طريقة الفروق المحدودة

في التحليل العددي ، تُعدّ طرق الفروق المحدودة ( FDM ) فئة من التقنيات العددية لحل المعادلات التفاضلية عن طريق تقريب المشتقات باستخدام الفروق المحدودة . يتم تقسيم كل من المجال المكاني والمجال الزمني (إن وجد) إلى عدد محدود من الفترات، ويتم تقريب قيم الحل عند نقاط نهاية هذه الفترات عن طريق حل معادلات جبرية تحتوي على فروق محدودة وقيم من نقاط مجاورة.

تحوّل طرق الفروق المحدودة المعادلات التفاضلية العادية (ODE) أو المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE)، التي قد تكون غير خطية ، إلى نظام من المعادلات الخطية التي يمكن حلها باستخدام تقنيات جبر المصفوفات . تستطيع الحواسيب الحديثة إجراء هذه العمليات الحسابية الجبرية الخطية بكفاءة عالية، وهذا، إلى جانب سهولة تطبيقها نسبيًا، أدى إلى انتشار استخدام طرق الفروق المحدودة في التحليل العددي الحديث. ^{[ 1 ]} تُعدّ طرق الفروق المحدودة اليوم من أكثر الطرق شيوعًا للحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية، إلى جانب طرق العناصر المحدودة . ^{[ 1 ]}

بالنسبة لدالة قابلة للتفاضل n مرة، وبحسب نظرية تايلور ، فإن متسلسلة تايلور تُعطى على النحو التالي: $${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x),}$$

حيث n ! يشير إلى مضروب n ، و R _n ( x ) هو حد الباقي ، الذي يشير إلى الفرق بين متعددة حدود تايلور من الدرجة n والدالة الأصلية.

فيما يلي عملية اشتقاق تقريب للمشتقة الأولى للدالة f عن طريق اقتطاع متعددة حدود تايلور بالإضافة إلى الباقي: $${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x).}$$ القسمة على h تعطي: $${\displaystyle {f(x_{0}+h) \over h}={f(x_{0}) \over h}+f'(x_{0})+{R_{1}(x) \over h}}$$ حل لـ${\displaystyle f'(x_{0})}$: $${\displaystyle f'(x_{0})={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}-{R_{1}(x) \over h}.}$$

بافتراض أن${\displaystyle R_{1}(x)}$إذا كانت صغيرة بما يكفي، فإن تقريب المشتقة الأولى للدالة f هو: $${\displaystyle f'(x_{0})\approx {f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}.}$$

وهذا يشبه تعريف المشتقة، وهو: $${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$$ باستثناء الحد المتجه نحو الصفر (سميت الطريقة بهذا الاسم).

يُعرَّف الخطأ في حل الطريقة بأنه الفرق بين الحل التقريبي والحل التحليلي الدقيق. ومصدرا الخطأ في طرق الفروق المحدودة هما: خطأ التقريب ، وهو فقدان الدقة الناتج عن تقريب الكميات العشرية بواسطة الحاسوب، وخطأ الاقتطاع أو خطأ التقطيع ، وهو الفرق بين الحل الدقيق للمعادلة التفاضلية الأصلية والكمية الدقيقة بافتراض دقة حسابية مثالية (بدون تقريب).

لاستخدام طريقة الفروق المحدودة لتقريب حل مسألة ما، يجب أولاً تقسيم مجال المسألة إلى عناصر منفصلة. ويتم ذلك عادةً بتقسيم المجال إلى شبكة منتظمة (انظر الصورة). وهذا يعني أن طرق الفروق المحدودة تُنتج مجموعات من التقريبات العددية المنفصلة للمشتقة، غالباً بطريقة "الخطوة الزمنية".

