التكميم الثاني

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 118 صور
الموسوعة الحرة

التكميم الثاني ، المعروف أيضًا بتمثيل عدد الشغل ، هو أسلوب يُستخدم لوصف وتحليل أنظمة الكم متعددة الأجسام . في نظرية الحقل الكمومي ، يُعرف بالتكميم الكنسي ، حيث تُعتبر الحقول (عادةً كدوال موجية للمادة) مؤثرات حقلية ، على غرار كيفية اعتبار الكميات الفيزيائية (الموقع، الزخم، إلخ) مؤثرات في التكميم الأول . طُرحت الأفكار الرئيسية لهذه الطريقة عام 1927 على يد بول ديراك [ 1 ] ، وطُوّرت لاحقًا، ولا سيما على يد باسكوال جوردان [ 2 ] وفلاديمير فوك [ 3 ] [ 4 ] . في هذا النهج، تُمثَّل حالات الكم متعددة الأجسام في أساس حالات فوك ، الذي يُبنى بملء كل حالة جسيم مفرد بعدد معين من الجسيمات المتطابقة. [ 5 ] يقدم الشكل الثاني للتكميم عوامل الإنشاء والإفناء لبناء ومعالجة حالات فوك، مما يوفر أدوات مفيدة لدراسة نظرية الكم متعددة الأجسام.

حالات الكم متعددة الأجسام

تنطلق الصيغة الثانية للتكميم من مفهوم عدم إمكانية تمييز الجسيمات في ميكانيكا الكم. على عكس الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث يتم تمييز كل جسيم بمتجه موضع مميز.رأنا{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}وتكوينات مختلفة لمجموعةرأنا{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}تُقابل هذه الحالات حالاتٍ مختلفةً متعددة الأجسام، وفي ميكانيكا الكم، تكون الجسيمات متطابقة، بحيث أن تبادل جسيمين، أيرأنا↔رج{\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}لا يؤدي ذلك إلى حالة كمومية مختلفة متعددة الأجسام . وهذا يعني أن دالة الموجة الكمومية متعددة الأجسام يجب أن تظل ثابتة (حتى عامل طور ) عند تبادل جسيمين. ووفقًا لإحصائيات الجسيمات ، يمكن أن تكون دالة الموجة متعددة الأجسام متناظرة أو غير متناظرة عند تبادل الجسيمات.

Ψب(⋯،رأنا،⋯،رج،⋯)=+Ψب(⋯،رج،⋯،رأنا،⋯){\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}إذا كانت الجسيمات بوزونات ،
ΨF(⋯،رأنا،⋯،رج،⋯)=-ΨF(⋯،رج،⋯،رأنا،⋯){\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}إذا كانت الجسيمات فرميونات .

تفرض خاصية تناظر التبادل هذه قيدًا على دالة الموجة متعددة الأجسام. ففي كل مرة يُضاف جسيم أو يُزال من النظام، يجب أن تكون دالة الموجة متناظرة أو مضادة للتناظر بشكل صحيح لتلبية قيد التناظر. في الصيغة الكمية الأولى، يُضمن هذا القيد بتمثيل دالة الموجة كمزيج خطي من الثوابت (للبوزونات) أو المحددات (للفيرميونات) لحالات الجسيمات المفردة. أما في الصيغة الكمية الثانية، فتُعالج مسألة التناظر تلقائيًا بواسطة معاملات الإنشاء والإفناء، مما يجعل ترميزها أبسط بكثير.

دالة موجية متعددة الأجسام مُكمّمة من الدرجة الأولى

لنفترض مجموعة كاملة من الدوال الموجية للجسيم الواحدψα(ر){\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}مصنف بواسطةα{\displaystyle \alpha }(والتي قد تكون مؤشرًا مُركبًا لعدد من الأعداد الكمومية). دالة الموجة التالية

Ψ[رأنا]=∏أنا=1شمالψαأنا(رأنا)≡ψα1⊗ψα2⊗⋯⊗ψαشمال{\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}

يمثل حالة مكونة من N جسيمًا، حيث يشغل الجسيم رقم i حالة الجسيم الواحد|αأنا⟩{\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }في الصيغة المختصرة، يمكن حذف وسيط الموضع للدالة الموجية، ويُفترض أن الدالة الموجية للجسيم المفرد رقم i تصف حالة الجسيم رقم i .Ψ{\displaystyle \Psi }لم يتم تحويلها إلى شكل متناظر أو مضاد للتناظر، وبالتالي فهي لا تُعتبر عمومًا دالة موجية متعددة الأجسام للجسيمات المتطابقة. ومع ذلك، يمكن تحويلها إلى الشكل المتناظر (المضاد للتناظر) بواسطة المؤثرات.S{\displaystyle {\mathcal {S}}}للمُتناظر، وأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}لمضاد التناظر .

بالنسبة للبوزونات، يجب أن تكون دالة الموجة متعددة الأجسام متناظرة.

