قائمة متباينات المثلث

في الهندسة ، تُعرف متباينات المثلثات بأنها متباينات تتضمن مُعاملات المثلثات ، وتكون صحيحة لكل مثلث ، أو لكل مثلث يحقق شروطًا معينة. تُعطي هذه المتباينات ترتيبًا لقيمتين مختلفتين: إما "أصغر من"، أو "أصغر من أو يساوي"، أو "أكبر من"، أو "أكبر من أو يساوي". ويمكن أن تكون مُعاملات متباينة المثلث أطوال الأضلاع، أو نصف المحيط ، أو قياسات الزوايا ، أو قيم الدوال المثلثية لتلك الزوايا، أو مساحة المثلث، أو متوسطات الأضلاع، أو الارتفاعات ، أو أطوال منصفات الزوايا الداخلية من كل زاوية إلى الضلع المقابل، أو المنصفات العمودية للأضلاع، أو المسافة من أي نقطة إلى أخرى، أو نصف قطر الدائرة الداخلية ، أو نصف قطر الدائرة الخارجية ، أو نصف قطر الدائرة المحيطة ، أو كميات أخرى.

ما لم يُنص على خلاف ذلك، تتناول هذه المقالة المثلثات في المستوى الإقليدي .

أكثر المعاملات شيوعًا في متباينات المثلث هي:

• أطوال الأضلاع a و b و c ؛
• نصف المحيط s = ⁠ a + b + c / 2 ⁠ (نصف المحيط p )؛ 
• قياسات الزوايا A و B و C لزوايا الرؤوس المقابلة للأضلاع a و b و c على التوالي (مع الإشارة إلى الرؤوس بنفس الرموز المستخدمة في قياسات زواياها)؛
• قيم الدوال المثلثية للزوايا؛
• مساحة المثلث T ؛
• المتوسطات m _a و m _b و m _c للأضلاع (كل منها يمثل طول القطعة المستقيمة من منتصف الضلع إلى الرأس المقابل) ؛
• الارتفاعات h _a و h _b و h c (كل _منها يمثل طول قطعة مستقيمة عمودية على أحد الجوانب وتمتد من ذلك الجانب (أو ربما امتداد ذلك الجانب) إلى الرأس المقابل)؛
• أطوال منصفات الزاوية الداخلية t _a و t _b و t _c (كل منها عبارة عن قطعة مستقيمة من رأس إلى الجانب المقابل وتنصف زاوية الرأس)؛
• المنصفات العمودية p _a و p _b و p _c للأضلاع (كل منها يمثل طول قطعة مستقيمة عمودية على أحد الأضلاع عند نقطة منتصفه وتصل إلى أحد الأضلاع الأخرى)؛
• أطوال القطع المستقيمة التي تنتهي عند نقطة عشوائية P في المستوى (على سبيل المثال، يُشار إلى طول القطعة المستقيمة من P إلى الرأس A بـ PA أو AP )؛
• نصف القطر الداخلي r (نصف قطر الدائرة المرسومة داخل المثلث، والمماس لجميع الأضلاع الثلاثة)، ونصف القطر الخارجي r _a و r _b و r _c (كل منها نصف قطر دائرة خارجية مماسة للضلع a أو b أو c على التوالي ومماس لامتدادات الضلعين الآخرين)، ونصف القطر المحيط R (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث والتي تمر بجميع الرؤوس الثلاثة).

متباينة المثلث الأساسية هي $${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b}$$ أو ما يعادل ذلك $${\displaystyle \max(a,b,c)\leq s.}$$

فضلاً عن ذلك، $${\displaystyle {\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}<2,}$$ حيث تمثل قيمة الطرف الأيمن الحد الأدنى الممكن، ^{[ 1 ] : ص 259،} ويتم الاقتراب منها تقاربياً عندما تقترب فئات معينة من المثلثات من الحالة المنحلة ذات المساحة الصفرية. أما المتباينة اليسرى، التي تتحقق لجميع قيم a و b و c الموجبة ، فهي متباينة نيسبيت .