يُعدّ خطأ الاقتطاع المحلي لطريقة ما تعبيرًا ذا أهمية عامة . ويُعبّر عنه عادةً باستخدام ترميز Big-O ، ويشير خطأ الاقتطاع المحلي إلى الخطأ الناتج عن تطبيق واحد للطريقة. أي أنه الكمية${\displaystyle f'(x_{i})-f'_{i}}$لو${\displaystyle f'(x_{i})}$يشير إلى القيمة الدقيقة و${\displaystyle f'_{i}}$للتقريب العددي. يمكن استخدام حد الباقي من متعددة حدود تايلور لتحليل خطأ القطع المحلي . باستخدام صيغة لاغرانج لباقي متعددة حدود تايلور لـ${\displaystyle f(x_{0}+h)}$، وهو $${\displaystyle R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}\,,\quad x_{0}<\xi <x_{0}+h,}$$ يمكن اكتشاف الحد المهيمن لخطأ الاقتطاع المحلي. على سبيل المثال، باستخدام صيغة الفرق الأمامي للمشتقة الأولى، مع العلم أن${\displaystyle f(x_{i})=f(x_{0}+ih)}$، $${\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2},}$$ وببعض التلاعب الجبري، يؤدي هذا إلى $${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2!}}ih,}$$ وبملاحظة أن الكمية على اليسار هي القيمة التقريبية المحسوبة باستخدام طريقة الفروق المحدودة، وأن الكمية على اليمين هي الكمية المطلوبة مضافًا إليها باقي، فمن الواضح أن هذا الباقي هو خطأ الاقتطاع المحلي. الصيغة النهائية لهذا المثال وترتيبه هي: $${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).}$$

في هذه الحالة، يتناسب خطأ الاقتطاع المحلي طرديًا مع أحجام الخطوات. وتعتمد جودة ومدة حل FDM المُحاكى على اختيار معادلة التقطيع وأحجام الخطوات (الخطوات الزمنية والمكانية). وتزداد جودة البيانات ومدة المحاكاة بشكل ملحوظ مع صغر حجم الخطوة. ^{[ 2 ]} لذا، من الضروري تحقيق توازن معقول بين جودة البيانات ومدة المحاكاة للاستخدام العملي. تُعد الخطوات الزمنية الكبيرة مفيدة لزيادة سرعة المحاكاة عمليًا. مع ذلك، قد تُسبب الخطوات الزمنية الكبيرة جدًا عدم استقرار وتؤثر على جودة البيانات. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تُستخدم معايير فون نيومان وكوران -فريدريش-ليفي بشكل متكرر لتحديد استقرار النموذج العددي. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

على سبيل المثال، لننظر إلى المعادلة التفاضلية العادية $${\displaystyle u'(x)=3u(x)+2.}$$ تستخدم طريقة أويلر لحل هذه المعادلة حاصل قسمة الفروق المحدودة $${\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)}$$ لتقريب المعادلة التفاضلية عن طريق استبدالها أولاً بـ${\displaystyle u'(x)}$ثم بتطبيق بعض العمليات الجبرية (ضرب كلا الطرفين في h ، ثم إضافة${\displaystyle u(x)}$(لكلا الجانبين) للحصول على $${\displaystyle u(x+h)\approx u(x)+h(3u(x)+2).}$$ المعادلة الأخيرة هي معادلة فرقية محدودة، وحل هذه المعادلة يعطي حلاً تقريبياً للمعادلة التفاضلية.

لنفترض معادلة الحرارة المعيارية في بُعد واحد، مع شروط حدودية متجانسة من نوع ديريشليه

$${\displaystyle {\begin{cases}U_{t}=U_{xx}\\U(0,t)=U(1,t)=0&{\text{(boundary condition)}}\\U(x,0)=U_{0}(x)&{\text{(initial condition)}}\end{cases}}}$$

إحدى طرق حل هذه المعادلة عدديًا هي تقريب جميع المشتقات باستخدام الفروق المحدودة. أولًا، قسّم المجال في الفضاء باستخدام شبكة.${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{J}}$وبمرور الوقت باستخدام شبكة${\displaystyle t_{0},\dots ,t_{N}}$بافتراض تقسيم منتظم في المكان والزمان، فإن الفرق بين نقطتين مكانيتين متتاليتين سيكون h ، وبين نقطتين زمنيتين متتاليتين سيكون k .

$${\displaystyle u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}}$$

سيمثل التقريب العددي لـ${\displaystyle u(x_{j},t_{n}).}$

طريقة صريحة

باستخدام الفرق الأمامي في الوقت${\displaystyle t_{n}}$وفرق مركزي من الدرجة الثانية للمشتقة المكانية عند الموضع${\displaystyle x_{j}}$( FTCS ) تعطي معادلة التكرار:

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.}$$

هذه طريقة صريحة لحل معادلة الحرارة أحادية البعد .

يمكن للمرء أن يحصل${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$من القيم الأخرى بهذه الطريقة:

$${\displaystyle u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$$

أين${\displaystyle r=k/h^{2}.}$

لذا، باستخدام علاقة التكرار هذه، ومعرفة القيم عند الزمن n ، يمكن للمرء الحصول على القيم المقابلة عند الزمن n + 1.${\displaystyle u_{0}^{n}}$و${\displaystyle u_{J}^{n}}$يجب استبدالها بشروط الحدود، وفي هذا المثال كلاهما يساوي صفرًا.