Ψب[رأنا]=شمالSΨ[رأنا]=شمال∑π∈Sشمال∏أنا=1شمالψαπ(أنا)(رأنا)=شمال∑π∈Sشمالψαπ(1)⊗ψαπ(2)⊗⋯⊗ψαπ(شمال);// (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}

أما بالنسبة للفيرميونات، فيجب أن تكون دالة الموجة متعددة الأجسام مضادة للتناظر.

ΨF[رأنا]=شمالأΨ[رأنا]=شمال∑π∈Sشمال(-1)π∏أنا=1شمالψαπ(أنا)(رأنا)=شمال∑π∈Sشمال(-1)πψαπ(1)⊗ψαπ(2)⊗⋯⊗ψαπ(شمال).// _ {\alpha _ {\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _ {\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _ {\ ألفا _ {\ بي (N)}}.}

هناπ{\displaystyle \pi }هو عنصر في مجموعة التبديلات ذات N جسم (أو المجموعة المتناظرة )Sشمال{\displaystyle S_{N}}، والذي يقوم بتبديل بين تسميات الحالةαأنا{\displaystyle \alpha _{i}}، و(-1)π{\displaystyle (-1)^{\pi }}يشير إلى علامة التبديل المقابلة .شمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}هو عامل التوحيد الذي يُوحّد دالة الموجة. (وهو العامل الذي يُطبّق عامل توحيد عددي مناسب على الموترات المتناظرة من الدرجة n ؛ انظر القسم التالي لمعرفة قيمته).

إذا رتبنا دوال الموجة للجسيم الواحد في مصفوفةيو{\displaystyle U}بحيث يكون عنصر المصفوفة في الصف i والعمود j هويوأناج=ψαج(رأنا)≡⟨رأنا|αج⟩{\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }عندئذٍ، يمكن كتابة دالة الموجة متعددة الأجسام للبوزونات ببساطة على شكل ثابت.Ψب=شمالموج الشعر بإستمرار⁡يو{\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}ودالة الموجة متعددة الأجسام للفيرميون كمحددΨF=شمالالمحققيو{\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U}(المعروف أيضًا باسم محدد سلاتر ). [ 6 ]

حالات فوك الكمية الثانية

تتضمن الدوال الموجية الكمومية الأولى إجراءات تناظر معقدة لوصف حالات الأجسام المتعددة القابلة للتحقيق فيزيائيًا، لأن لغة الكمومية الأولى زائدة عن الحاجة بالنسبة للجسيمات غير القابلة للتمييز. في لغة الكمومية الأولى، تُوصف حالة الأجسام المتعددة بالإجابة على سلسلة من الأسئلة مثل "أي جسيم في أي حالة؟" . ومع ذلك، فهذه ليست أسئلة فيزيائية، لأن الجسيمات متطابقة، ومن المستحيل تحديد أي جسيم هو أي جسيم في المقام الأول. الحالات التي تبدو مختلفة ظاهريًاψ1⊗ψ2{\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}وψ2⊗ψ1{\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}هي في الواقع أسماء متكررة لنفس حالة الكم متعددة الأجسام. لذا يجب إدخال التناظر (أو التناظر المضاد) لإزالة هذا التكرار في وصف التكميم الأول.

في لغة التكميم الثانية، بدلاً من السؤال "في أي حالة يوجد كل جسيم؟"، يُسأل "كم عدد الجسيمات في كل حالة؟" . ولأن هذا الوصف لا يشير إلى تصنيف الجسيمات، فإنه لا يحتوي على معلومات زائدة، وبالتالي يؤدي إلى وصف دقيق وأبسط لحالة الكم متعددة الأجسام. في هذا النهج، تُمثَّل حالة متعددة الأجسام في أساس عدد الشغل، وتُصنَّف حالة الأساس بواسطة مجموعة أعداد الشغل، ويُرمز لها بـ

|[نα]⟩≡|ن1،ن2،⋯،نα،⋯⟩،{\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}

وهذا يعني أن هناكنα{\displaystyle n_{\alpha }}الجسيمات في حالة الجسيم الواحد|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }(أو كما)ψα{\displaystyle \psi _{\alpha }}مجموع أعداد الإشغال يساوي العدد الإجمالي للجسيمات، أي∑αنα=شمال{\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}بالنسبة للفيرميونات ، عدد الإشغالنα{\displaystyle n_{\alpha }}لا يمكن أن تكون قيمتها إلا 0 أو 1، وذلك بسبب مبدأ استبعاد باولي ؛ بينما بالنسبة للبوزونات، يمكن أن تكون أي عدد صحيح غير سالب

نα={0،1الفيرميونات،0،1،2،3،...البوزونات.{\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}

يشير رقم المهنة إلى|[نα]⟩{\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }تُعرف أيضًا باسم حالات فوك. تُشكّل جميع حالات فوك أساسًا كاملاً لفضاء هيلبرت متعدد الأجسام، أو فضاء فوك . يمكن التعبير عن أي حالة كمومية عامة متعددة الأجسام كمزيج خطي من حالات فوك.

