولياي، بقي السؤال مطروحًا: "هل يوجد نموذج كهذا للهندسة الزائدية ؟". أجاب يوجينيو بلترامي على هذا السؤال عام ١٨٦٨، حيث بيّن لأول مرة أن سطحًا يُسمى شبه الكرة له الانحناء المناسب لتمثيل جزء من الفضاء الزائدي ، وفي ورقة بحثية ثانية في العام نفسه، عرّف نموذج كلاين ، الذي يُمثل الفضاء الزائدي بأكمله، واستخدمه لإثبات أن الهندسة الإقليدية والهندسة الزائدية متسقتان منطقيًا ، بحيث تكون الهندسة الزائدية متسقة منطقيًا إذا وفقط إذا كانت الهندسة الإقليدية متسقة. (ويترتب على ذلك عكسيًا من نموذج الكرة الأفقية للهندسة الإقليدية).

في النموذج الزائدي، ضمن مستوى ثنائي الأبعاد، لأي خط معين $l$ ونقطة A ، التي لا تقع على $l$ ، هناك عدد لا نهائي من الخطوط التي تمر عبر A والتي لا تتقاطع مع $l$ .

في هذه النماذج، تُمثَّل مفاهيم الهندسة غير الإقليدية بأجسام إقليدية في بيئة إقليدية. يُحدث هذا تشويهاً إدراكياً حيث تُمثَّل الخطوط المستقيمة للهندسة غير الإقليدية بمنحنيات إقليدية تنحني بصرياً. هذا "الانحناء" ليس خاصية للخطوط غير الإقليدية، بل هو مجرد حيلة في طريقة تمثيلها.

الهندسة غير الإقليدية ثلاثية الأبعاد

في ثلاثة أبعاد، توجد ثمانية نماذج من الأشكال الهندسية. ^{[ 24 ]} هناك أشكال هندسية إقليدية، وإهليلجية، وقطع زائد، كما هو الحال في الحالة ثنائية الأبعاد؛ وأشكال هندسية مختلطة تكون جزئيًا إقليدية وجزئيًا قطع زائد أو كروية؛ وإصدارات ملتوية من الأشكال الهندسية المختلطة؛ وشكل هندسي غير عادي واحد غير متناحٍ تمامًا (أي أن كل اتجاه يتصرف بشكل مختلف).

خصائص غير شائعة

تتشابه الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية بطبيعتها في العديد من الخصائص، لا سيما تلك التي لا تعتمد على طبيعة التوازي. هذا التشابه هو موضوع الهندسة المطلقة (وتسمى أيضًا الهندسة المحايدة ). مع ذلك، فقد حظيت الخصائص التي تميز هندسة عن أخرى بأكبر قدر من الاهتمام تاريخيًا.

إلى جانب سلوك الخطوط بالنسبة إلى عمود مشترك، كما ذكرنا في المقدمة، لدينا أيضًا ما يلي:

الشكل الرباعي لامبرت هو شكل رباعي بثلاث زوايا قائمة. الزاوية الرابعة في الشكل الرباعي لامبرت حادة إذا كان الشكل الهندسي زائديًا، وقائمة إذا كان الشكل الهندسي إقليديًا، ومنفرجة إذا كان الشكل الهندسي إهليلجيًا. وعليه، فإن المستطيلات لا توجد (وهو ما يعادل مسلمة التوازي) إلا في الهندسة الإقليدية.
الشكل الرباعي ساكيري هو شكل رباعي له ضلعان متساويان في الطول، وكلاهما عمودي على ضلع يُسمى القاعدة . أما الزاويتان الأخريان في الشكل الرباعي ساكيري فتُسميان زاويتي القمة ، وهما متساويتان في القياس. وتكون زاويتا القمة حادتين إذا كان الشكل الهندسي زائديًا، وقائمة إذا كان الشكل الهندسي إقليديًا، ومنفرجتين إذا كان الشكل الهندسي إهليلجيًا.
يكون مجموع قياسات زوايا أي مثلث أقل من 180° إذا كان الشكل الهندسي زائديًا، ويساوي 180° إذا كان الشكل الهندسي إقليديًا، وأكبر من 180° إذا كان الشكل الهندسي إهليلجيًا. ويُعرف نقص المثلث بأنه القيمة العددية (180° - مجموع قياسات زوايا المثلث). ويمكن التعبير عن هذه النتيجة أيضًا كما يلي: نقص المثلثات في الشكل الهندسي الزائدي موجب، ونقص المثلثات في الشكل الهندسي الإقليدي صفر، ونقص المثلثات في الشكل الهندسي الإهليلجي سالب.

أهمية

قبل أن يقدم بلترامي وكلاين وبوانكاريه نماذج المستوى غير الإقليدي، كانت الهندسة الإقليدية هي النموذج الرياضي للفضاء بلا منازع . علاوة على ذلك، ولأن جوهر الموضوع في الهندسة التركيبية كان دليلاً رئيسياً على العقلانية، فقد مثّلت وجهة النظر الإقليدية سلطة مطلقة.

