زاوية

رمز الزاوية (${\displaystyle \angle }$أو${\displaystyle {\widehat {\quad }}}$تُستخدم كلمة "زاوية" (وتُقرأ "angle") مع نقطة تعريفية واحدة أو ثلاث نقاط لتحديد الزوايا في الأشكال الهندسية. على سبيل المثال، الزاوية التي رأسها A والمُشكّلة بواسطة الأشعة${\displaystyle {\vec {\text{AB}}}}$و${\displaystyle {\vec {\text{AC}}}}$يُشار إليه بـ${\displaystyle \angle {\text{A}}}$(باستخدام الرأس وحده) أو${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$(مع تسمية الرأس دائمًا في المنتصف). يُشار إلى حجم أو قياس الزاوية.${\displaystyle m\angle {\text{A}}}$أو${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}}$.

في الأشكال الهندسية والتعبيرات الرياضية ، يشيع استخدام الأحرف اليونانية ( α ، β ، γ ، θ ، φ ،  ...) أو الأحرف اللاتينية الصغيرة ( a ، b ، c ، ...) كمتغيرات لتمثيل قياس الزاوية. ^{[ 12 ]} عادةً ما يكون قياس الزاوية كمية قياسية ، ^{[ 13 ]} مع ذلك، في الفيزياء وبعض فروع الرياضيات، تُستخدم الزوايا الموجهة اصطلاحًا للإشارة إلى اتجاه الدوران: موجبة لعكس عقارب الساعة، وسالبة مع عقارب الساعة. ^{[ 14 ]}   

تُقاس الزوايا بوحدات مختلفة، وأكثرها شيوعًا الدرجة (يرمز لها بالرمز ° )، والراديان (يرمز لها بالرمز rad )، والدورة . وتختلف هذه الوحدات في طريقة تقسيمها للزاوية الكاملة ، وهي الزاوية التي يدور فيها شعاعان، متطابقان في البداية مع الآخر، دورة كاملة حول رأس الزاوية ليعود إلى موضعه الأصلي . ^{[ 15 ]}

تُعرَّف الدرجات واللفات مباشرةً بالرجوع إلى الزاوية الكاملة، التي تُقاس بلفة واحدة أو 360 درجة. ^{[ 16 ]} يُعطي القياس باللفات حجم الزاوية كنسبة من الزاوية الكاملة، ويمكن اعتبار الدرجة جزءًا من اللفة. أما الراديان، فلا يُعرَّف مباشرةً بالنسبة إلى الزاوية الكاملة (انظر §  قياس الزوايا )، ولكن بطريقة تجعل قياسه 2π راديان  ، أي ما يقارب 6.28  راديان. ^{[ 17 ]}

تاريخياً، تم اختيار وحدة الدرجة مثل الزاوية المستقيمة أو نصف الزاوية الكاملة التي تم إسناد قيمة 180 إليها.

تنص مسلمة جمع الزوايا على أنه إذا كانت D نقطة تقع داخل منطقة${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$ثم: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}=m\angle {\text{BAD}}+m\angle {\text{DAC}}.}$$تُحدد هذه العلاقة معنى جمع أي زاويتين: تُوضع رؤوسهما معًا مع اشتراكهما في ضلع واحد لتكوين زاوية أكبر. قياس الزاوية الأكبر الجديدة هو مجموع قياسي الزاويتين. أما الطرح فينتج عن إعادة ترتيب الصيغة. ^{[ 18 ]}