تجدر الإشارة إلى أنه بالإضافة إلى توفير لغة أكثر كفاءة، يسمح فضاء فوك بعدد متغير من الجسيمات. وباعتباره فضاء هيلبرت ، فهو متماثل مع مجموع فضاءات الموترات البوزونية أو الفرميونية ذات n جسيم الموصوفة في القسم السابق، بما في ذلك فضاء أحادي البعد خالٍ من الجسيمات C.

تُسمى حالة فوك التي تكون فيها جميع أعداد الشغل مساوية للصفر حالة الفراغ ، ويرمز لها بـ|0⟩≡|⋯،0α،⋯⟩{\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }تُسمى حالة فوك التي تحتوي على عدد شغل واحد غير صفري حالة فوك أحادية النمط، ويُرمز لها بـ|نα⟩≡|⋯،0،نα،0،⋯⟩{\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }من حيث دالة الموجة الكمية الأولى، فإن حالة الفراغ هي حاصل ضرب الموتر الواحدي ويمكن الإشارة إليها بـ|0⟩=1{\displaystyle |0\rangle =1}يتم اختزال حالة الجسيم المفرد إلى دالة الموجة الخاصة به|1α⟩=ψα{\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}أما حالات الجسيمات المتعددة أحادية النمط الأخرى (البوزونات) فهي مجرد حاصل ضرب موتر للدالة الموجية لهذا النمط، مثل|2α⟩=ψα⊗ψα{\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}و |نα⟩=ψα⊗ن{\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}بالنسبة لحالات فوك متعددة الأنماط (أي أكثر من حالة جسيم واحد).|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }(في حالة وجود علاقة بين ذلك)، فإن دالة الموجة الكمية الأولى المقابلة ستتطلب تناظرًا مناسبًا وفقًا لإحصاءات الجسيمات، على سبيل المثال|11،12⟩=(ψ1ψ2+ψ2ψ1)/2{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}بالنسبة لحالة البوزون، و|11،12⟩=(ψ1ψ2-ψ2ψ1)/2{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}لحالة فرميون (الرمز⊗{\displaystyle \otimes }بينψ1{\displaystyle \psi _{1}}وψ2{\displaystyle \psi _{2}}(تم حذفها للتبسيط). بشكل عام، وُجد أن التطبيع هو1شمال!∏αنα!{\textstyle {\sqrt {\frac {1}{N!{\prod _{\alpha }{n_{\alpha }!}}}}}}حيث N هو العدد الإجمالي للجسيمات. بالنسبة للفيرميونات، يختزل هذا التعبير إلى1شمال!{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}مثلنα{\displaystyle n_{\alpha }}لا يمكن أن تكون إلا صفرًا أو واحدًا. لذا فإن دالة الموجة الكمية الأولى المقابلة لحالة فوك هي

|[نα]⟩ب=(1شمال!∏αنα!)1/2S⨂αψα⊗نα{\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {1}{N!\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}

للبوزونات و

|[نα]⟩F=1شمال!أ⨂αψα⊗نα{\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}

بالنسبة للفيرميونات. لاحظ أنه بالنسبة للفيرميونات،نα=0،1{\displaystyle n_{\alpha }=0,1}فقط، لذا فإن حاصل الضرب الموتري أعلاه هو في الواقع مجرد حاصل ضرب على جميع حالات الجسيمات المفردة المشغولة.

عوامل الإنشاء والإفناء

تُستخدم معاملات الإنشاء والإفناء لإضافة جسيم أو إزالته من نظام متعدد الأجسام. تُمثل هذه المعاملات جوهر صيغة التكميم الثاني، حيث تربط بين حالات التكميم الأول والثاني. يؤدي تطبيق معامل الإنشاء (الإفناء) على دالة موجية متعددة الأجسام مُكمّمة بالتكميم الأول إلى إدخال (حذف) حالة جسيم واحد من الدالة الموجية بطريقة متناظرة تعتمد على إحصائيات الجسيم. من ناحية أخرى، يمكن إنشاء جميع حالات فوك المُكمّمة بالتكميم الثاني بتطبيق معاملات الإنشاء على حالة الفراغ بشكل متكرر.

تم بناء مؤثرات الإنشاء والإفناء (للبوزونات) في الأصل في سياق المذبذب التوافقي الكمومي كمؤثري رفع وخفض، ثم تم تعميمها لتصبح مؤثرات المجال في نظرية المجال الكمومي. [ 7 ] وهي أساسية لنظرية الأجسام المتعددة الكمومية، بمعنى أنه يمكن التعبير عن كل مؤثر متعدد الأجسام (بما في ذلك هاميلتوني نظام الأجسام المتعددة وجميع الكميات الفيزيائية القابلة للرصد) بدلالة هذه المؤثرات.