لدينا

${\displaystyle 3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.}$^{[ 2 ] : ص 250،رقم 82}

${\displaystyle abc\geq (a+bc)(a-b+c)(-a+b+c).\quad }$^{[ 1 ] : ص 260}

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}}<{\frac {1}{2}}.\quad }$^{[ 1 ] : ص 261}

${\displaystyle {\sqrt {a+bc}}+{\sqrt {a-b+c}}+{\sqrt {-a+b+c}}\leq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}$^{[ 1 ] : ص 261}

${\displaystyle a^{2}b(ab)+b^{2}c(bc)+c^{2}a(ca)\geq 0.}$^{[ 1 ] : ص 261}

إذا كانت الزاوية ج منفرجة (أكبر من 90 درجة) فإن

${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2};}$

إذا كانت الزاوية C حادة (أقل من 90 درجة)

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}.}$

أما الحالة المتوسطة للمساواة عندما تكون الزاوية C قائمة فهي نظرية فيثاغورس .

بشكل عام، ^{[ 2 ] : ص.1، #74}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},}$

مع اقتراب التساوي في النهاية فقط عندما تقترب زاوية رأس المثلث متساوي الساقين من 180 درجة.

إذا كان مركز ثقل المثلث يقع داخل الدائرة الداخلية للمثلث ، فإن ^{[ 3 ] : ص 153}

${\displaystyle a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.}$

وبعبارة أخرى، إذا${\displaystyle a,b,c}$إذا كانت أضلاع المثلث تشكل مركز ثقله، وكان مركز المثلث يقع داخل الدائرة الداخلية، فإن المعادلة${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ليس لها جذور حقيقية.

بينما جميع المتباينات المذكورة أعلاه صحيحة لأن a و b و c يجب أن تتبع متباينة المثلث الأساسية التي تنص على أن أطول ضلع أقل من نصف المحيط، فإن العلاقات التالية صحيحة لجميع قيم a و b و c الموجبة : ^{[ 1 ] : ص 267}

${\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}}\leq {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}},}$

يتحقق التساوي فقط عندما يكون a = b = c . وهذا يعني أنه في حالة عدم تساوي الأضلاع، يكون المتوسط ​​التوافقي للأضلاع أقل من متوسطها الهندسي ، والذي بدوره أقل من متوسطها الحسابي ، والذي بدوره أقل من متوسطها التربيعي .

${\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.}$^{[ 1 ] : ص 286}

${\displaystyle (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.}$^{[ 2 ] : ص 21،رقم 836}

$\displaystyle \cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}$

بالنسبة لنصف المحيط s ، مع المساواة فقط في حالة تساوي الأضلاع. ^{[ 2 ] : ص 13، #608}

${\displaystyle a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.}$^{[ 4 ] : النظرية 1}

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}$^{[ 1 ] : ص 286}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.}$^{[ 1 ] : ص 286}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq \left({\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{3}}\right)^{3}\leq \left(\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}$^{[ 5 ] : ص 203}

${\displaystyle \sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi }$^{[ 2 ] : ص 149،رقم 3297}

أين${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}$النسبة الذهبية .

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1}{8}}.}$^{[ 1 ] : ص 286}

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{2}}\geq 1.}$^{[ 1 ] : ص 286}

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.}$^{[ 2 ] : ص 187،رقم 309.2}

بالنسبة لنصف قطر الدائرة المحيطة R ونصف قطر الدائرة الداخلية r، لدينا

${\displaystyle \max \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الساقين بزاوية رأس أكبر من أو تساوي 60 درجة؛ ^{[ 7 ] : كور. 3} و

${\displaystyle \min \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الساقين بزاوية رأس أقل من أو تساوي 60 درجة. ^{[ 7 ] : كور. 3}

لدينا أيضًا

${\displaystyle {\frac {r}{R}}-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\leq \cos A\leq {\frac {r}{R}}+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}}$