• الزاوية التي تساوي 0 درجة أو غير منحرفة تسمى زاوية صفرية . ^{[ 19 ]}
• الزاوية الأصغر من الزاوية القائمة (أقل من 90 درجة) تسمى زاوية حادة . ^{[ 20 ]}
• الزاوية التي تساوي ربع دورة ( 90 درجة أو π / 2 راديان ) تُسمى زاوية قائمة . ويُقال عن خطين يشكلان ^{زاوية قائمة} أنهما متعامدان أو متعامدان . [ 21 ^]  
• الزاوية الأكبر من الزاوية القائمة والأصغر من الزاوية المستقيمة (بين 90 درجة و 180 درجة) تسمى زاوية منفرجة ^{[ 20 ]} ("منفرجة" تعني "غير حادة").
• الزاوية التي تساوي نصف دورة ⁽ 180 درجة أو π راديان) تسمى زاوية مستقيمة . [ ^{19 ]}  
• الزاوية الأكبر من الزاوية المستقيمة ولكنها أقل من  دورة واحدة (بين 180 درجة و 360 درجة) تسمى زاوية انعكاسية .
• الزاوية التي تساوي دورة واحدة (360 درجة أو 2 π راديان  ) تسمى زاوية كاملة أو زاوية مستديرة أو بيريجون .
• الزاوية التي لا تكون من مضاعفات الزاوية القائمة تسمى الزاوية المائلة .

الزوايا المتجاورة (يُختصر اسمها إلى ∠s ) هي زوايا تشترك في رأس وضلع واحد، لكنها لا تشترك في أي نقاط داخلية. بعبارة أخرى، هي زوايا متجاورة أو متقابلة، تشترك في "ضلع".

تتشكل الزوايا المتقابلة بالرأس عندما يتقاطع خطان مستقيمان في نقطة واحدة، مُنتجين أربع زوايا. يُطلق على زوج من الزوايا المتقابلة بالرأس اسم الزوايا المتقابلة بالرأس ،أو الزوايا المتقابلة بالرأس (يُختصر إلى ∠s )، ^{[ 22 ]} حيث تشير كلمة "متقابلة بالرأس" إلى اشتراكهما في رأس واحد، وليس إلى اتجاههما الرأسي. تنص نظرية على أن الزوايا المتقابلة بالرأس تكون دائمًا متطابقة أو متساوية. ^{[ 23 ]} القاطع هو خط يقطع زوجًا من الخطوط (غالبًا ما تكون متوازية)، ويرتبط بالزوايا الخارجية ، والزوايا الداخلية ، والزوايا الخارجية المتبادلة ، والزوايا الداخلية المتبادلة ، والزوايا المتناظرة ، والزوايا الداخلية المتتالية . ^{[ 24 ]}

عند جمع زاويتين (سواء كانتا متجاورتين أو منفصلتين في الفضاء)، يتم تسمية ثلاث حالات خاصة بالزوايا المتتامة والمتكاملة والمكملة .

الزوايا المتتامة هي أزواج من الزوايا التي يكون مجموع قياساتها زاوية قائمة (ربع دورة ، 90 درجة ، أو π / 2 راديان ). إذا كانت الزاويتان المتتامتان متجاورتين، فإن ضلعيهما غير المشتركين يشكلان زاوية قائمة. في المثلث القائم الزاوية، تكون الزاويتان الحادتان متتامتين لأن مجموع قياس الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة. يُطلق على الفرق بين زاوية وزاوية قائمة اسم متممة الزاوية. ^{[ 6 ]}

مجموع الزاويتين المتكاملتين يساوي زاوية مستقيمة ( نصف دورة ، 180 درجة، أو π راديان). إذا كانت الزاويتان المتكاملتان متجاورتين ، فإن ضلعيهما غير المشتركين يشكلان زاوية مستقيمة أو خطًا مستقيمًا ، وتُسميان زوجًا خطيًا من الزوايا . ^{[ 25 ]} يُطلق على الفرق بين الزاوية والزاوية المستقيمة اسم مكمل الزاوية. ^{[ 26 ]}

مجموع الزاويتين المتتامتين أو المترافقتين يساوي زاوية كاملة (دورة واحدة، 360 درجة، أو 2π راديان ). ^{[ 27 ]} يُطلق على الفرق بين الزاوية والزاوية الكاملة اسم متممة الزاويةأو مرافقتها . ^{[ 28 ] [ 29 ]}

من أمثلة الزوايا المتكاملة غير المتجاورة الزوايا المتتالية في متوازي الأضلاع والزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري . بالنسبة لدائرة مركزها O، ومماسين من نقطة خارجية P يمسان الدائرة عند النقطتين T و Q، فإن الزاويتين الناتجتين ∠TPQ و ∠TOQ متكاملتان.