عملية الإضافة والحذف

يتم إنشاء الجسيم وإفناؤه عن طريق إدخال حالة الجسيم المفرد وحذفها من الدالة الموجية الكمية الأولى بطريقة متناظرة أو غير متناظرة.ψα{\displaystyle \psi _{\alpha }}ليكن حالة جسيم واحد، وليكن 1 هو موتر الهوية (وهو مولد فضاء الجسيمات الصفرية C ويحققψα≡1⊗ψα≡ψα⊗1{\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}في جبر الموترات على فضاء هيلبرت الأساسي)، ولتكنΨ=ψα1⊗ψα2⊗⋯{\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }ليكن حالة ضرب موتر عامة. الإدخال⊗±{\displaystyle \otimes _{\pm }} والحذف⊘±{\displaystyle \oslash _{\pm }}المؤثرات هي مؤثرات خطية تُعرَّف بالمعادلات التكرارية التالية

ψα⊗±1=ψα،ψα⊗±(ψβ⊗Ψ)=ψα⊗ψβ⊗Ψ±ψβ⊗(ψα⊗±Ψ);{\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}
ψα⊘±1=0،ψα⊘±(ψβ⊗Ψ)=دلتاαβΨ±ψβ⊗(ψα⊘±Ψ).{\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}

هنادلتاαβ{\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}هو رمز دلتا كرونكر ، والذي يعطي 1 إذاα=β{\displaystyle \alpha =\beta }و 0 فيما عدا ذلك. الرمز السفلي±{\displaystyle \pm }يشير عامل الإدخال أو الحذف إلى ما إذا كان يتم تطبيق التناظر (للبوزونات) أو التناظر المضاد (للفيرميونات).

عوامل إنشاء وإفناء البوزونات

يُشار عادةً إلى عامل إنشاء البوزون (أو إفنائه) بالرمز التالي:بα†{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}(على التوالي)بα{\displaystyle b_{\alpha }}). عامل الإنشاءبα†{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}يضيف بوزونًا إلى حالة الجسيم الواحد|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }، وعامل الإفناءبα{\displaystyle b_{\alpha }}يزيل بوزونًا من حالة الجسيم المفرد|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }عاملا الإنشاء والإفناء مترافقان هيرميتيًا، لكن لا يُعد أي منهما عاملًا هيرميتيًا.بα≠بα†{\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}).

تعريف

إن مؤثر إنشاء (إفناء) البوزون هو مؤثر خطي، ويكون تأثيره على دالة موجية كمية أولى مكونة من N جسيمΨ{\displaystyle \Psi }يُعرَّف بأنه

بα†Ψ=1شمال+1ψα⊗+Ψ،{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}
بαΨ=1شمالψα⊘+Ψ،{\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}

أينψα⊗+{\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}يُدخل حالة الجسيم الواحدψα{\displaystyle \psi _{\alpha }}فيشمال+1{\displaystyle N+1}مواقع الإدخال المحتملة متناظرة، وψα⊘+{\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}يحذف حالة الجسيم الواحدψα{\displaystyle \psi _{\alpha }}منشمال{\displaystyle N}مواقع الحذف المحتملة بشكل متناظر.

أمثلة

فيما يلي رمز الموتر⊗{\displaystyle \otimes }تم حذف الانتقال بين حالات الجسيمات المفردة للتبسيط. خذ الحالة|11،12⟩=(ψ1ψ2+ψ2ψ1)/2{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}، إنشاء بوزون آخر على الحالةψ1{\displaystyle \psi _{1}}،

ب1†|11،12⟩=12(ب1†ψ1ψ2+ب1†ψ2ψ1)=12(13ψ1⊗+ψ1ψ2+13ψ1⊗+ψ2ψ1)=12(13(ψ1ψ1ψ2+ψ1ψ1ψ2+ψ1ψ2ψ1)+13(ψ1ψ2ψ1+ψ2ψ1ψ1+ψ2ψ1ψ1))=23(ψ1ψ1ψ2+ψ1ψ2ψ1+ψ2ψ1ψ1)=2|21،12⟩.{\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}

ثم قم بإبادة بوزون واحد من الولايةψ1{\displaystyle \psi _{1}}،

ب1|21،12⟩=13(ب1ψ1ψ1ψ2+ب1ψ1ψ2ψ1+ب1ψ2ψ1ψ1)=13(13ψ1⊘+ψ1ψ1ψ2+13ψ1⊘+ψ1ψ2ψ1+13ψ1⊘+ψ2ψ1ψ1)=13(13(ψ1ψ2+ψ1ψ2+0)+13(ψ2ψ1+0+ψ1ψ2)+13(0+ψ2ψ1+ψ2ψ1))=ψ1ψ2+ψ2ψ1=2|11،12⟩.{\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}