وبالمثل بالنسبة للزاويتين B وC ، حيث تتحقق المساواة في الجزء الأول إذا كان المثلث متساوي الساقين وكانت زاوية رأسه 60 درجة على الأقل، وتتحقق المساواة في الجزء الثاني إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الساقين وكانت زاوية رأسه لا تزيد عن 60 درجة. ^{[ 7 ] : الخاصية 5}

علاوة على ذلك، فإن أي قياسين للزاويتين A و B المتقابلتين للضلعين a و b على التوالي يرتبطان وفقًا لـ ^{[ 1 ] : ص 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b,}$

وهو ما يرتبط بنظرية المثلث متساوي الساقين وعكسها، والتي تنص على أن A = B إذا وفقط إذا كان a = b .

بحسب نظرية إقليدس للزاوية الخارجية ، فإن أي زاوية خارجية للمثلث أكبر من أي من الزاويتين الداخليتين عند الرؤوس المقابلة: ^{[ 1 ] : ص 261}

${\displaystyle 180^{\circ }-A>\max(B,C).}$

إذا كانت النقطة D تقع داخل المثلث ABC ، فإن

${\displaystyle \angle BDC>\angle A.}$^{[ 1 ] : ص 263}

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، لدينا ^{[ 2 ] : ص 26، رقم 954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

مع تحقق المتباينة العكسية بالنسبة للمثلث المنفرج الزاوية.

علاوة على ذلك، بالنسبة للمثلثات غير المنفرجة، لدينا ^{[ 8 ] : النتيجة 3}

${\displaystyle {\frac {2R+r}{R}}\leq {\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {A-C}{2}}\right)+\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\right)}$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان المثلث قائم الزاوية وتره AC.

متباينة ويتزنبوك ، بدلالة المساحة T ، ^{[ 1 ] : ص 290}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,}$

مع المساواة فقط في حالة تساوي الأضلاع. هذه نتيجة منطقية لمتباينة هادويغر-فينسلر ، وهي:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.}$

أيضًا،

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$^{[ 9 ] : ص 138}

و ^{[ 2 ] : ص 192، رقم 340.3 [ 5 ] : ص 204}

${\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{\frac {2}{3}}.}$

من الحد الأعلى الأيمن لـ T ، باستخدام متباينة المتوسط ​​الحسابي الهندسي ، يتم الحصول على متباينة المحيط المتساوي للمثلثات :

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2}}$^{[ 5 ] : ص 203}

بالنسبة لنصف المحيط s . ويُعبَّر عن ذلك أحيانًا بدلالة المحيط p كما يلي:

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

مع المساواة للمثلث متساوي الأضلاع . ^{[ 10 ]} ويتعزز هذا بواسطة

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(abc\right)^{\frac {2}{3}}.}$

كما أن متباينة بونيسن تعزز متباينة المحيط المتساوي:

${\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq (a+b+c)^{2}-4\pi T.}$

لدينا أيضًا

${\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$^{[ 1 ] : ص 290 [ 9 ] : ص 138}

مع المساواة فقط في حالة تساوي الأضلاع؛

${\displaystyle 38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}$^{[ 2 ] : ص 111،رقم 2807}

بالنسبة لنصف المحيط s ؛ و

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.}$^{[ 2 ] : ص 88،رقم 2188}

متباينة أونو للمثلثات الحادة الزوايا (التي جميع زواياها أقل من 90 درجة) هي

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}$

يمكن مقارنة مساحة المثلث بمساحة الدائرة الداخلية :

${\displaystyle {\frac {\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

مع المساواة فقط بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع. ^{[ 11 ]}

إذا تم رسم مثلث داخلي داخل مثلث مرجعي بحيث تقسم رؤوس المثلث الداخلي محيط المثلث المرجعي إلى أجزاء متساوية الطول، فإن نسبة مساحاتهما تكون محدودة بالمعادلة ^{[ 9 ] : ص 138}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

لنفترض أن منصفات الزوايا الداخلية للقطع A و B و C تتقاطع مع الأضلاع المقابلة لها عند النقاط D و E و F. إذن ^{[ 2 ] : ص 18، رقم 762}