• 
  الزاويتان aو bهما زاويتان متتامتان
• 
  الزاويتان aو bهما زاويتان متكاملتان
• 
  الزوايا AOBو CODهي زوايا متكاملة أو مترافقة

• تُسمى الزاوية التي تُشكّل جزءًا من مضلع بسيط زاوية داخلية إذا كانت تقع داخل ذلك المضلع البسيط. يحتوي المضلع المقعر البسيط على زاوية داخلية واحدة على الأقل، أي زاوية منعكسة.
  في الهندسة الإقليدية ، مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي π راديان ، أي 180 درجة، أو نصف دورة. أما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للرباعي المحدب البسيط فيساوي 2π راديان ، أي 360 درجة، أو دورة كاملة . وبشكل عام، مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع المحدب البسيط ذي n ضلعًا يساوي ( n - 2 ) π راديان، أي ( n - 2)180 درجة، أو ( n - 2 ) 2 زاوية قائمة، أو ( n - 2 ) نصف دورة .           
• تُسمى الزاوية المُكمِّلة للزاوية الداخلية بالزاوية الخارجية ؛ أي أن الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية تُشكِّلان زوجًا خطيًا من الزوايا . توجد زاويتان خارجيتان عند كل رأس من رؤوس المضلع، تُحدَّد كل منهما بتمديد أحد ضلعي المضلع المتقاطعين عند الرأس؛ هاتان الزاويتان متقابلتان بالرأس، وبالتالي فهما متساويتان. تُقاس الزاوية الخارجية بمقدار الدوران اللازم عند رأس المضلع لرسمه. ^{[ 30 ]} إذا كانت الزاوية الداخلية المقابلة زاوية منعكسة، تُعتبر الزاوية الخارجية سالبة . حتى في المضلعات غير البسيطة، قد يكون من الممكن تحديد الزاوية الخارجية. مع ذلك، سيتعين اختيار اتجاه المستوى (أو السطح ) لتحديد إشارة قياس الزاوية الخارجية.
  في الهندسة الإقليدية، يكون مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب بسيط، بافتراض وجود زاوية خارجية واحدة فقط عند كل رأس، مساويًا لدورة كاملة (360 درجة). تُسمى هذه الزاوية الخارجية بالزاوية الخارجية المكملة . تُستخدم الزوايا الخارجية بشكل شائع في برامج Logo Turtle عند رسم المضلعات المنتظمة.
• في المثلث ، يكون منصفا زاويتين خارجيتين ومنصف الزاوية الداخلية الأخرى متلاقيين (يلتقيان في نقطة واحدة). ^{[ 31 ] : 149}
• في المثلث، تقع ثلاث نقاط تقاطع، كل منها منصف زاوية خارجية مع امتداد الضلع المقابل ، على استقامة واحدة . ^{[ 31 ] : 149}
• في المثلث، تقع ثلاث نقاط تقاطع على استقامة واحدة، اثنتان منها بين منصف الزاوية الداخلية والضلع المقابل، والثالثة بين منصف الزاوية الخارجية الأخرى وامتداد الضلع المقابل. ^{[ 31 ] : 149}
• يستخدم بعض المؤلفين مصطلح " الزاوية الخارجية" للمضلع البسيط للدلالة على الزاوية الخارجية المكملة ( وليس الزاوية الداخلية المكملة!). ^{[ 32 ]} وهذا يتعارض مع الاستخدام المذكور أعلاه.