التحرك بشأن فوك

انطلاقاً من حالة الفراغ أحادية النمط|0α⟩=1{\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}، بتطبيق عامل الإنشاءبα†{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}يجد المرء ذلك مراراً وتكراراً

بα†|0α⟩=ψα⊗+1=ψα=|1α⟩،{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}
بα†|نα⟩=1نα+1ψα⊗+ψα⊗نα=نα+1ψα⊗(نα+1)=نα+1|نα+1⟩.{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}

يزيد عامل الإنشاء عدد شغل البوزونات بمقدار 1. لذلك، يمكن إنشاء جميع حالات عدد الشغل بواسطة عامل إنشاء البوزونات من حالة الفراغ.

|نα⟩=1نα!(بα†)نα|0α⟩.{\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}

من ناحية أخرى، عامل الإفناءبα{\displaystyle b_{\alpha }}يخفض عدد شغل البوزونات بمقدار 1

بα|نα⟩=1نαψα⊘+ψα⊗نα=نαψα⊗(نα-1)=نα|نα-1⟩.{\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}

كما أنه سيؤدي إلى إخماد حالة الفراغبα|0α⟩=0{\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}لأنه لم يتبق أي بوزون في حالة الفراغ ليتم إفناؤه. باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه، يمكن إثبات أن

بα†بα|نα⟩=نα|نα⟩،{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}

وهذا يعني أنن^α=بα†بα{\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}يُعرّف عامل عدد البوزونات.

يمكن تعميم النتيجة المذكورة أعلاه على أي حالة فوك للبوزونات.

بα†|⋯،نβ،نα،نγ،⋯⟩=نα+1|⋯،نβ،نα+1،نγ،⋯⟩.{\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}
بα|⋯،نβ،نα،نγ،⋯⟩=نα|⋯،نβ،نα-1،نγ،⋯⟩.{\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}

يمكن اعتبار هاتين المعادلتين بمثابة الخصائص المميزة لمؤثرات إنشاء وإفناء البوزونات في صيغة التكميم الثاني. يتم التعامل تلقائيًا مع التناظر المعقد للدالة الموجية الأساسية المُكمّمة أولًا بواسطة مؤثرات الإنشاء والإفناء (عند تطبيقها على الدالة الموجية المُكمّمة أولًا)، بحيث لا يظهر هذا التعقيد على مستوى التكميم الثاني، وتكون صيغ التكميم الثاني بسيطة وواضحة.

هويات المشغلين

تنتج متطابقات المؤثرات التالية من تأثير مؤثرات إنشاء وإفناء البوزونات على حالة فوك،

[بα†،بβ†]=[بα،بβ]=0،[بα،بβ†]=دلتاαβ.{\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}

يمكن اعتبار علاقات التبادل هذه بمثابة التعريف الجبري لمؤثرات إنشاء وإفناء البوزونات. كما يتجلى تناظر دالة الموجة متعددة الأجسام للبوزونات تحت تبادل الجسيمات من خلال تبادل مؤثرات البوزونات.

تخضع معاملات الرفع والخفض للمذبذب التوافقي الكمومي لنفس مجموعة علاقات التبادل، مما يعني إمكانية تفسير البوزونات على أنها كمات الطاقة (الفونونات) للمذبذب. وتُعطى معاملات الموضع والزخم للمذبذب التوافقي (أو مجموعة من أنماط التذبذب التوافقي) بواسطة تراكيب هيرميتية لمعاملات إنشاء الفونونات وإفنائها.

xα=(بα+بα†)/2،صα=(بα-بα†)/(2أنا)،{\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}

والتي تعيد إنتاج علاقة التبادل الأساسية بين مؤثرات الموضع والزخم (معℏ=1{\displaystyle \hbar =1})

[xα،صβ]=أنادلتاαβ،[xα،xβ]=[صα،صβ]=0.{\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.}

يتم تعميم هذه الفكرة في نظرية المجال الكمومي ، التي تعتبر كل نمط من أنماط مجال المادة بمثابة مذبذب يخضع للتقلبات الكمومية، ويتم التعامل مع البوزونات على أنها إثارات (أو كميات طاقة) المجال.

عوامل إنشاء وإفناء الفيرميونات

يُشار عادةً إلى عامل إنشاء (إفناء) الفرميون بالرمز التالي:جα†{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}(جα{\displaystyle c_{\alpha }}). عامل الإنشاءجα†{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}يضيف فرميونًا إلى حالة الجسيم الواحد|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }، وعامل الإفناءجα{\displaystyle c_{\alpha }}يزيل فرميونًا من حالة الجسيم المفرد|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }.