من المعروف أن هذه الطريقة الصريحة مستقرة عدديًا ومتقاربة كلما${\displaystyle r\leq 1/2}$[ ^{7 ]} الأخطاء العددية تتناسب مع خطوة الزمن ومربع خطوة المكان ^:$${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2})}$$

الطريقة الضمنية

باستخدام الفرق العكسي في الوقت${\displaystyle t_{n+1}}$وفرق مركزي من الدرجة الثانية للمشتقة المكانية عند الموضع${\displaystyle x_{j}}$(طريقة الزمن العكسي، الفضاء المركزي "BTCS") تعطي معادلة التكرار:

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.}$$

هذه طريقة ضمنية لحل معادلة الحرارة أحادية البعد .

يمكن للمرء أن يحصل${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$من خلال حل نظام من المعادلات الخطية:

$${\displaystyle (1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}}$$

تتميز هذه الطريقة بالاستقرار العددي والتقارب، ولكنها عادةً ما تتطلب موارد حاسوبية أكثر من الطريقة الصريحة، إذ تستلزم حل نظام من المعادلات العددية في كل خطوة زمنية. وتكون الأخطاء خطية على مدى الخطوة الزمنية، وتربيعية على مدى الخطوة المكانية. $${\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2}).}$$

طريقة كرانك نيكولسون

وأخيرًا، باستخدام الفرق المركزي في الوقت${\displaystyle t_{n+1/2}}$وفرق مركزي من الدرجة الثانية للمشتقة المكانية عند الموضع${\displaystyle x_{j}}$("CTCS") تعطي معادلة التكرار:

$${\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\right).}$$

تُعرف هذه الصيغة باسم طريقة كرانك-نيكلسون .

يمكن للمرء أن يحصل${\displaystyle u_{j}^{n+1}}$من خلال حل نظام من المعادلات الخطية:

$${\displaystyle (2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}$$

تتميز هذه الطريقة بالاستقرار العددي والتقارب الدائم، ولكنها عادةً ما تتطلب موارد حاسوبية أكبر لأنها تستلزم حل نظام من المعادلات العددية في كل خطوة زمنية. وتكون الأخطاء تربيعية بالنسبة لكل من الخطوة الزمنية والخطوة المكانية. $${\displaystyle \Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).}$$

مقارنة

باختصار، عادةً ما تكون طريقة كرانك - نيكلسون هي الأكثر دقةً للخطوات الزمنية الصغيرة. أما للخطوات الزمنية الأكبر، فإن الطريقة الضمنية تُعطي نتائج أفضل نظرًا لانخفاض متطلباتها الحسابية. بينما تُعدّ الطريقة الصريحة الأقل دقةً وقد تكون غير مستقرة، إلا أنها الأسهل تطبيقًا والأقل استهلاكًا للموارد الحسابية.

إليكم مثالاً. توضح الأشكال أدناه الحلول التي تم التوصل إليها باستخدام الطرق المذكورة أعلاه لتقريب معادلة الحرارة

$${\displaystyle U_{t}=\alpha U_{xx},\quad \alpha ={\frac {1}{\pi ^{2}}},}$$

مع شرط الحدود

$${\displaystyle U(0,t)=U(1,t)=0.}$$

الحل الدقيق هو

$${\displaystyle U(x,t)={\frac {1}{\pi ^{2}}}e^{-t}\sin(\pi x).}$$

مقارنة طرق الفروق المحدودة

طريقة صريحة ( غير مستقرة)

طريقة ضمنية (مستقرة)

طريقة كرانك-نيكلسون (مستقرة)

عامل لابلاس (المستمر) في${\displaystyle n}$الأبعاد معطاة بواسطة${\displaystyle \Delta u(x)=\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}u(x)}$. عامل لابلاس المنفصل${\displaystyle \Delta _{h}u}$يعتمد على البُعد${\displaystyle n}$.

في بُعد واحد، يتم تقريب مؤثر لابلاس على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta u(x)=u''(x)\approx {\frac {u(x-h)-2u(x)+u(x+h)}{h^{2}}}=:\Delta _{h}u(x)\,.}$$ يُعبَّر عن هذا التقريب عادةً باستخدام القالب التالي$${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}$$ والتي تمثل مصفوفة متناظرة ثلاثية الأقطار. أما بالنسبة لشبكة متساوية المسافات، فنحصل على مصفوفة توبليتز .