• الزاوية بين مستويين (مثل وجهين متجاورين لمجسم متعدد السطوح ) تسمى الزاوية ثنائية السطوح . ^{[ 6 ]} ويمكن تعريفها بأنها الزاوية الحادة بين خطين عموديين على المستويين.
• الزاوية بين مستوى وخط مستقيم متقاطع معه تكون مكملة للزاوية بين الخط المتقاطع والعمودي على المستوى.

يمكن تقسيم زاوية مرجعية مختارة (زاوية قائمة، زاوية مستقيمة أو زاوية كاملة) إلى أجزاء متساوية، ويتم استخدام حجم جزء واحد كوحدة لقياس الزوايا الأخرى.

في الطريقة الأكثر شيوعًا لقياس الزوايا عمليًا، تُقسّم الزاوية القائمة إلى 90 جزءًا متساويًا تُسمى درجات ، بينما في النظام المئوي النادر الاستخدام ، تُقسّم الزاوية القائمة إلى 100 جزء متساوٍ تُسمى غراديان . ^{[ 37 ] [ 38 ]}

في القياس الدائري، يتم وضع الزاوية داخل دائرة بأي حجم، مع وجود الرأس في مركز الدائرة وتقاطع الأضلاع مع المحيط.

يتشكل قوس طوله s كمحيط بين نقطتي التقاطع، ويُقال إنه يقابل الزاوية. يمكن استخدام الطول s لقياس قياس الزاوية θ ، ولكن بما أن s يعتمد على حجم الدائرة المختارة، يجب تعديل القياس. يمكن القيام بذلك عن طريق حساب نسبة s إما إلى نصف قطر الدائرة r أو محيطها C.

نسبة الطول s إلى نصف القطر r هي عدد الراديان في الزاوية، ^{[ 35 ]} بينما نسبة الطول s إلى المحيط C هي عدد الدورات : $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} ={\frac {s}{C}}\,\mathrm {turn} ={\frac {s}{2\pi r}}\,\mathrm {turn} }$$

إن قيمة θ المُعرَّفة بهذه الطريقة مستقلة عن حجم الدائرة: فإذا تغير طول نصف القطر، فإن كلاً من محيط الدائرة وطول القوس يتغيران بنفس النسبة، وبالتالي فإن النسبتين s / r و s / C لا تتغيران . [ ^{ملاحظة 1 ]}

تُسمى النسبة s / r " قياس الزاوية بالراديان" ^{[ 18 ]} أو "القياس الدائري" ^{[ 39 ] [ 38 ] [ 40 ]} ، ولكنها تُستخدم أيضًا لتعريف وحدة قياس تُسمى الراديان، وهي الزاوية التي تكون فيها النسبة s / r = 1. ^{[ 39 ]} وبالتالي، يمكن النظر إلى قياس الزاوية المُعطى بالنسبة s / r بطريقتين : أولًا، كقياس بدلالة نسب الزاوية نفسها (نسبة طول القوس إلى نصف القطر)، أو ثانيًا ، كعدد الوحدات في الزاوية (نسبة طول قوس الزاوية المقاسة إلى طول قوس الزاوية الوحدة). ^{[ 41 ] [ 38 ]}

يسرد الجدول التالي بعض الوحدات البارزة المستخدمة لتمثيل الزوايا.