تعريف

إن مؤثر إنشاء (إفناء) الفرميون هو مؤثر خطي، ويكون تأثيره على دالة موجية كمية أولى مكونة من N جسيمΨ{\displaystyle \Psi }يُعرَّف بأنه

جα†Ψ=1شمال+1ψα⊗-Ψ،{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}
جαΨ=1شمالψα⊘-Ψ،{\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}

أينψα⊗-{\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}يُدخل حالة الجسيم الواحدψα{\displaystyle \psi _{\alpha }}فيشمال+1{\displaystyle N+1}مواضع الإدخال المحتملة بشكل غير متناظر، وψα⊘-{\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}يحذف حالة الجسيم الواحدψα{\displaystyle \psi _{\alpha }}منشمال{\displaystyle N}مواقع الحذف المحتملة بشكل غير متماثل.

من المفيد بشكل خاص دراسة نتائج عمليات الإنشاء والإفناء على حالات مكونة من فرميونين (أو أكثر)، لأنها تُظهر آثار التبادل. ترد بعض العمليات التوضيحية في المثال أدناه. يمكن الاطلاع على الجبر الكامل لعمليات الإنشاء والإفناء على حالة مكونة من فرميونين في كتاب "الضوئيات الكمومية" . [ 8 ]

أمثلة

فيما يلي رمز الموتر⊗{\displaystyle \otimes }تم حذف الانتقال بين حالات الجسيمات المفردة للتبسيط. خذ الحالة|11،12⟩=(ψ1ψ2-ψ2ψ1)/2{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}محاولة إنشاء فرميون آخر على المنطقة المحتلةψ1{\displaystyle \psi _{1}}ستؤدي هذه الحالة إلى إخماد دالة الموجة متعددة الأجسام بأكملها،

ج1†|11،12⟩=12(ج1†ψ1ψ2-ج1†ψ2ψ1)=12(13ψ1⊗-ψ1ψ2-13ψ1⊗-ψ2ψ1)=12(13(ψ1ψ1ψ2-ψ1ψ1ψ2+ψ1ψ2ψ1)-13(ψ1ψ2ψ1-ψ2ψ1ψ1+ψ2ψ1ψ1))=0.{\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}

دمر فرميونًا علىψ2{\displaystyle \psi _{2}}الولاية، خذ الولاية|11،12⟩=(ψ1ψ2-ψ2ψ1)/2{\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}،

ج2|11،12⟩=12(ج2ψ1ψ2-ج2ψ2ψ1)=12(12ψ2⊘-ψ1ψ2-12ψ2⊘-ψ2ψ1)=12(12(0-ψ1)-12(ψ1-0))=-ψ1=-|11،02⟩.{\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}

تظهر علامة السالب (المعروفة بعلامة الفرميون) بسبب خاصية التناظر العكسي لدالة موجة الفرميون.

التحرك بشأن فوك

انطلاقاً من حالة الفراغ أحادية النمط|0α⟩=1{\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}، بتطبيق عامل إنشاء الفرميونجα†{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}،

جα†|0α⟩=ψα⊗-1=ψα=|1α⟩،{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}
جα†|1α⟩=12ψα⊗-ψα=0.{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}

إذا كانت حالة الجسيم الواحد|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }إذا كانت الحالة فارغة، فإن عامل الإنشاء سيملأها بفيرميون. أما إذا كانت الحالة مشغولة بالفعل بفيرميون، فإن تطبيق عامل الإنشاء مرة أخرى سيؤدي إلى إخماد الحالة، مما يُثبت مبدأ استبعاد باولي الذي ينص على أنه لا يمكن لفيرميونين متطابقين أن يشغلا الحالة نفسها في الوقت نفسه. ومع ذلك، يمكن إزالة الفيرميون من الحالة المشغولة بواسطة عامل إفناء الفيرميون.جα{\displaystyle c_{\alpha }}،

جα|1α⟩=ψα⊘-ψα=1=|0α⟩،{\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}
جα|0α⟩=0.{\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}

يتم إخماد حالة الفراغ بفعل عامل الإفناء.

على غرار حالة البوزون، يمكن إنشاء حالة فوك للفيرميون من حالة الفراغ باستخدام عامل إنشاء الفيرميون

|نα⟩=(جα†)نα|0α⟩.{\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}

من السهل التحقق (عن طريق التعداد) من أن

جα†جα|نα⟩=نα|نα⟩،{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}

وهذا يعني أنن^α=جα†جα{\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}يُعرّف عامل عدد الفرميون.

يمكن تعميم النتيجة المذكورة أعلاه على أي حالة فوك من الفرميونات.

