توسيع منتجات المشغل

في نظرية الحقول الكمومية ، يُستخدم توسيع حاصل ضرب المؤثرات ( OPE ) كمسلّمة لتعريف حاصل ضرب الحقول كمجموع على الحقول نفسها. ^{[ 1 ]} وباعتبارها مسلّمة، فإنها تُقدّم منهجًا غير اضطرابي لنظرية الحقول الكمومية. ومن الأمثلة على ذلك جبر مؤثرات الرؤوس ، الذي استُخدم لبناء نظريات الحقول المطابقة ثنائية الأبعاد . ويبقى السؤال مفتوحًا حول إمكانية تعميم هذه النتيجة على نظرية الحقول الكمومية بشكل عام، وبالتالي حلّ العديد من صعوبات المنهج الاضطرابي.

في الحسابات العملية، مثل تلك اللازمة لحساب سعات التشتت في تجارب المصادمات المختلفة، يُستخدم توسيع ناتج المؤثرات في قواعد جمع QCD لدمج النتائج من كل من الحسابات الاضطرابية وغير الاضطرابية (المكثفة). ^{[ 2 ]}

في نظرية الحقول الإقليدية ثنائية الأبعاد ، يُعدّ توسيع حاصل ضرب المؤثرات توسيعًا لمتسلسلة لوران مرتبطًا بمؤثرين. في هذا التوسيع، يوجد عدد محدود من القوى السالبة للمتغير، بالإضافة إلى عدد لا نهائي محتمل من القوى الموجبة للمتغير.

هذا التوسع عبارة عن مجموع متقارب محليًا. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle y}$هذه نقطة، و${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت الحقول ذات قيم معاملية ، فإن هناك جوارًا مفتوحًا${\displaystyle O}$ل${\displaystyle y}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x\in O\setminus \{y\}}$

${\displaystyle A(x)B(y)=\sum _{i}c_{i}(xy)C_{i}(y)}$

من الناحية الاستدلالية، في نظرية الحقل الكمومي، ينصب الاهتمام على الكميات الفيزيائية القابلة للرصد والممثلة بالمؤثرات . لمعرفة نتيجة إجراء عمليتي رصد فيزيائيتين عند نقطتين${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$ويمكن طلب مشغليها بترتيب زمني متزايد.

في تحويلات الإحداثيات المطابقة، يكون الترتيب القطري أكثر أهمية. وهذا يُشابه ترتيب الزمن، حيث يُقابل تزايد الزمن بتزايد نصف القطر في المستوى المركب . ويُفيد الترتيب الطبيعي لعوامل الإنشاء عند العمل في صيغة التكميم الثاني .

يمكن كتابة توسيع المؤثرات المرتب شعاعيًا على صورة توسيع مؤثرات مرتب ترتيبًا عاديًا مطروحًا منه الحدود غير المرتبة ترتيبًا عاديًا. غالبًا ما يمكن كتابة الحدود غير المرتبة ترتيبًا عاديًا على صورة مبدل ، وهذه المبدلات لها متطابقات تبسيطية مفيدة. يضمن الترتيب الشعاعي تقارب التوسيع.

والنتيجة هي توسيع متقارب لحاصل ضرب مؤثرين بدلالة بعض الحدود التي لها أقطاب في المستوى المركب (حدود لوران) وحدود منتهية. تمثل هذه النتيجة توسيع مؤثرين عند نقطتين مختلفتين في نظام الإحداثيات الأصلي كتوسيع حول نقطة واحدة فقط في فضاء الإزاحات بين النقاط، بحدود من الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{(zw)^{n}}}}$.

ويرتبط بهذا أن المؤثر على المستوى المركب يُكتب عمومًا كدالة لـ${\displaystyle z}$و${\displaystyle {\bar {z}}}$يُشار إلى هذين الجزأين بالجزء الهولومورفي والجزء المضاد للهولومورفي على التوالي، لأنهما دالتان متصلتان وقابلتان للتفاضل مع عدد محدود من النقاط الشاذة. ^{[ 1 ]} بشكل عام، قد لا ينفصل توسيع حاصل ضرب المؤثرات إلى أجزاء هولومورفية ومضادة للهولومورفية، خاصةً إذا كان هناك${\displaystyle \log z}$تتضمن هذه العملية حدودًا في التوسع. ومع ذلك، يمكن لمشتقات توسيع المعامل (OPE) غالبًا فصل التوسع إلى توسعات تامة الشكل وتوسعات مضادة لها. والتعبير الناتج هو أيضًا توسيع معامل (OPE) وهو عمومًا أكثر فائدة.

في الحالة العامة، يتم إعطاء المرء مجموعة من الحقول (أو العوامل).${\displaystyle A^{i}(x)}$والتي يُفترض أن تكون قيمها مُقاسة على أساس جبري معين . على سبيل المثال، بتثبيت قيمة x ، فإن${\displaystyle A^{i}(x)}$يمكن اعتبارها تغطي بعض جبر لي . بجعل x حرًا ليعيش على متعدد الشعب، فإن حاصل ضرب المؤثرات${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)}$إذن، هو ببساطة عنصر ما في حلقة الدوال . وبشكل عام، لا تمتلك هذه الحلقات بنية كافية لصياغة عبارات ذات معنى؛ لذا، يُنظر في إضافة بديهيات لتقوية النظام.

جبر ضرب المؤثرات هو جبر ترابطي من الشكل التالي:

${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}$

ثوابت البنية${\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)}$يُشترط أن تكون الدوال أحادية القيمة، وليست مقاطع من حزمة متجهة . علاوة على ذلك، يُشترط أن تمتد الحقول على حلقة الدوال. في الحسابات العملية، يُشترط عادةً أن تكون المجاميع تحليلية ضمن نصف قطر تقارب معين ؛ عادةً ما يكون نصف قطر التقارب هو${\displaystyle |xy|}$وبالتالي، يمكن اعتبار حلقة الدوال حلقة الدوال متعددة الحدود .

يمكن اعتبار ما سبق بمثابة شرط مفروض على حلقة من الدوال؛ ويُعرف فرض هذا الشرط على حقول نظرية الحقل المطابق باسم التمهيد المطابق .

من أمثلة جبر ضرب المؤثرات جبر المؤثرات الرأسية . ويُؤمل حاليًا أن يُستخدم جبر ضرب المؤثرات لوضع بديهيات نظرية الحقل الكمومي بأكملها؛ وقد نجح في ذلك بالنسبة لنظريات الحقل المطابق، وما إذا كان بالإمكان استخدامه كأساس لنظرية الحقل الكمومي غير الاضطرابية هو مجال بحث مفتوح.

• قسم التعليم المفتوح في موقع سكولاربيديا