في الرياضيات والنظام الدولي للكميات ، تُعرَّف الزاوية بأنها كمية لا بُعدية، ^{[ 42 ]} وعلى وجه الخصوص، يُعرَّف الراديان بأنه لا بُعدي في النظام الدولي للوحدات . ^{[ 43 ]} يمنع هذا الاصطلاح الزوايا من توفير معلومات للتحليل البُعدي . على سبيل المثال، عند قياس زاوية بالراديان بقسمة طول القوس على نصف القطر، فإننا في الأساس نقسم طولًا على طول آخر، وتلغي وحدات الطول بعضها بعضًا. لذلك، فإن النتيجة - الزاوية - ليس لها "بُعد" مادي مثل المتر أو الثانية. ^{[ 44 ]} ينطبق هذا على جميع وحدات الزاوية، مثل الراديان والدرجات والدورات - فهي جميعًا تمثل عددًا مجردًا يُحدد مقدار دوران شيء ما. ^{[ 45 ]} لهذا السبب، في العديد من المعادلات، تبدو وحدات الزاوية وكأنها "تختفي" أثناء الحسابات، مما يُشعر بعدم الاتساق وقد يؤدي إلى الخلط بين وحدات الزاوية. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

أدى هذا إلى نقاشات واسعة بين العلماء والمعلمين. اقترح بعض العلماء اعتبار الزاوية ذات بُعد أساسي خاص بها، على غرار الطول أو الزمن. ^{[ 48 ]} وهذا يعني أن وحدات الزاوية، مثل الراديان، ستكون حاضرة دائمًا في الحسابات، مما يُسهّل تحليل الأبعاد. مع ذلك، يتطلب هذا النهج أيضًا تغيير العديد من الصيغ الرياضية والفيزيائية المعروفة، مما يجعلها أطول وربما أقل ألفة. ^{[ 49 ]} في الوقت الراهن، يُعتمد كتابة وحدات الزاوية عند الاقتضاء، مع اعتبارها بلا أبعاد، مع إدراك أهمية هذه الوحدات، لكنها تختلف في سلوكها عن المتر أو الكيلوغرام. ^{[ 50 ]}

قد تشير الزاوية التي يرمز لها بـ ∠BAC إلى أي من الزوايا الأربع التالية: الزاوية في اتجاه عقارب الساعة من B إلى C حول A، والزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من B إلى C حول A، والزاوية في اتجاه عقارب الساعة من C إلى B حول A، أو الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من C إلى B حول A. لذلك، من المفيد في كثير من الأحيان فرض اصطلاح يسمح للقيم الزاوية الموجبة والسالبة بتمثيل الاتجاهات و/أو الدورانات في اتجاهات أو "اتجاهات" معاكسة بالنسبة إلى مرجع ما.

في نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد ، تُعرَّف الزاوية عادةً بضلعيها، ورأسها عند نقطة الأصل. يقع الضلع الابتدائي على المحور السيني الموجب ، بينما يُعرَّف الضلع الآخر، أو الضلع النهائي، بقياس الزاوية من الضلع الابتدائي بالراديان أو الدرجات أو الدورات، حيث تمثل الزوايا الموجبة دورانًا باتجاه المحور الصادي الموجب، وتمثل الزوايا السالبة دورانًا باتجاه المحور الصادي السالب . وعندما تُمثَّل الإحداثيات الديكارتية بالموضع القياسي ، المحدد بالمحور السيني نحو اليمين والمحور الصادي نحو الأعلى، يكون الدوران الموجب عكس اتجاه عقارب الساعة ، والدورات السالبة مع اتجاه عقارب الساعة .

في كثير من السياقات، تُعادل زاوية −θ فعليًا زاوية "دورة كاملة ناقص θ ". على سبيل المثال، يُعادل التوجيه المُعبَّر عنه بـ −45° توجيهًا مُعرَّفًا بـ 360° − 45° أو 315°. مع أن الوضع النهائي واحد، إلا أن الدوران الفعلي (الحركة) بمقدار −45° لا يُعادل الدوران بمقدار 315° (على سبيل المثال، دوران شخص يحمل مكنسة موضوعة على أرضية مُغبرة سيترك آثارًا مختلفة بصريًا للمناطق المكنوسة على الأرض).

في الهندسة ثلاثية الأبعاد، لا يوجد معنى مطلق لـ "مع عقارب الساعة" و "عكس عقارب الساعة"، لذلك يجب تحديد اتجاه الزوايا الموجبة والسالبة من حيث التوجيه ، والذي يتم تحديده عادةً بواسطة متجه عمودي يمر عبر رأس الزاوية وعمودي على المستوى الذي تقع فيه أشعة الزاوية.