جα†|⋯،نβ،نα،نγ،⋯⟩=(-1)∑β<αنβ1-نα|⋯،نβ،1+نα،نγ،⋯⟩.{\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}[ 9 ]
جα|⋯،نβ،نα،نγ،⋯⟩=(-1)∑β<αنβنα|⋯،نβ،1-نα،نγ،⋯⟩.{\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}

تذكر أن رقم المهنةنα{\displaystyle n_{\alpha }}لا يمكن أن تأخذ الفرميونات إلا القيمتين 0 أو 1. يمكن اعتبار هاتين المعادلتين بمثابة الخصائص المميزة لمعاملات إنشاء وإفناء الفرميونات في صيغة التكميم الثاني. لاحظ بنية إشارة الفرميون.(-1)∑β<αنβ{\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}تُعرف أيضًا باسم سلسلة جوردان-ويغنر ، وتتطلب وجود ترتيب مُحدد مسبقًا لحالات الجسيم الواحد ( بنية الدوران ) ، وتتضمن حساب أعداد شغل الفرميونات لجميع الحالات السابقة؛ ولذلك تُعتبر عوامل إنشاء وإفناء الفرميونات غير محلية بمعنى ما. تقود هذه الملاحظة إلى فكرة أن الفرميونات هي جسيمات ناشئة في نظام الكيوبت المحلي المتشابك بعيد المدى . [ 10 ]

هويات المشغلين

تنتج متطابقات المؤثرات التالية من تأثير مؤثرات إنشاء وإفناء الفرميونات على حالة فوك،

{جα†،جβ†}={جα،جβ}=0،{جα،جβ†}=دلتاαβ.{\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}

يمكن اعتبار علاقات التبادل المضاد هذه بمثابة التعريف الجبري لمؤثرات إنشاء وإفناء الفرميونات. كما يتجلى كون دالة الموجة متعددة الأجسام للفرميونات مضادة للتناظر تحت تبادل الجسيمات من خلال التبادل المضاد لمؤثرات الفرميونات.

عاملا الإنشاء والإفناء مترافقان هيرميتياً، لكن لا يُعد أي منهما عاملاً هيرميتياً.جα≠جα†{\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}). التركيبة الهرميتية لمؤثرات إنشاء وإفناء الفرميونات

χα،يكرر=(جα+جα†)/2،χα،أنا=(جα-جα†)/(2أنا)،{\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}

تُسمى هذه المؤثرات بمؤثرات فرميون ماجورانا . ويمكن اعتبارها النظير الفرميوني لمؤثرات الموضع والزخم للمذبذب التوافقي "الفرميوني". وهي تحقق علاقة التبادل المضاد.

{χأنا،χج}=دلتاأناج،{\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}

أينأنا،ج{\displaystyle i,j}يُصنّف جميع مؤثرات فرميونات ماجورانا على قدم المساواة (بغض النظر عن أصلها من الجزء الحقيقي أو الجزء التخيلي من تركيبات مؤثرات الفرميونات المعقدة).جα{\displaystyle c_{\alpha }}تشير علاقة التبادل المضاد إلى أن مؤثرات فرميون ماجورانا تولد جبر كليفورد ، والذي يمكن تمثيله بشكل منهجي كمؤثرات باولي في فضاء هيلبرت متعدد الأجسام.

مؤثرات المجال الكمومي

تعريفأν†{\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}كعامل إفناء (إنشاء) عام لحالة جسيم واحدν{\displaystyle \nu }قد يكون ذلك فرميونيًا(جν†){\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}أو بوزونيك(بν†){\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}، يُعرّف تمثيل الفضاء الحقيقي للمؤثرات مؤثرات المجال الكموميΨ(ر){\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}وΨ†(ر){\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}بواسطة

Ψ(ر)=∑νψν(ر)أν{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}
Ψ†(ر)=∑νψν*(ر)أν†{\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}

هذه هي عوامل التكميم من الدرجة الثانية، بمعاملاتψν(ر){\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}وψν*(ر){\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}وهي دوال موجية عادية للتكميم الأول . وبالتالي، على سبيل المثال، ستكون أي قيم متوقعة دوال موجية عادية للتكميم الأول. بعبارة أخرى،Ψ†(ر){\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}يمثل مجموع جميع الطرق الممكنة لإضافة جسيم إلى النظام عند الموضع r من خلال أي من حالات الأساسψν(ر){\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}، وليس بالضرورة موجات مستوية، كما هو موضح أدناه.

منذΨ(ر){\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}وΨ†(ر){\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}تُعرف هذه المؤثرات بمؤثرات الحقل الكمومي، وهي مؤثرات التكميم الثاني المعرفة في كل نقطة في الفضاء. وتخضع هذه المؤثرات لعلاقات التبادل والتبادل المضاد الأساسية التالية:

[Ψ(ر1)،Ψ†(ر2)]=دلتا(ر1-ر2){\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}حقول البوزونات،
{Ψ(ر1)،Ψ†(ر2)}=دلتا(ر1-ر2){\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}حقول الفرميون.