كان لاكتشاف الهندسات غير الإقليدية أثرٌ بالغٌ تجاوز حدود الرياضيات والعلوم. وقد مثّلت الهندسة دورًا محوريًا في معالجة الفيلسوف إيمانويل كانط للمعرفة الإنسانية، إذ كانت مثاله الأبرز للمعرفة التركيبية القبلية ؛ أي المعرفة غير المستمدة من الحواس أو المستنتجة منطقيًا، فمعرفتنا بالفضاء حقيقةٌ فطريةٌ نولد بها. وللأسف، كان مفهوم كانط لهذه الهندسة الثابتة إقليديًا. كما تأثرت اللاهوت أيضًا بالتحول من الحقيقة المطلقة إلى الحقيقة النسبية في طريقة ارتباط الرياضيات بالعالم المحيط، وهو ما نتج عن هذا التحول النموذجي. ^{[ 25 ]}

تُعدّ الهندسة اللاإقليدية مثالاً على ثورة علمية في تاريخ العلوم ، حيث غيّر علماء الرياضيات والعلوم نظرتهم إلى مواضيعهم. ^{[ 26 ]} وقد أطلق بعض علماء الهندسة على لوباتشيفسكي لقب " كوبرنيكوس الهندسة" نظراً للطابع الثوري لأعماله. ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}

أثّر وجود الهندسات غير الإقليدية على الحياة الفكرية في إنجلترا الفيكتورية من نواحٍ عديدة ^{[ 29 ]} ، وكان على وجه الخصوص أحد العوامل الرئيسية التي دفعت إلى إعادة النظر في تدريس الهندسة استنادًا إلى كتاب " الأصول" لإقليدس . وقد أُثير جدل حاد حول هذه المسألة المنهجية آنذاك، حتى أنها كانت موضوع كتاب " إقليدس ومنافسوه المعاصرون " الذي ألفه تشارلز لوتويدج دودجسون (1832-1898)، المعروف باسم لويس كارول ، مؤلف "أليس في بلاد العجائب" .

الجبر المستوي

في الهندسة التحليلية، يتم وصف المستوى باستخدام الإحداثيات الديكارتية :

C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}

يتم أحيانًا تحديد النقاط بأعداد مركبة معممة $z = x + y ε$ حيث ε ² ∈ { –1, 0, 1 } .

$يتوافق المستوى الإقليدي$ مع الحالة $ε² = -1 ،$ وهي وحدة تخيلية . بما أن معيار $z$ يُعطى بواسطة

zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(xy\epsilon )=x^{2}+y^{2},

هذه الكمية هي مربع المسافة الإقليدية بين

z

ونقطة الأصل.

على سبيل المثال، ${z | zz * = 1}$ هي دائرة الوحدة .

في الجبر المستوي، تظهر الهندسة غير الإقليدية في الحالات الأخرى. عندما يكون $ε²$ $= +1$ ، وهي وحدة زائدية ، يكون $z$ عددًا مركبًا منقسمًا ، ويستبدل $j$ عادةً بـ ε.

zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(xy\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!

و ${z | zz * = 1}$ هي القطع الزائد الوحدوي .

عندما يكون $ε 2 = 0$ ، فإن $z$ هو عدد ثنائي . ^{[ 30 ]}

يُفسر هذا النهج في الهندسة غير الإقليدية الزوايا غير الإقليدية: إذ تتوافق معلمات الميل في مستوى الأعداد الثنائية والزاوية الزائدية في مستوى الأعداد المركبة المنقسمة مع الزاوية في الهندسة الإقليدية. في الواقع، ينشأ كل منهما في التحليل القطبي للعدد المركب $z$ . ^{[ 31 ]}

الهندسة الحركية

وجدت الهندسة الزائدية تطبيقًا في علم الحركة مع علم الكونيات الفيزيائي الذي قدمه هيرمان مينكوفسكي عام 1908. أدخل مينكوفسكي مصطلحات مثل خط العالم والزمن الخاص إلى الفيزياء الرياضية . أدرك أن الفضاء الفرعي ، الذي يضم أحداثًا تقع لحظة زمنية خاصة واحدة في المستقبل، يمكن اعتباره فضاءً زائديًا ثلاثي الأبعاد. ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]} في تسعينيات القرن التاسع عشر، كان ألكسندر ماكفارلين يرسم خريطة هذا الفضاء الفرعي من خلال كتابه "جبر الفيزياء" والأعداد الرباعية الزائدية ، مع أن ماكفارلين لم يستخدم المصطلحات الكونية التي استخدمها مينكوفسكي عام 1908. يُطلق على البنية ذات الصلة الآن اسم نموذج القطع الزائد في الهندسة الزائدية.

تدعم الجبريات المستوية غير الإقليدية الهندسات الحركية في المستوى. على سبيل المثال، يمكن للعدد المركب المنقسم z = e ^{a j} أن يمثل حدثًا في الزمكان لحظةً واحدةً في المستقبل لإطار مرجعي ذي سرعة a . علاوة على ذلك، فإن الضرب في z يُعادل تحويل لورنتز الذي يُحوّل الإطار ذي السرعة الصفرية إلى الإطار ذي السرعة a .

تستخدم دراسة الحركة الأرقام الثنائية $z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,$ لتمثيل الوصف الكلاسيكي للحركة في الزمان والمكان المطلقين : المعادلات $x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t$ وهي تعادل عملية القص في الجبر الخطي: ${\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.$

مع الأرقام المزدوجة يكون التعيين هو $t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .$ ^{[ 34 ]}

قدّم إي. بي. ويلسون وجيلبرت لويس في وقائع الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم عام 1912 وجهة نظر أخرى حول النسبية الخاصة باعتبارها هندسة غير إقليدية . وقد أعادا صياغة الهندسة التحليلية الضمنية في جبر الأعداد المركبة المنقسمة إلى هندسة تركيبية من المقدمات والاستنتاجات. ^[³⁵^]^[³⁶^]

خيالي

كثيراً ما تظهر الهندسة غير الإقليدية في أعمال الخيال العلمي والفانتازيا .

