عدم المساواة في أونو

في الرياضيات ، تُعدّ متباينة أونو نظريةً تتعلق بالمثلثات في المستوى الإقليدي . في صيغتها الأصلية، كما افترضها تودا أونو (小野藤太) عام 1914، تكون المتباينة خاطئة في الواقع؛ ومع ذلك، فإنّ العبارة صحيحة بالنسبة للمثلثات الحادة الزوايا ، كما بيّن ذلك ف. باليتراند عام 1916.

لنفترض مثلثًا حاد الزوايا (أي مثلثًا بثلاث زوايا حادة ) في المستوى الإقليدي بأطوال أضلاع a و b و c ومساحة S.

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4S)^{6}.}$

لا تنطبق هذه المتباينة على المثلثات العامة (التي انطبقت عليها فرضية أونو الأصلية)، كما يتضح من المثال المضاد.${\displaystyle a=2,\,\,b=3,\,\,c=4,\,\,S=3{\sqrt {15}}/4.}$

تتحقق المتباينة مع المساواة في حالة المثلث متساوي الأضلاع ، حيث تكون أضلاعه متساوية حتى التشابه.${\displaystyle 1,1,1}$والمنطقة${\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

بقسمة طرفي المتباينة على${\displaystyle 64(abc)^{4}}$، فنحصل على:

${\displaystyle 27{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}}{\frac {(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}c^{2}}}{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}\leq {\frac {4S^{2}}{b^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}b^{2}}}}$

باستخدام الصيغة${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}bc\sin {A}}$لحساب مساحة المثلث، وبتطبيق قانون جيب التمام على الجانب الأيسر، نحصل على:

${\displaystyle 27(\cos {A}\cos {B}\cos {C})^{2}\leq (\sin {A}\sin {B}\sin {C})^{2}}$

ثم استخدام الهوية${\displaystyle \tan {A}+\tan {B}+\tan {C}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}}$وهو ما ينطبق على جميع المثلثات في المستوى الإقليدي، لذا نحول المتباينة أعلاه إلى:

${\displaystyle 27(\tan {A}\tan {B}\tan {C})\leq (\tan {A}+\tan {B}+\tan {C})^{3}}$

بما أن زوايا المثلث حادة، فإن ظل كل زاوية موجب، مما يعني أن المتباينة أعلاه صحيحة وفقًا لمتباينة AM-GM .

• قائمة متباينات المثلث

• باليتراند، ف. (1916). "المشكلة 4417". متداخل. الرياضيات. 23 : 86 – 87. ج اف ام 46.0859.06 . 
• أونو، ت. (1914). "المسألة 4417". الرياضيات المتوسطة 21 : 146.
• كويخانو، ج. (1915). "المسألة 4417". الرياضيات المتوسطة 22 : 66.
• لوكاريفسكي، م. (2017). “دليل بديل على عدم المساواة في جيريتسن”. عنصر. الرياضيات. 72 : 2– 8. دوى : 10.4171/م/317 .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "متباينة أونو" . عالم الرياضيات .