${\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Area of triangle}}\,DEF}{{\text{Area of triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

يقسم الخط المار بمتوسط ​​المثلث المساحة بحيث تكون نسبة المساحة الفرعية الأصغر إلى مساحة المثلث الأصلي 4/9 على الأقل. ^{[ 12 ]}

الوسائط الثلاثة${\displaystyle m_{a},\,m_{b},\,m_{c}}$في المثلث، يصل كل رأس بمنتصف الضلع المقابل، ومجموع أطوالها يحقق ^{[ 1 ] : ص 271}

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}$

علاوة على ذلك، ^{[ 2 ] : ص 12، رقم 589}

${\displaystyle \left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}$

مع المساواة فقط في حالة تساوي الأضلاع، ولنصف قطر الدائرة الداخلية r ، ^{[ 2 ] : ص 22، #846}

${\displaystyle {\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\geq r.}$

وإذا رمزنا أيضًا لأطوال المتوسطات الممتدة إلى نقاط تقاطعها مع الدائرة المحيطة بـ Ma _و Mb و _{Mc ،} فإن ^{[ 2 ] : ص 16} ، # ⁶⁸⁹

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c}}}\geq 4.}$

المركز G هو نقطة تقاطع المتوسطات. لنفترض أن AG و BG و CG تتقاطع مع الدائرة المحيطة عند U و V و W على التوالي. عندئذٍ، يكون كل من [ ^{2 ] : ص 17 #723}

${\displaystyle GU+GV+GW\geq AG+BG+CG}$

و

${\displaystyle GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;}$

بالإضافة إلى ذلك، ^{[ 2 ] : ص 156، #S56}

${\displaystyle \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.}$

بالنسبة للمثلث الحاد الزوايا، لدينا ^{[ 2 ] : ص 26، رقم 954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

من حيث نصف قطر الدائرة المحيطة R ، بينما ينطبق التباين المعاكس على المثلث المنفرج الزاوية.

إذا رمزنا بـ IA و IB و IC إلى المسافات بين مركز الدائرة الداخلية والرؤوس، فإن ما يلي صحيح: ^{[ 2 ] : ص 192، #339.3}

${\displaystyle {\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {4}{3}}.}$

يمكن أن تشكل المتوسطات الثلاثة لأي مثلث أضلاع مثلث آخر: ^{[ 13 ] : ص 592}

${\displaystyle m_{a}<m_{b}+m_{c},\quad m_{b}<m_{c}+m_{a},\quad m_{c}<m_{a}+m_{b}.}$

علاوة على ذلك، ^{[ 14 ] : كورو. 6}

${\displaystyle \max\{bm_{c}+cm_{b},\quad cm_{a}+am_{c},\quad am_{b}+bm_{a}\}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.}$

الارتفاعات h و _a وما إلى ذلك، كل منها يربط رأسًا بالضلع المقابل، وهي عمودية على ذلك الضلع. وهي تحقق الشرطين [ ^{1 ] : ص 274}

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

و

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

بالإضافة إلى ذلك، إذا${\displaystyle a\geq b\geq c,}$ثم ^{[ 2 ] : 222، #67}

${\displaystyle a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.}$

لدينا أيضًا ^{[ 2 ] : ص 140، رقم 3150}

${\displaystyle {\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({\frac {3}{8}}\right)^{3}.}$

بالنسبة لمنصفات الزوايا الداخلية t _a و t _b و t _c من الرؤوس A و B و C ومركز الدائرة المحيطة R ومركز الدائرة الداخلية r ، لدينا ^{[ 2 ] : ص 125، #3005}

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}$

يمكن أن تشكل مقلوبات ارتفاعات أي مثلث مثلثًا بحد ذاتها: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}},\quad {\frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.}$

منصفات الزوايا الداخلية هي قطع مستقيمة داخل المثلث تمتد من أحد رؤوسه إلى الضلع المقابل، وتقسم زاوية الرأس إلى زاويتين متساويتين. منصفات الزوايا t _{و a} وt وa ...