في عام ١٨٩٥، نشر إتش جي ويلز القصة القصيرة "حالة ديفيدسون العجيبة". لفهم هذه القصة، ينبغي معرفة كيفية تحديد النقاط المتقابلة على الكرة في نموذج المستوى الإهليلجي. في القصة، وسط عاصفة رعدية، يرى سيدني ديفيدسون "أمواجًا وسفينة شراعية أنيقة بشكل لافت" أثناء عمله في مختبر كهربائي في كلية هارلو التقنية. في نهاية القصة، يثبت ديفيدسون أنه شاهد سفينة إتش إم إس فولمار قبالة جزيرة أنتيبوديس .
ترتبط الهندسة غير الإقليدية أحيانًا بتأثير كاتب أدب الرعب في القرن العشرين ، إتش بي لافكرافت . ففي أعماله، تخضع العديد من الأشياء غير الطبيعية لقوانين هندسية فريدة خاصة بها: ففي أساطير كثولو للافكرافت ، تتميز مدينة رليه الغارقة بهندستها غير الإقليدية. ويُلمح بقوة إلى أن هذا يتحقق كنتيجة ثانوية لعدم اتباع القوانين الطبيعية لهذا الكون، وليس ببساطة باستخدام نموذج هندسي بديل، إذ يُقال إن خطأها المتأصل قادر على دفع من ينظر إليها إلى الجنون. ^{[ 37 ]}
ذكر الشخصية الرئيسية في كتاب روبرت بيرسيج " زين وفن صيانة الدراجات النارية" الهندسة الريمانية في مناسبات متعددة.
في رواية الإخوة كارامازوف ، يناقش دوستويفسكي الهندسة غير الإقليدية من خلال شخصية إيفان.
تصف رواية كريستوفر بريست " العالم المقلوب " معاناة العيش على كوكب على شكل كرة زائفة دوارة .
تستخدم رواية روبرت هاينلاين " عدد الوحش" الهندسة غير الإقليدية لشرح الانتقال الفوري عبر المكان والزمان وبين الأكوان المتوازية والخيالية.
لعبة Zeno Rogue's HyperRogue هي لعبة روغلايك تدور أحداثها على المستوى الزائدي ، مما يسمح للاعب بتجربة العديد من خصائص هذا النوع من الهندسة. وتعتمد العديد من آليات اللعبة والمهام والمواقع بشكل كبير على خصائص الهندسة الزائدية. ^{[ 38 ]}
في عالم الخيال العلمي لـ Renegade Legion الخاص بلعبة الحرب ولعبة تقمص الأدوار والخيال من إنتاج FASA ، أصبح السفر والاتصالات أسرع من الضوء ممكنًا من خلال استخدام الهندسة غير الإقليدية متعددة الأبعاد لهسيه هو، والتي نُشرت في وقت ما في منتصف القرن الثاني والعشرين.
في رواية "فلاترلاند " لإيان ستيوارت ، تزور الشخصية الرئيسية فيكتوريا لاين جميع أنواع العوالم غير الإقليدية.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ إيدر، ميشيل (2000)، آراء حول مسلمة التوازي لإقليدس في اليونان القديمة والإسلام في العصور الوسطى ، جامعة روتجرز ، تاريخ الاطلاع: 23 يناير 2008
↑ بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكيفيتش، "الهندسة"، ص 470، في رشدي راشد وريجيس موريلون (1996)، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، ص 447-494، روتليدج ، لندن ونيويورك:
قدّم ثلاثة علماء، هم ابن الهيثم والخيام والطوسي، إسهامًا بالغ الأهمية في هذا الفرع من الهندسة، الذي لم تُدرك أهميته بالكامل إلا في القرن التاسع عشر. فقد جسّدت مقترحاتهم المتعلقة بخصائص الأشكال الرباعية - والتي افترضوا فيها أن بعض زوايا هذه الأشكال حادة أو منفرجة - النظريات الأولى في الهندسة الزائدية والقطع الناقص. وأظهرت مقترحاتهم الأخرى أن العديد من العبارات الهندسية تُكافئ المسلّمة الإقليدية الخامسة. ومن الأهمية بمكان أن هؤلاء العلماء قد أثبتوا العلاقة المتبادلة بين هذه المسلّمة ومجموع زوايا المثلث والشكل الرباعي. وبفضل أعمالهم في نظرية الخطوط المتوازية، أثّر علماء الرياضيات العرب بشكل مباشر على الدراسات ذات الصلة التي أجراها نظراؤهم الأوروبيون. وكانت أول محاولة أوروبية لإثبات مسلّمة الخطوط المتوازية من قِبل العالم البولندي ويتيلو في القرن الثالث عشر، أثناء مراجعته لكتاب المناظر لابن الهيثم . لا شك أن المصادر العربية كانت وراء هذا الطرح. فالأدلة التي قدمها العالم اليهودي ليفي بن جيرسون ، الذي عاش في جنوب فرنسا، وألفونسو المذكور آنفًا من إسبانيا، في القرن الرابع عشر، تُقارب بشكل مباشر برهان ابن الهيثم. وقد بيّنا سابقًا أن شرح الطوسي الزائف لإقليدس قد حفّز دراسات كلٍّ من ج. واليس وج. ساكيري لنظرية الخطوط المتوازية.