بالنسبة للأنظمة المتجانسة، غالباً ما يكون من المرغوب فيه التحويل بين تمثيلات الفضاء الحقيقي وتمثيلات الزخم، وبالتالي، فإن عوامل الحقول الكمومية في أساس فورييه تعطي ما يلي:

Ψ(ر)=1V∑كهـأناك⋅رأك{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}
Ψ†(ر)=1V∑كهـ-أناك⋅رأك†{\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}

تعليق على التسمية

إن مصطلح "التكميم الثاني"، الذي قدمه جوردان، [ 11 ] هو تسمية خاطئة استمرت لأسباب تاريخية. [ 12 ] في نشأة نظرية الحقل الكمومي، كان يُعتقد بشكل غير مناسب أن معادلة ديراك تصف دالة موجية نسبية (ومن هنا جاء تفسير " بحر ديراك " القديم )، بدلاً من حقل سبينوري كلاسيكي، والذي عند تكميمه (مثل الحقل القياسي)، ينتج عنه حقل كمومي فرميوني (مقابل حقل كمومي بوزوني).

لا يتم التكميم "مرة أخرى"، كما قد يوحي مصطلح "ثانية"؛ فالمجال الذي يتم تكميمه ليس دالة موجية لشرودنغر ناتجة عن تكميم جسيم، بل هو مجال كلاسيكي (مثل المجال الكهرومغناطيسي أو مجال ديراك الدوراني )، وهو في جوهره مجموعة من المذبذبات المتصلة، لم يتم تكميمها سابقًا. يتم تكميم كل مذبذب في هذه المجموعة، والانتقال من معالجة شبه كلاسيكية للنظام إلى معالجة ميكانيكية كمومية. وبذلك، يتم استخدام تمثيل عدد الشغل في فضاء فوك، بدلًا من تمثيل عدد الجسيمات الثابت في فضاء هيلبرت.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ديراك، بول أدريان موريس (1927). "النظرية الكمية لانبعاث وامتصاص الإشعاع" . وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، التي تحتوي على أوراق ذات طابع رياضي وفيزيائي . 114 (767): 243-265 . Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . doi : 10.1098/rspa.1927.0039 .
  2. ^ الأردن، باسكوال. ويجنر ، يوجين (1928). "Über das Paulische Äquivalenzverbot". Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 47 (9): 631–651 . بيب كود : 1928ZPhy...47..631J . دوى : 10.1007/bf01331938 . S2CID 126400679 . 
  3. ^ فوك، فلاديمير الكسندروفيتش (1932). "Configurationsraum und zweite Quantelung". Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 75 ( 9– 10): 622– 647. بيب كود : 1932ZPhy...75..622F . دوى : 10.1007/bf01344458 . S2CID 186238995 . 
  4. ↑ ريد، مايكل ؛ سيمون، باري (1975). أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة. المجلد الثاني: تحليل فورييه، الترافق الذاتي . سان دييغو: أكاديميك برس. ص 328. ISBN  978-0-08-092537-0.
  5. ^ بيتشي، كارلو ماريا (2010). "التكميم الثاني" . سكولاربيديا . 5 (6): 7902. بيب كود : 2010SchpJ...5.7902B . دوى : 10.4249/scholarpedia.7902 .
  6. ^ كوخ، إريك (2013). “حالات الإلكترون المتعددة”. في بافاريني، إيفا؛ كوخ، إريك. شولووك، أولريش (محرران). الظواهر الناشئة في مسألة مترابطة . النمذجة والمحاكاة. المجلد. 3. يوليش: Verlag des Forschungszentrum Jülich. ص 2.1 – 2.26 . اتش دي ال : 2128/5389 . رقم ISBN   978-3-89336-884-6.
  7. ↑ ماهان، جيرالد د. (2000). فيزياء الجسيمات المتعددة . فيزياء المواد الصلبة والسائلة ( الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4757-5714-9 . ISBN  978-1-4757-5714-9.
  8. ↑ بيرسال، توماس ب. (2020). الفوتونيات الكمومية . نصوص الدراسات العليا في الفيزياء ( الطبعة الثانية). تشام، سويسرا: سبرينغر. ص 301-302 . Bibcode : 2020quph.book.....P . doi : 10.1007/978-3-030-47325-9 . ISBN   978-3-030-47325-9.
  9. ↑ كتاب "النماذج النووية" لغرينر ومارون، صفحة 53، المعادلة 3.47 : http://xn--webducation-dbb.com/wp-content/uploads/2019/02/Walter-Greiner-Joachim-A.-Maruhn-DA-Bromley-Nuclear-Models-Springer-Verlag-1996.pdf
  10. ↑ ليفين، م.؛ وين، إكس جي (2003). "الفيرميونات، والأوتار، وحقول القياس في نماذج الدوران الشبكي". مجلة Physical Review B. 67 ( 24) 245316. arXiv : cond-mat/0302460 . Bibcode : 2003PhRvB..67x5316L . doi : 10.1103/PhysRevB.67.245316 . S2CID 29180411 . 
  11. ↑ تودوروف، إيفان (2012). "التكميم لغز". المجلة البلغارية للفيزياء . 39 (2): 107-149 . arXiv : 1206.3116 .
  12. ↑ واينبرغ، ستيفن (1995). نظرية الكم للحقول - المجلد الأول: الأسس . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 28.