تُظهر الحالة ثنائية الأبعاد جميع خصائص الحالة الأكثر عمومية ذات الأبعاد n. يجب تقريب كل مشتق جزئي ثانٍ بشكل مشابه للحالة أحادية البعد. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta u(x,y)&=u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)\\&\approx {\frac {u(x-h,y)-2u(x,y)+u(x+h,y)}{h^{2}}}+{\frac {u(x,y-h)-2u(x,y)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&={\frac {u(x-h,y)+u(x+h,y)-4u(x,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&=:\Delta _{h}u(x,y)\,,\end{aligned}}}$$ والتي يتم تحديدها عادةً بواسطة القالب التالي$${\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}&1\\1&-4&1\\&1\end{bmatrix}}\,.}$$

تُعدّ طريقة SBP-SAT ( الجمع بالتجزئة - حد التقريب المتزامن ) تقنية مستقرة ودقيقة لتقسيم وفرض الشروط الحدية لمعادلة تفاضلية جزئية خطية جيدة التحديد باستخدام الفروق المحدودة عالية الرتبة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

تعتمد هذه الطريقة على الفروق المحدودة، حيث تُظهر معاملات التفاضل خصائص الجمع بالتجزئة . تتكون هذه المعاملات عادةً من مصفوفات تفاضل ذات قوالب فرق مركزي في الداخل، مع قوالب حدودية أحادية الجانب مختارة بعناية لمحاكاة التكامل بالتجزئة في الحالة المنفصلة. باستخدام تقنية SAT، تُفرض الشروط الحدية للمعادلة التفاضلية الجزئية بشكل ضعيف، حيث تُسحب القيم الحدية نحو الشروط المطلوبة بدلاً من تحقيقها بدقة. إذا تم اختيار معلمات الضبط (المتأصلة في تقنية SAT) بشكل صحيح، فإن نظام المعادلات التفاضلية العادية الناتج سيُظهر سلوكًا طاقيًا مشابهًا للمعادلة التفاضلية الجزئية المستمرة، أي أن النظام لا يشهد نموًا غير فيزيائي في الطاقة. يضمن هذا الاستقرار في حال استخدام مخطط تكامل ذي منطقة استقرار تشمل أجزاءً من المحور التخيلي، مثل طريقة رونج-كوتا من الرتبة الرابعة. يجعل هذا من تقنية SAT طريقةً جذابةً لفرض شروط الحدود لطرق الفروق المحدودة ذات الرتب العليا، على عكس طريقة الحقن، التي عادةً ما تكون غير مستقرة عند استخدام عوامل تفاضل ذات رتب عالية. ويمكن للصياغة الجمعية لحدود SAT تبسيط التطبيقات الفعالة لهذه الطريقة على وحدات معالجة الرسومات أو غيرها من البنى الحديثة عالية الأداء، وذلك بمعاملة شروط الحدود كحدود تصحيح منفصلة، ​​على عكس طرق الفروق المحدودة التي تفرض شروط الحدود من خلال الحقن المباشر لبيانات الحدود. ^{[ 10 ]}

• KW Morton and DF Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction . Cambridge University Press, 2005.
• أوتار كاو وإي. إريك كالو، الطرق العددية مع التطبيقات ، (2008). يحتوي على مقدمة موجزة ذات توجه هندسي حول طريقة الفروق المحدودة (للمعادلات التفاضلية العادية) في الفصل 08.07 .
• جون ستريكويردا (2004). مخططات الفروق المحدودة والمعادلات التفاضلية الجزئية (  الطبعة الثانية). SIAM. ISBN 978-0-89871-639-9.
• سميث، جي دي (1985)، الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية: طرق الفروق المحدودة، الطبعة الثالثة ، مطبعة جامعة أكسفورد
• بيتر أولفر (2013). مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية . سبرينغر. الفصل 5: الفروق المحدودة. ISBN 978-3-319-02099-0..
• راندال ج. ليفيك ، طرق الفروق المحدودة للمعادلات التفاضلية العادية والجزئية ، SIAM، 2007.
• سيرجي ليميشيفسكي، بيوتر ماتوس، دميتري بولياكوف (محررون): “مخططات الفروق المحدودة الدقيقة”، دي جرويتر (2016). دوي: https://doi.org/10.1515/9783110491326 .
• ميخائيل شاشكوف: طرق الفروق المحدودة المحافظة على الشبكات العامة ، مطبعة CRC، ISBN 0-8493-7375-1 (1996).