↑ بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكيفيتش (1996)، "الهندسة"، ص 467، في رشدي راشد وريجيس موريلون (1996)، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، ص 447-494، روتليدج ، ISBN 0-415-12411-5
1 2 فيكتور ج. كاتز (1998)، تاريخ الرياضيات: مقدمة ، ص 270-271، أديسون-ويسلي ، ISBN 0-321-01618-1:
لكن في مخطوطة يُرجّح أن يكون ابنه صدر الدين قد كتبها عام ١٢٩٨، استنادًا إلى أفكار ناصر الدين اللاحقة حول الموضوع، توجد حجة جديدة مبنية على فرضية أخرى، تُعادل أيضًا فرضية إقليدس، [...] تكمن أهمية هذا العمل الأخير في أنه نُشر في روما عام ١٥٩٤ ودُرِسَ من قِبَل علماء الهندسة الأوروبيين. وعلى وجه الخصوص، أصبح نقطة انطلاق لعمل ساكيري، وفي نهاية المطاف لاكتشاف الهندسة غير الإقليدية.
↑ بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكيفيتش (1996)، "الهندسة"، في رشدي راشد، محرر، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، الصفحات 447-494 [469]، روتليدج ، لندن ونيويورك:
في شرح بسودو-توسي لإقليدس ، [...] استُخدمت عبارة أخرى بدلًا من المسلّمة. كانت هذه العبارة مستقلة عن المسلّمة الإقليدية الخامسة، ويسهل إثباتها. [...] لقد راجع بشكل أساسي كلًا من النظام الإقليدي للبديهيات والمسلّمات، وبراهين العديد من القضايا الواردة في كتاب الأصول .
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "جيوفاني جيرولامو ساكيري" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "يوهان هاينريش لامبرت" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ ومن الاستثناءات البارزة ديفيد هيوم، الذي فكر بجدية في وقت مبكر من عام 1739 في إمكانية أن يكون كوننا غير إقليدي؛ انظر ديفيد هيوم (1739/1978) رسالة في الطبيعة البشرية ، إل إيه سيلبي-بيج، محرر (أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد)، الصفحات 51-52.
↑
في رسالة مؤرخة في ديسمبر 1818، قدّم فرديناند كارل شفايكارت (1780-1859) لمحةً عن بعض الأفكار حول الهندسة اللاإقليدية. أُحيلت الرسالة إلى غاوس عام 1819 من قِبَل تلميذه السابق جيرلينغ. وفي رده على جيرلينغ، أشاد غاوس بشفايكارت وذكر بحثه السابق في الهندسة اللاإقليدية. انظر:
- كارل فريدريش غاوس، Werke (لايبزيغ، ألمانيا: BG Teubner، 1900)، المجلد. 8، ص 180-182.
- تظهر الترجمات الإنجليزية لرسالة شفايكارت ورد غاوس على جيرلينج في: ملاحظات الدورة: "غاوس والهندسة غير الإقليدية"، جامعة واترلو، أونتاريو، كندا. مؤرشفة في 24-10-2016 على Wayback Machine ؛ انظر بشكل خاص الصفحتين 10 و11.
- تظهر رسائل شويكارت وكتابات ابن أخيه فرانز أدولف تورينوس ، الذي كان مهتمًا أيضًا بالهندسة غير الإقليدية والذي نشر في عام 1825 كتابًا موجزًا عن البديهية المتوازية، في: Paul Stäckel و Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen الهندسة (نظرية الخطوط المتوازية من إقليدس إلى غاوس، أرشيف الهندسة غير الإقليدية)، (لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر، ١٨٩٥)، الصفحات ٢٤٣ وما يليها.
^ Die Theorie der Parallellinien، لايبزيغ ، 1807
↑ هالستيد ، جي بي، "كتاب دراسي في الهندسة غير الإقليدية"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 8 (4): 84-87
↑ بونولا، ر. (1912)، الهندسة اللاإقليدية: دراسة نقدية وتاريخية لتطورها ، شيكاغو: أوبن كورت