في الملاحة ، تُقاس الاتجاهات أو السمت بالنسبة للشمال. واصطلاحًا، عند النظر من الأعلى، تكون زوايا الاتجاه موجبة باتجاه عقارب الساعة، لذا فإن اتجاه 45° يُقابل اتجاهًا شماليًا شرقيًا. أما الاتجاهات السالبة فلا تُستخدم في الملاحة، لذا فإن اتجاهًا شماليًا غربيًا يُقابل اتجاه 315°.

• الزوايا التي لها نفس القياس (أي نفس المقدار) تُسمى متساوية أو متطابقة . تُعرَّف الزاوية بقياسها ولا تعتمد على أطوال أضلاعها (على سبيل المثال، جميع الزوايا القائمة متساوية في القياس).
• الزاوية التي تشترك في الأضلاع النهائية، ولكنها تختلف في الحجم بمقدار مضاعف صحيح للدوران، تسمى الزوايا المتطابقة .
• الزاوية المرجعية (وتُسمى أحيانًا الزاوية المرتبطة ) لأي زاوية θ في الوضع القياسي هي الزاوية الحادة الموجبة بين الضلع النهائي لـ θ ومحور السينات (سواء كان موجبًا أو سالبًا). [ ^{51 ] إجرائيًا} ، يمكن تحديد مقدار الزاوية المرجعية لزاوية معينة بأخذ مقدار الزاوية بتردد نصف دورة ، أي 180 ° ، أو π راديان، ثم التوقف إذا كانت الزاوية حادة، وإلا بأخذ الزاوية المكملة، أي 180° مطروحًا منها المقدار الأصغر. على سبيل المثال، الزاوية 30 درجة هي زاوية مرجعية، والزاوية 150 درجة لها أيضًا زاوية مرجعية مقدارها 30 درجة ( 180° - 150° ). الزوايا 210° و 510° تتوافق مع زاوية مرجعية قدرها 30 درجة أيضًا ( 210° mod 180° = 30° ، 510° mod 180° = 150° والتي زاويتها المكملة هي 30°).

بالنسبة للوحدة الزاوية، من البديهي أن مسلمة جمع الزوايا صحيحة، ومع ذلك، فإن بعض القياسات أو الكميات المتعلقة بالزوايا لا تفي بهذه المسلمة:

• الميل أو الانحدار يساوي ظل الزاوية ، ويُعبّر عنه عادةً كنسبة مئوية (الارتفاع على الامتداد). بالنسبة للقيم الصغيرة جدًا (أقل من 5%)، يكون ميل الخط تقريبًا هو قياس الزاوية مع الاتجاه الأفقي بالراديان. يُستخدم ميل الارتفاع للإشارة إلى مدى انحدار الطرق والمسارات وخطوط السكك الحديدية.
• يُعرَّف التباعد بين خطين في الهندسة النسبية بأنه مربع جيب الزاوية بينهما. ولأن جيب الزاوية يساوي جيب الزاوية المكملة لها، فإن أي زاوية دوران تُحوِّل أحد الخطين إلى الآخر تُعطي نفس قيمة التباعد بينهما.
• على الرغم من ندرة حدوث ذلك، إلا أنه يمكن الإبلاغ عن النتائج المباشرة للدوال المثلثية ، مثل جيب الزاوية.

لتعريف الزوايا في فضاء جداء داخلي حقيقي مجرد ، نستبدل الجداء النقطي الإقليدي ( · ) بالجداء الداخلي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$، أي $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

في فضاء الضرب الداخلي المعقد ، قد تعطي صيغة جيب التمام أعلاه قيمًا غير حقيقية، لذلك يتم استبدالها بـ $${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$ أو، بشكل أكثر شيوعاً، باستخدام القيمة المطلقة، مع $${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

يتجاهل التعريف الأخير اتجاه المتجهات. وبالتالي، فهو يصف الزاوية بين الفضاءات الفرعية أحادية البعد.${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$و${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$تمتد بواسطة المتجهات${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$وبالمثل.

