قبة نورتون

يوضح نورتون أن هناك فئتين من الحلول الرياضية لهذه المعادلة. في الأولى، يبقى الجسيم مستقرًا عند قمة القبة إلى الأبد، ويُعطى هذا الحل بالمعادلة التالية:

$${\displaystyle r(t)=0.}$$

في الحالة الثانية، تستقر الجسيمة عند قمة القبة لفترة من الزمن، ثم بعد فترة زمنية عشوائية T تبدأ بالانزلاق لأسفل القبة في اتجاه عشوائي. ويُعطى هذا بالحل التالي: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle r(t)={\begin{cases}0&t\leq T,\\[4pt]{\frac {1}{144}}[b(tT)]^{4}&t>T.\end{cases}}}$$

الأهم من ذلك أن هذين الحلين يمثلان حلاً لمسألة القيمة الابتدائية :

$${\displaystyle {\ddot {r}}=b^{2}{\sqrt {r}},\quad r(0)=0,\quad {\dot {r}}(0)=0.}$$

لذا، ضمن إطار الميكانيكا النيوتونية، يمتلك هذا السؤال حلاً غير محدد؛ بمعنى آخر، بالنظر إلى الشروط الابتدائية، توجد مسارات متعددة محتملة يمكن أن يسلكها الجسيم. هذه هي المفارقة التي تشير إلى أن الميكانيكا النيوتونية قد تكون نظامًا غير محدد.

لإثبات أن جميع معادلات الحركة هذه تمثل حلولاً ممكنة فيزيائياً، من المفيد استخدام خاصية انعكاس الزمن في الميكانيكا النيوتونية. فمن الممكن دحرجة كرة على سطح قبة بحيث تصل إلى قمتها في زمن محدد وبطاقة معدومة، ثم تتوقف هناك. وبانعكاس الزمن، يصبح من الممكن أن تستقر الكرة في الأعلى لفترة وجيزة ثم تتدحرج إلى أسفل في أي اتجاه.

ومع ذلك، فإن الحجة نفسها المطبقة على الأنواع المعتادة من القباب (مثل نصف الكرة) تفشل، لأن الكرة التي تُطلق بالطاقة المناسبة تمامًا للوصول إلى القمة والبقاء هناك ستستغرق في الواقع وقتًا لا نهائيًا للقيام بذلك. ^{[ 8 ]}

لاحظ في الحالة الثانية أن الجسيم يبدو أنه بدأ في التحرك بدون سبب وبدون أي قوة شعاعية تؤثر عليه من قبل أي كيان آخر، وهو ما يتعارض ظاهريًا مع كل من الحدس الفيزيائي والمفاهيم الحدسية العادية للسبب والنتيجة ، ومع ذلك فإن الحركة لا تزال متسقة تمامًا مع رياضيات قوانين نيوتن للحركة، لذلك لا يمكن استبعادها على أنها غير فيزيائية.