في رسالته إلى فولفغانغ (فاركاس) بولياي بتاريخ 6 مارس 1832، يدّعي غاوس أنه عمل على هذه المسألة لمدة ثلاثين أو خمسة وثلاثين عامًا ( فابر 1983 ، ص 162) . وفي رسالته إلى تورينوس عام 1824 ( فابر 1983 ، ص 158)، ادّعى أنه كان يعمل على المسألة لأكثر من ثلاثين عامًا، وقدّم تفاصيل كافية تُثبت أنه قد توصل بالفعل إلى تفاصيلها. ووفقًا لفابر (1983 ، ص 156)، لم يتقبّل غاوس وجود هندسة جديدة إلا في حوالي عام 1813.
↑ ومع ذلك، يجب تغيير بديهيات أخرى إلى جانب مسلمة التوازي لجعل هذا شكلاً هندسياً قابلاً للتطبيق.
↑ فيليكس كلاين، الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة ، دوفر، 1948 (إعادة طبع للترجمة الإنجليزية للطبعة الثالثة، 1940. الطبعة الأولى بالألمانية، 1908.) ص 176.
↑ على سبيل المثال: كولتشيكي، ستيفان (1961)، الهندسة غير الإقليدية ، بيرغامون، ص 53 إيواساوا، كينكيتشي (1993)، الدوال الجبرية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 140، ISBN 978-0-8218-4595-0
^ ف. كلاين، Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie، Mathematische Annalen ، 4 (1871).
↑ لا يزال يُشار إلى المستوى الإقليدي على أنه مكافئ في سياق الهندسة المطابقة : انظر نظرية التوحيد .
↑ على سبيل المثال، وياغلوم 1968
↑ ظهرت بديهية الحادي والعشرين في الترجمة الفرنسية لكتاب هيلبرت " Grundlagen der Geometrie" وفقًا لسمارت 1997 ، ص 416
↑ ( سمارت 1997 ، ص 366)
↑ بينما تم افتراض وجود خطين فقط، فمن السهل إثبات أنه يجب أن يكون هناك عدد لا نهائي من هذه الخطوط.
↑ الكتاب الأول، القضية 27 من كتاب أصول إقليدس
↑
- ويليام ثورستون . الهندسة والطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد. المجلد 1. حرره سيلفيو ليفي. سلسلة برينستون الرياضية، 35. مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، 1997. 311 صفحة + 10 صفحات تمهيدية. ISBN 0-691-08304-5(شرح مفصل للأشكال الهندسية الثمانية وإثبات أنها ثمانية فقط)
↑ إيمري توث، "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse،" Evolutionstheorie und ihre Evolution ، ديتر هنريش، أد. (Schriftenreihe der Universität Regensburg، band 7، 1982) pp. 141–204.
^ انظر ترودو 2001 ، الصفحات من السابع إلى الثامن
↑ بيل، إي تي (1986)، رجال الرياضيات ، كتب تاتشستون، ص 294، رقم ISBN 978-0-671-62818-5ينسب المؤلف هذا الاقتباس إلى عالم رياضيات آخر، هو ويليام كينغدون كليفورد .
↑ هذا اقتباس من مقدمة مترجم جي بي هالستيد لترجمته لكتاب " نظرية المتوازيات" عام 1914 : "ماكان فيزاليوس لجالينوس ، وماكان كوبرنيكوس لبطليموس ، كان لوباتشيفسكي لإقليدس ." - دبليو كي كليفورد
↑ ( ريتشاردز 1988 )
↑ إسحاق ياغلوم (1968) الأعداد المركبة في الهندسة ، ترجمة إي. بريمروز عن النسخة الروسية الأصلية لعام 1963، ملحق "الهندسات غير الإقليدية في المستوى والأعداد المركبة"، الصفحات 195-219، دار النشر الأكاديمية ، نيويورك
↑ ريتشارد سي. تولمان (2004) نظرية نسبية الحركة ، ص 194، §180 الزاوية غير الإقليدية، §181 التفسير الحركي للزاوية من حيث السرعة
↑ هيرمان مينكوفسكي (1908-1909). "المكان والزمان" (ويكي مصدر).
↑ سكوت والتر (1999) النمط غير الإقليدي للنسبية الخاصة. مؤرشف بتاريخ 16-10-2013 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
↑ إسحاق ياغلوم (1979) هندسة غير إقليدية بسيطة وأساسها الفيزيائي : عرض تمهيدي للهندسة الغاليلية ومبدأ غاليليو النسبي، سبرينغر ISBN 0-387-90332-1
↑ إدوين ب. ويلسون وجيلبرت ن. لويس (1912) "متعدد الزمكان في النسبية. الهندسة غير الإقليدية للميكانيكا والكهرومغناطيسية" وقائع الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم 48: 387-507
↑ الزمكان الاصطناعي ، ملخص للمسلمات المستخدمة والنظريات التي أثبتها ويلسون ولويس. مؤرشف بواسطة WebCite
↑ "نداء كثولو"
↑ "موقع هايبرروج الإلكتروني"