تعريف الزاوية بين الفضاءات الفرعية أحادية البعد${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$و${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$مقدم من $${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$يمكن توسيع مفهوم فضاء هيلبرت ليشمل فضاءات جزئية ذات عدد محدود من الأبعاد. بالنظر إلى فضاءين جزئيين${\displaystyle {\mathcal {U}}}$،${\displaystyle {\mathcal {W}}}$مع${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$وهذا يؤدي إلى تعريف لـ${\displaystyle k}$الزوايا التي تسمى الزوايا الأساسية أو الزوايا الرئيسية بين الفضاءات الفرعية.

في الهندسة الريمانية ، يُستخدم موتر القياس لتحديد الزاوية بين مماسين . حيث U و V هما متجهي المماس و g _ij هما مركبات موتر القياس G.$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

الزاوية الزائدية هي وسيط دالة زائدية، تمامًا كما أن الزاوية الدائرية هي وسيط دالة دائرية . يمكن تصور المقارنة من خلال حجم فتحات القطاع الزائدي والقطاع الدائري ، حيث تتوافق مساحات هذه القطاعات مع مقادير الزوايا في كل حالة. ^{[ 53 ]} على عكس الزاوية الدائرية، فإن الزاوية الزائدية غير محدودة. عند النظر إلى الدالتين الدائرية والزائدية كمتسلسلات لانهائية في وسيط الزاوية، فإن الدوال الدائرية هي مجرد أشكال متسلسلات متناوبة للدوال الزائدية. وقد وصف ليونارد أويلر هذه المقارنة بين المتسلسلتين اللتين تمثلان دوال الزوايا في كتابه "مقدمة في تحليل اللانهاية " (1748).

تُعرف مساواة الزوايا المتقابلة بالرأس بنظرية الزاوية الرأسية . وقد نسب أوديموس الرودسي برهانها إلى طاليس الملطي . ^{[ 58 ] [ 23 ]} تُبين هذه النظرية أنه بما أن كل زاوية من زاويتين متقابلتين بالرأس تُكمل كل زاوية مجاورة لها، فإن الزوايا الرأسية متساوية في القياس. ووفقًا لملاحظة تاريخية، ^{[ 23 ]} عندما زار طاليس مصر، لاحظ أن المصريين كانوا يقيسون الزوايا الرأسية كلما رسموا خطين متقاطعين للتأكد من تساويهما. وخلص طاليس إلى أنه يمكن إثبات تساوي جميع الزوايا الرأسية إذا تم قبول بعض المفاهيم العامة، مثل:

• جميع الزوايا المستقيمة متساوية.
• المتساويات المضافة إلى المتساويات متساوية.
• الكميات المتساوية مطروحاً منها الكميات المتساوية تكون متساوية.

عندما تشكل زاويتان متجاورتان خطًا مستقيمًا، تكونان متكاملتين. لذا، إذا افترضنا أن قياس الزاوية A يساوي x ، فإن قياس الزاوية C يساوي 180° - x . وبالمثل، فإن قياس الزاوية D يساوي 180° - x . بما أن قياس كل من الزاويتين C و D يساوي 180° - x ، فهما متطابقتان. ولأن الزاوية B متكاملة مع كل من الزاويتين C و D ، يمكن استخدام أي من قياسات هاتين الزاويتين لتحديد قياس الزاوية B. باستخدام قياس أي من الزاويتين C أو D ، نجد أن قياس الزاوية B يساوي 180° - (180° - x ) = x . وبالتالي، فإن قياس كل من الزاويتين A و B يساوي x ، فهما متساويتان في القياس.