${\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

من حيث الجوانب، و

${\displaystyle h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}}$

من حيث الارتفاعات والمتوسطات، وكذلك بالنسبة لـ t _b و t _c . ^{[ 1 ] : ص 271-273.} علاوة على ذلك، ^{[ 2 ] : ص 224، #132}

${\displaystyle {\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}$

من حيث الوسائط، و ^{[ 2 ] : ص 125، #3005}

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}}$

من حيث الارتفاعات، ونصف القطر الداخلي r ونصف القطر المحيط R.

لتكن T _{_a} و T_{_b} و T_{_c} أطوال منصفات الزوايا الممتدة إلى الدائرة المحيطة. عندئذٍ ^{[ 2 ] : ص 11، رقم 535}

${\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,}$

مع المساواة فقط في حالة تساوي الأضلاع، و ^{[ 2 ] : ص 14، رقم 628}

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r}$

بالنسبة لنصف قطر الدائرة المحيطة R ونصف قطر الدائرة الداخلية r ، مع تساوي القيم فقط في حالة تساوي الأضلاع. بالإضافة إلى ذلك، ^{[ 2 ] : ص 20، #795}

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).}$

بالنسبة للمركز الداخلي الأول (نقطة تقاطع منصفات الزاوية الداخلية)، ^{[ 2 ] : ص 127، رقم 3033}

${\displaystyle 6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.}$

بالنسبة لنقاط المنتصف L و M و N للأضلاع، ^{[ 2 ] : ص 152، #J53}

${\displaystyle IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).}$

بالنسبة للمركز الداخلي I ، والمركز G ، والمركز المحيط O ، ومركز النقاط التسع N ، والمركز العمودي H ، لدينا بالنسبة للمثلثات غير المتساوية الأضلاع متباينات المسافة ^{[ 16 ] : ص 232}

${\displaystyle IG<HG,}$

${\displaystyle IH<HG,}$

${\displaystyle IG<IO,}$

و

${\displaystyle IN<{\frac {1}{2}}IO;}$

ولدينا متباينة الزاوية ^{[ 16 ] : ص 233}

${\displaystyle \angle IOH<{\frac {\pi }{6}}.}$

بالإضافة إلى ذلك، ^{[ 16 ] : ص 233، اللمة 3}

${\displaystyle IG<{\frac {1}{3}}v,}$

حيث يمثل v أطول وسيط.

ثلاثة مثلثات رؤوسها في مركز الدائرة الداخلية، وهي OIH و GIH و OGI ، منفرجة الزاوية: ^{[ 16 ] : ص 232}

${\displaystyle \angle OIH}$>${\displaystyle \angle GIH>90^{\circ },\quad \angle OGI>90^{\circ }.}$

بما أن هذه المثلثات لها الزوايا المنفرجة الموضحة، فإننا نحصل على

${\displaystyle OI^{2}+IH^{2}<OH^{2},\quad GI^{2}+IH^{2}<GH^{2},\quad OG^{2}+GI^{2}<OI^{2},}$

وفي الواقع، فإن النتيجة الثانية من هذه النتائج تعادل نتيجة أقوى من الأولى، كما أوضحها أويلر : ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle OI^{2}<OH^{2}-2\cdot IH^{2}<2\cdot OI^{2}.}$

الزاوية الأكبر في المثلث لها منصف الزاوية الداخلية الأصغر: ^{[ 19 ] : ص 72، رقم 114}

${\displaystyle {\text{If}}\quad A>B\quad {\text{then}}\quad t_{a}<t_{b}.}$

تتناول هذه المتباينات أطوال الأجزاء الداخلية للمثلث، وهي p و _{a وما إلى ذلك، من منصفات الأضلاع العمودية. لنرمز إلى الأضلاع بحيث}${\displaystyle a\geq b\geq c,}$لدينا ^{[ 20 ]}

${\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}$

و

${\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}$