مراجع

أكامبو، نوربرت ؛ بابادوبولوس، أثاناس (2012)، "ملاحظات حول الهندسة غير الإقليدية"، دورة ستراسبورغ المتقدمة في الهندسة ، زيورخ، سويسرا: الجمعية الرياضية الأوروبية، ص 1-182 ، doi : 10.4171/105-1/1 ، ISBN 978-3-03719-105-7، OCLC 776505866
أندرسون، جيمس و. (1999)، الهندسة الزائدية ، لندن: سبرينغر، ISBN 978-1-85233-156-6
بلترامي ، أوجينيو (1868)، “Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante” ، Annali di Matematica ، 2 (1): 232–255 ، دوى : 10.1007 / BF02419615
بلومنتال، ليونارد م. (1980)، نظرة حديثة للهندسة ، مينولا، نيويورك: دوفر، رقم ISBN 978-0-486-63962-8
كارول، لويس (1879)، إقليدس ومنافسوه المعاصرون ، لندن: ماكميلان
كوكسيتر، إتش إس إم (1961) [1942]، الهندسة غير الإقليدية ( الطبعة الرابعة)، تورنتو: مطبعة جامعة تورنتو
فابر، ريتشارد ل. (1983)، أسس الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، نيويورك: ديكر، ISBN 978-0-8247-1748-3
غراي، جيريمي (1989) [1979]، أفكار المكان: الإقليدي، وغير الإقليدي، والنسبي (الطبعة الثانية )، أكسفورد: مطبعة كلارندون، ISBN 978-0-19-853935-3
غرينبيرغ، مارفن ج. (2008)، الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية: التطور والتاريخ (الطبعة الرابعة )، نيويورك: دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-9948-1
كلاين، موريس (1972)، الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة ، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، ص 861-881، ISBN 978-0-19-501496-9
لافيندا، برنارد هـ. ، محرر (2012)، منظور جديد للنسبية: رحلة في الهندسات غير الإقليدية ، سنغافورة: وورلد ساينتيفيك، Bibcode : 2012npro.book.....L ، doi : 10.1142/9789814340496_0001 ، ISBN 978-981-4340-49-6
Lobačevskij، Nicolaj I. (2010)، قياس المساحة ، ترجمة بابادوبولوس، أثاناسي، زيورخ: الجمعية الرياضية الأوروبية، ISBN 978-3-03719-087-6
مانينغ، هنري باركر (1901)، الهندسة غير الإقليدية
ميشكوفسكي، هربرت (1964)، الهندسة اللاإقليدية ، ترجمة شينيتزر، أ.، نيويورك: أكاديميك برس
ميلنور، جون دبليو. (1982)، "الهندسة الزائدية: أول 150 عامًا" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 6 (1): 9-24 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1982-14958-8
ريتشاردز، جوان ل. (1988)، رؤى رياضية: السعي وراء الهندسة في إنجلترا الفيكتورية ، بوسطن: أكاديميك برس، ISBN 978-0-12-587445-8
سمارت، جيمس ر. (1997)، الهندسة الحديثة ( الطبعة الخامسة)، باسيفيك غروف، كاليفورنيا: بروكس/كول، رقم ISBN 978-0-534-35188-5
ستيوارت، إيان (2001)، فلاترلاند: مثل فلاتلاند، ولكن بشكل أكبر ، كامبريدج، ماساتشوستس: دار بيرسيوس للنشر، رقم ISBN 978-0-7382-0675-2
ستيلويل، جون (1996)، مصادر الهندسة الزائدية ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-0529-9
ترودو، ريتشارد ج. (2001) [1987]، الثورة اللاإقليدية ، بوسطن: بيركهاوزر، ISBN 978-1-4612-2102-9
لامبرت، يوهان هاينريش (2014)، بابادوبولوس، أثاناسي؛ تيريت ، غيوم (محرران)، La théorie des lignes parallèles de Johann Heinrich Lambert ، باريس: مكتبة ألبرت بلانشارد، ISBN 978-2-85367-266-5

روابط خارجية

وسائط متعلقة بالهندسة اللاإقليدية على ويكيميديا كومنز

روبرتو بونولا (1912) الهندسة غير الإقليدية ، المحكمة المفتوحة، شيكاغو.
أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "الهندسة غير الإقليدية" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
"الهندسات غير الإقليدية" مؤرشفة بتاريخ 9 يوليو 2015 على موقع Wayback Machine من موسوعة الرياضيات التابعة للجمعية الرياضية الأوروبية ودار نشر سبرينغر.
الزمكان الاصطناعي ، ملخص للمسلمات المستخدمة والنظريات التي أثبتها ويلسون ولويس. مؤرشف بواسطة WebCite .

[1] إيدر، ميشيل (2000)، آراء حول مسلمة التوازي لإقليدس في اليونان القديمة والإسلام في العصور الوسطى ، جامعة روتجرز ، تاريخ الاطلاع: 23 يناير 2008

[2] بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكيفيتش، "الهندسة"، ص 470، في رشدي راشد وريجيس موريلون (1996)، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، ص 447-494، روتليدج ، لندن ونيويورك:
قدّم ثلاثة علماء، هم ابن الهيثم والخيام والطوسي، إسهامًا بالغ الأهمية في هذا الفرع من الهندسة، الذي لم تُدرك أهميته بالكامل إلا في القرن التاسع عشر. فقد جسّدت مقترحاتهم المتعلقة بخصائص الأشكال الرباعية - والتي افترضوا فيها أن بعض زوايا هذه الأشكال حادة أو منفرجة - النظريات الأولى في الهندسة الزائدية والقطع الناقص. وأظهرت مقترحاتهم الأخرى أن العديد من العبارات الهندسية تُكافئ المسلّمة الإقليدية الخامسة. ومن الأهمية بمكان أن هؤلاء العلماء قد أثبتوا العلاقة المتبادلة بين هذه المسلّمة ومجموع زوايا المثلث والشكل الرباعي. وبفضل أعمالهم في نظرية الخطوط المتوازية، أثّر علماء الرياضيات العرب بشكل مباشر على الدراسات ذات الصلة التي أجراها نظراؤهم الأوروبيون. وكانت أول محاولة أوروبية لإثبات مسلّمة الخطوط المتوازية من قِبل العالم البولندي ويتيلو في القرن الثالث عشر، أثناء مراجعته لكتاب المناظر لابن الهيثم . لا شك أن المصادر العربية كانت وراء هذا الطرح. فالأدلة التي قدمها العالم اليهودي ليفي بن جيرسون ، الذي عاش في جنوب فرنسا، وألفونسو المذكور آنفًا من إسبانيا، في القرن الرابع عشر، تُقارب بشكل مباشر برهان ابن الهيثم. وقد بيّنا سابقًا أن شرح الطوسي الزائف لإقليدس قد حفّز دراسات كلٍّ من ج. واليس وج. ساكيري لنظرية الخطوط المتوازية.

