خاصية الحد الأعلى الأدنى

ليكن S مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية .

• يُطلق على العدد الحقيقي x اسم الحد الأعلى لـ S إذا كان x ≥ s لجميع s ∈ S.
• يكون العدد الحقيقي x هو الحد الأعلى الأدنى (أو الحد الأعلى ) لـ S إذا كان x حدًا أعلى لـ S و x ≤ y لكل حد أعلى y لـ S.

تنص خاصية الحد الأعلى الأدنى على أن أي مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية التي لها حد أعلى يجب أن يكون لها حد أعلى أدنى في الأعداد الحقيقية .

بشكلٍ أعم، يمكن تعريف الحد الأعلى والحد الأدنى الأعلى لأي مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة جزئيًا X ، مع استبدال "العدد الحقيقي" بـ "عنصر من X ". في هذه الحالة، نقول إن X تتمتع بخاصية الحد الأدنى الأعلى إذا كانت كل مجموعة جزئية غير فارغة من X ذات حد أعلى لها حد أدنى أعلى في X.

على سبيل المثال، لا تتمتع مجموعة الأعداد النسبية Q بخاصية الحد الأدنى والحد الأعلى وفقًا للترتيب المعتاد. على سبيل المثال، المجموعة

${\displaystyle \left\{x\in \mathbf {Q} :x^{2}\leq 2\right\}=\mathbf {Q} \cap \left(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right)}$

يمتلك حدًا أعلى في Q ، لكن ليس له حد أعلى أدنى في Q (لأن الجذر التربيعي للعدد اثنين عدد غير نسبي ). يستغل بناء الأعداد الحقيقية باستخدام قطوع ديديكيند هذا القصور بتعريف الأعداد غير النسبية على أنها الحدود العليا الدنيا لمجموعات جزئية معينة من الأعداد النسبية.

بالنسبة للأعداد الحقيقية، تُكافئ خاصية الحد الأعلى الأدنى أشكالًا أخرى من بديهية الاكتمال ، مثل تقارب متتابعات كوشي أو نظرية الفترات المتداخلة . يعتمد الوضع المنطقي لهذه الخاصية على طريقة بناء الأعداد الحقيقية المستخدمة: ففي المنهج التركيبي ، تُعتبر الخاصية عادةً بديهية ؛ أما في المناهج الأخرى، فيجب إثبات الخاصية كنظرية ، إما مباشرةً من طريقة البناء أو كنتيجة لشكل آخر من أشكال الاكتمال.

يمكن إثبات خاصية الحد الأعلى الأدنى من خاصية أرخميدس، بالإضافة إلى افتراض أن كل متتالية كوشي من الأعداد الحقيقية متقاربة. ^{[ 3 ]} ليكن S مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية. إذا كان S يحتوي على عنصر واحد فقط، فإن هذا العنصر الوحيد هو الحد الأعلى الأدنى. لذا، لنفترض _أن S تحتوي على أكثر من عنصر، وأن S لها حد أعلى B1 _. بما أن S غير فارغة وتحتوي على أكثر من عنصر، فإنه يوجد عدد حقيقي A1 ليس حدًا أعلى لـ S. عرّف المتتاليات A1 _، A2 _، A3 _، ... و B1 _، B2 ، _B3 ، ... بشكل تكراري كما _يلي :

1. تحقق مما إذا كان ( A _n + B _n ) ⁄ 2 حدًا أعلى لـ S.
2. إذا كان الأمر كذلك، فليكن A _{n +1} = A _n وليكن B _{n +1} = ( A _n + B _n ) ⁄ 2 .
3. وإلا فلا بد من وجود عنصر s في S بحيث يكون s > ( A _n + B _n ) ⁄ 2. لنفترض أن A _{n +1} = s ولنفترض أن B _{n +1} = B _n .

إذن _{، A₁} ≤ A₂ ≤ A₃ ≤ _... ≤ B₃ ≤ _B₂ ≤ B₁ _. الآن ، | _Aₙ − Bₙ | _→ 0 عندما n → ∞ _{، وفقًا لخاصية أرخميدس. يترتب على ذلك أن كلا المتتاليتين من نوع} كوشي ولهما نفس النهاية L ، والتي يجب أن تكون الحد الأعلى الأدنى لـ S.

لتكن f دالة متصلة من [ a , b ] إلى R ، ولنفترض أن f ( a ) < 0 و f ( b ) > 0. في هذه الحالة، تنص نظرية القيمة المتوسطة على أن f يجب أن يكون لها جذر في الفترة [ a , b ] . يمكن إثبات هذه النظرية بالنظر إلى المجموعة

S = { s ∈ [ a , b ] : f ( x ) < 0 لجميع x ≤ s } .

أي أن S هي الجزء الأولي من [ a , b ] الذي يأخذ قيمًا سالبة تحت تأثير f . عندئذٍ يكون b حدًا أعلى لـ S ، ويجب أن يكون الحد الأعلى الأصغر جذرًا لـ f .

تنص نظرية بولزانو-ويرستراس للأعداد الحقيقية R على أن كل متتالية x_{_n} من الأعداد الحقيقية في فترة مغلقة [ a , b ] يجب أن يكون لها متتالية جزئية متقاربة . ويمكن إثبات هذه النظرية من خلال النظر في المجموعة

S = { s ∈ [ a , b ] : s ≤ x _n لعدد لا نهائي من قيم n }

بوضوح، ${\displaystyle a\in S}$و S ليست فارغة. بالإضافة إلى ذلك، b حدٌّ أعلى لـ S ، لذا فإن S لها حدٌّ أعلى أصغر c . إذن، يجب أن تكون c نقطة نهاية للمتتالية x _n ، ويترتب على ذلك أن x _n لها متتالية جزئية تتقارب إلى c .

لتكن f دالة متصلة من [ a , b ] إلى R ، ولتكن M = sup f ([ a , b ]) ، حيث M = ∞ إذا لم يكن لـ f ([ a , b ]) حد أعلى. تنص نظرية القيمة القصوى على أن M محدودة و f ( c ) = M لبعض c ∈ [ a , b ] . يمكن إثبات ذلك بالنظر إلى المجموعة

S = { s ∈ [ a , b ] : sup f ([ s , b ]) = M } .

بحسب تعريف M ، فإن a ∈ S ، وبحسب تعريفها الخاص، فإن S محدودة بـ b . إذا كان c هو الحد الأعلى الأدنى لـ S ، فإنه يتبع من الاستمرارية أن f ( c ) = M.

ليكن [ a , b ] فترة مغلقة في R ، ولتكن { Uα _} مجموعة من المجموعات المفتوحة التي تغطي [ a , b ] . تنص نظرية هاين-بوريل على أن مجموعة جزئية منتهية من { Uα _} تغطي [ a , b ] أيضًا. يمكن إثبات هذه العبارة بالنظر إلى المجموعة

S = { s ∈ [ a , b ] : [ a , s ] يمكن تغطيتها بواسطة عدد محدود من U _α } .

من الواضح أن المجموعة S تحتوي على a ، وهي محدودة بـ b بحسب تعريفها. وبحسب خاصية الحد الأعلى الأدنى، فإن S لها حد أعلى أدنى c ∈ [ a , b ] . بالتالي، فإن c عنصر من مجموعة مفتوحة Uα ، ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لـ c < b، يمكن تغطية [ a , c + δ ] بعدد محدود من Uα لبعض δ > 0 الصغيرة بما فيه الكفاية _. هذا يثبت أن c + δ ∈ S وأن c ليس حدًا أعلى لـ S. ونتيجة لذلك _، c = b .