[3] بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكيفيتش (1996)، "الهندسة"، ص 467، في رشدي راشد وريجيس موريلون (1996)، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، ص 447-494، روتليدج ، ISBN 0-415-12411-5

[Katz-4] 1 2 فيكتور ج. كاتز (1998)، تاريخ الرياضيات: مقدمة ، ص 270-271، أديسون-ويسلي ، ISBN 0-321-01618-1:
لكن في مخطوطة يُرجّح أن يكون ابنه صدر الدين قد كتبها عام ١٢٩٨، استنادًا إلى أفكار ناصر الدين اللاحقة حول الموضوع، توجد حجة جديدة مبنية على فرضية أخرى، تُعادل أيضًا فرضية إقليدس، [...] تكمن أهمية هذا العمل الأخير في أنه نُشر في روما عام ١٥٩٤ ودُرِسَ من قِبَل علماء الهندسة الأوروبيين. وعلى وجه الخصوص، أصبح نقطة انطلاق لعمل ساكيري، وفي نهاية المطاف لاكتشاف الهندسة غير الإقليدية.

[5] بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكيفيتش (1996)، "الهندسة"، في رشدي راشد، محرر، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، الصفحات 447-494 [469]، روتليدج ، لندن ونيويورك:
في شرح بسودو-توسي لإقليدس ، [...] استُخدمت عبارة أخرى بدلًا من المسلّمة. كانت هذه العبارة مستقلة عن المسلّمة الإقليدية الخامسة، ويسهل إثباتها. [...] لقد راجع بشكل أساسي كلًا من النظام الإقليدي للبديهيات والمسلّمات، وبراهين العديد من القضايا الواردة في كتاب الأصول .

[6] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "جيوفاني جيرولامو ساكيري" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[7] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "يوهان هاينريش لامبرت" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[8] ومن الاستثناءات البارزة ديفيد هيوم، الذي فكر بجدية في وقت مبكر من عام 1739 في إمكانية أن يكون كوننا غير إقليدي؛ انظر ديفيد هيوم (1739/1978) رسالة في الطبيعة البشرية ، إل إيه سيلبي-بيج، محرر (أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد)، الصفحات 51-52.

[9] في رسالة مؤرخة في ديسمبر 1818، قدّم فرديناند كارل شفايكارت (1780-1859) لمحةً عن بعض الأفكار حول الهندسة اللاإقليدية. أُحيلت الرسالة إلى غاوس عام 1819 من قِبَل تلميذه السابق جيرلينغ. وفي رده على جيرلينغ، أشاد غاوس بشفايكارت وذكر بحثه السابق في الهندسة اللاإقليدية. انظر:
كارل فريدريش غاوس، Werke (لايبزيغ، ألمانيا: BG Teubner، 1900)، المجلد. 8، ص 180-182.
تظهر الترجمات الإنجليزية لرسالة شفايكارت ورد غاوس على جيرلينج في: ملاحظات الدورة: "غاوس والهندسة غير الإقليدية"، جامعة واترلو، أونتاريو، كندا. مؤرشفة في 24-10-2016 على Wayback Machine ؛ انظر بشكل خاص الصفحتين 10 و11.
تظهر رسائل شويكارت وكتابات ابن أخيه فرانز أدولف تورينوس ، الذي كان مهتمًا أيضًا بالهندسة غير الإقليدية والذي نشر في عام 1825 كتابًا موجزًا عن البديهية المتوازية، في: Paul Stäckel و Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen الهندسة (نظرية الخطوط المتوازية من إقليدس إلى غاوس، أرشيف الهندسة غير الإقليدية)، (لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر، ١٨٩٥)، الصفحات ٢٤٣ وما يليها.

[mwAr4] كارل فريدريش غاوس، Werke (لايبزيغ، ألمانيا: BG Teubner، 1900)، المجلد. 8، ص 180-182.

[mwAsE] تظهر الترجمات الإنجليزية لرسالة شفايكارت ورد غاوس على جيرلينج في: ملاحظات الدورة: "غاوس والهندسة غير الإقليدية"، جامعة واترلو، أونتاريو، كندا. مؤرشفة في 24-10-2016 على Wayback Machine ؛ انظر بشكل خاص الصفحتين 10 و11.

[mwAsc] تظهر رسائل شويكارت وكتابات ابن أخيه فرانز أدولف تورينوس ، الذي كان مهتمًا أيضًا بالهندسة غير الإقليدية والذي نشر في عام 1825 كتابًا موجزًا عن البديهية المتوازية، في: Paul Stäckel و Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen الهندسة (نظرية الخطوط المتوازية من إقليدس إلى غاوس، أرشيف الهندسة غير الإقليدية)، (لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر، ١٨٩٥)، الصفحات ٢٤٣ وما يليها.

[10] Die Theorie der Parallellinien، لايبزيغ ، 1807

[11] هالستيد ، جي بي، "كتاب دراسي في الهندسة غير الإقليدية"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 8 (4): 84-87

[12] بونولا، ر. (1912)، الهندسة اللاإقليدية: دراسة نقدية وتاريخية لتطورها ، شيكاغو: أوبن كورت

[13] في رسالته إلى فولفغانغ (فاركاس) بولياي بتاريخ 6 مارس 1832، يدّعي غاوس أنه عمل على هذه المسألة لمدة ثلاثين أو خمسة وثلاثين عامًا ( فابر 1983 ، ص 162) . وفي رسالته إلى تورينوس عام 1824 ( فابر 1983 ، ص 158)، ادّعى أنه كان يعمل على المسألة لأكثر من ثلاثين عامًا، وقدّم تفاصيل كافية تُثبت أنه قد توصل بالفعل إلى تفاصيلها. ووفقًا لفابر (1983 ، ص 156)، لم يتقبّل غاوس وجود هندسة جديدة إلا في حوالي عام 1813.

[14] ومع ذلك، يجب تغيير بديهيات أخرى إلى جانب مسلمة التوازي لجعل هذا شكلاً هندسياً قابلاً للتطبيق.

[15] فيليكس كلاين، الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة ، دوفر، 1948 (إعادة طبع للترجمة الإنجليزية للطبعة الثالثة، 1940. الطبعة الأولى بالألمانية، 1908.) ص 176.

[16] على سبيل المثال: كولتشيكي، ستيفان (1961)، الهندسة غير الإقليدية ، بيرغامون، ص 53 إيواساوا، كينكيتشي (1993)، الدوال الجبرية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 140، ISBN 978-0-8218-4595-0

[17] ف. كلاين، Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie، Mathematische Annalen ، 4 (1871).

[18] لا يزال يُشار إلى المستوى الإقليدي على أنه مكافئ في سياق الهندسة المطابقة : انظر نظرية التوحيد .

[19] على سبيل المثال، وياغلوم 1968

[20] ظهرت بديهية الحادي والعشرين في الترجمة الفرنسية لكتاب هيلبرت " Grundlagen der Geometrie" وفقًا لسمارت 1997 ، ص 416

[21] ( سمارت 1997 ، ص 366)

[22] بينما تم افتراض وجود خطين فقط، فمن السهل إثبات أنه يجب أن يكون هناك عدد لا نهائي من هذه الخطوط.

[23] الكتاب الأول، القضية 27 من كتاب أصول إقليدس

[24] 
ويليام ثورستون . الهندسة والطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد. المجلد 1. حرره سيلفيو ليفي. سلسلة برينستون الرياضية، 35. مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، 1997. 311 صفحة + 10 صفحات تمهيدية. ISBN 0-691-08304-5(شرح مفصل للأشكال الهندسية الثمانية وإثبات أنها ثمانية فقط)

[mwAyk] ويليام ثورستون . الهندسة والطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد. المجلد 1. حرره سيلفيو ليفي. سلسلة برينستون الرياضية، 35. مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، 1997. 311 صفحة + 10 صفحات تمهيدية. ISBN 0-691-08304-5(شرح مفصل للأشكال الهندسية الثمانية وإثبات أنها ثمانية فقط)

[25] إيمري توث، "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse،" Evolutionstheorie und ihre Evolution ، ديتر هنريش، أد. (Schriftenreihe der Universität Regensburg، band 7، 1982) pp. 141–204.

[26] انظر ترودو 2001 ، الصفحات من السابع إلى الثامن

[27] بيل، إي تي (1986)، رجال الرياضيات ، كتب تاتشستون، ص 294، رقم ISBN 978-0-671-62818-5ينسب المؤلف هذا الاقتباس إلى عالم رياضيات آخر، هو ويليام كينغدون كليفورد .

[28] هذا اقتباس من مقدمة مترجم جي بي هالستيد لترجمته لكتاب " نظرية المتوازيات" عام 1914 : "ماكان فيزاليوس لجالينوس ، وماكان كوبرنيكوس لبطليموس ، كان لوباتشيفسكي لإقليدس ." - دبليو كي كليفورد

[29] ( ريتشاردز 1988 )

[30] إسحاق ياغلوم (1968) الأعداد المركبة في الهندسة ، ترجمة إي. بريمروز عن النسخة الروسية الأصلية لعام 1963، ملحق "الهندسات غير الإقليدية في المستوى والأعداد المركبة"، الصفحات 195-219، دار النشر الأكاديمية ، نيويورك

[31] ريتشارد سي. تولمان (2004) نظرية نسبية الحركة ، ص 194، §180 الزاوية غير الإقليدية، §181 التفسير الحركي للزاوية من حيث السرعة

[32] هيرمان مينكوفسكي (1908-1909). "المكان والزمان" (ويكي مصدر).

[33] سكوت والتر (1999) النمط غير الإقليدي للنسبية الخاصة. مؤرشف بتاريخ 16-10-2013 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .

[34] إسحاق ياغلوم (1979) هندسة غير إقليدية بسيطة وأساسها الفيزيائي : عرض تمهيدي للهندسة الغاليلية ومبدأ غاليليو النسبي، سبرينغر ISBN 0-387-90332-1

[35] إدوين ب. ويلسون وجيلبرت ن. لويس (1912) "متعدد الزمكان في النسبية. الهندسة غير الإقليدية للميكانيكا والكهرومغناطيسية" وقائع الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم 48: 387-507

[36] الزمكان الاصطناعي ، ملخص للمسلمات المستخدمة والنظريات التي أثبتها ويلسون ولويس. مؤرشف بواسطة WebCite

[37] "نداء كثولو"

[38] "موقع هايبرروج الإلكتروني"

[ 1 ]

ومع

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ ٧ ]

[ 8 ]

[ ٩ ]،

[ ١٠ ]

[ ١١ ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[

[

[ 37 ]

[ 38 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