الجبر على حقل

في الرياضيات ، يُعرف الجبر على حقل (ويُسمى غالبًا ببساطة الجبر ) بأنه فضاء متجهي مزود بضرب ثنائي خطي . وبالتالي، فإن الجبر هو بنية جبرية تتكون من مجموعة بالإضافة إلى عمليات الضرب والجمع والضرب القياسي بعناصر الحقل ، وتُحقق البديهيات التي ينطوي عليها مصطلحا "الفضاء المتجهي" و"الضرب الثنائي الخطي". ^[¹^]

قد تكون عملية الضرب في الجبر تجميعية أو غير تجميعية ، مما يؤدي إلى ظهور مفهومي الجبر التجميعي، حيث يُفترض تجميعية الضرب، والجبر غير التجميعي ، حيث لا يُفترض التجميع (ولكن لا يُستبعد أيضًا). وبالنظر إلى عدد صحيح $n$ ، فإن حلقة المصفوفات المربعة الحقيقية من الرتبة $n$ تُعد مثالًا على الجبر التجميعي في حقل الأعداد الحقيقية ، حيث يكون جمع المصفوفات وضربها تجميعيًا. أما الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، حيث يكون الضرب مُعطى بالضرب الاتجاهي للمتجهات، فهو مثال على الجبر غير التجميعي في حقل الأعداد الحقيقية، لأن الضرب الاتجاهي للمتجهات غير تجميعي، ويحقق متطابقة جاكوبي .

تكون الجبر أحاديًا إذا كان له عنصر محايد بالنسبة لعملية الضرب. تشكل حلقة المصفوفات المربعة الحقيقية من الرتبة $n$ جبرًا أحاديًا لأن مصفوفة الوحدة من الرتبة $n$ هي العنصر المحايد بالنسبة لعملية ضرب المصفوفات. وهي مثال على الجبر الترابطي الأحادي، أي حلقة (أحادية) تُعدّ أيضًا فضاءً متجهيًا.

يستخدم العديد من المؤلفين مصطلح الجبر بمعنى الجبر الترابطي ، أو الجبر الترابطي الأحادي ، أو في بعض المواضيع مثل الهندسة الجبرية ، الجبر الترابطي التبادلي الأحادي .

يؤدي استبدال حقل الأعداد القياسية بحلقة تبديلية إلى المفهوم الأكثر عمومية للجبر فوق حلقة . يجب عدم الخلط بين الجبر والفضاءات المتجهة المزودة بصيغة ثنائية الخطية ، مثل فضاءات الضرب الداخلي ، حيث أن نتيجة الضرب في هذا الفضاء لا تقع ضمن الفضاء نفسه، بل ضمن حقل المعاملات.

التعريف والدافع

أمثلة محفزة


الجبر	فضاء المتجهات	المؤثر الثنائي الخطي	الترابطية	خاصية التبادلية
الأعداد المركبة	$\mathbb {R} ^{2}$	حاصل ضرب الأعداد المركبة $\left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)$	نعم	نعم
الضرب الاتجاهي للمتجهات ثلاثية الأبعاد	$\mathbb {R} ^{3}$	المنتج المتقاطع ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$	لا	لا ( مضاد للتبديل )
الرباعيات	$\mathbb {R} ^{4}$	منتج هاميلتون $(a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})$	نعم	لا
كثيرات الحدود	$\mathbb {R} [X]$	ضرب كثيرات الحدود	نعم	نعم
المصفوفات المربعة	$\mathbb {R} ^{n\times n}$	ضرب المصفوفات	نعم	لا

تعريف

ليكن $K$ حقلاً ، وليكن $A$ فضاءً متجهياً فوق K $مزوداً$ بعملية ثنائية إضافية من $A$ $\times$ $A$ إلى A ، يُرمز لها هنا بـ $\cdot$ $($ أي، إذا كان $x$ و $y$ أي عنصرين من $A$ ، فإن $x$ $\cdot$ $y$ هو عنصر من $A$ يُسمى حاصل ضرب x $و$ y $)$ . عندئذٍ يكون $A$ جبراً فوق $K$ إذا تحققت المتطابقات التالية لجميع العناصر $x$ $و$ $y$ $و$ $z$ في $A$ ، وجميع العناصر (التي تُسمى غالباً بالأعداد القياسية ) $a$ و $b$ في $K$ :

خاصية التوزيع من اليمين : $(س + ص) \cdot ع = س \cdot ع + ص \cdot ع$
خاصية التوزيع من اليسار: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
التوافق مع الكميات العددية: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

تُعدّ هذه الشروط الثلاثة طريقة أخرى للقول بأن العملية الثنائية ثنائية الخطية . يُطلق على الجبر فوق $K$ أحيانًا اسم جبر $K$ ، ويُسمى $K$ الحقل الأساسي لـ $A.$ غالبًا ما يُشار إلى العملية الثنائية باسم الضرب في $A.$ الاصطلاح المُعتمد في هذه المقالة هو أن ضرب عناصر الجبر ليس بالضرورة تجميعيًا ، على الرغم من أن بعض المؤلفين يستخدمون مصطلح الجبر للإشارة إلى الجبر التجميعي .

عندما تكون العملية الثنائية على فضاء متجهي تبديلية ، يكون التوزيع الأيسر والتوزيع الأيمن متكافئين، وفي هذه الحالة، يكفي إثبات أحد التوزيعين فقط. أما بشكل عام، بالنسبة للعمليات غير التبديلية، فإن التوزيع الأيسر والتوزيع الأيمن ليسا متكافئين، ويتطلبان إثباتين منفصلين.

المفاهيم الأساسية

التماثلات الجبرية

بالنظر إلى جبرين من النوع $K،$ $A$ و $B$ ، فإن التشاكل بين جبرين من $النوع K،$ أو تشاكل جبر $K$ ، هو تطبيق خطي من النوع $K ،$ $f$ $:$ $A$ $\to$ $B،$ بحيث يكون $f$ $($ $xy$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ $f$ $($ $y$ $)$ لكل $x$ $و$ $y$ في $A.$ إذا كان $A$ و $B$ أحاديين، فإن التشاكل الذي يحقق $f$ $($ $A$ $) = \sumB$ $يُسمى$ تشاكلًا أحاديًا. غالبًا ما يُكتب فضاء جميع تشاكلات جبر $K بين$ $A$ و $B على النحو التالي:$

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

التشاكل في الجبر $K$ هو تشاكل تقابلي في الجبر $K.$

الجبر الجزئي والمُثُل

الجبر الجزئي لجبر على حقل $K$ هو فضاء جزئي خطي يتميز بأن حاصل ضرب أي عنصرين فيه ينتمي أيضًا إلى هذا الفضاء الجزئي. بعبارة أخرى، الجبر الجزئي لجبر هو مجموعة جزئية غير فارغة من العناصر، مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب والضرب القياسي. بالرموز، نقول إن المجموعة الجزئية $L$ من جبر $K$ -algebra $A$ هي جبر جزئي إذا كان لكل $x$ و $y$ في $L$ و $c$ في $K$ ، فإن $x \cdot y$ و $x + y$ و $cx$ جميعها تنتمي إلى $L.$

في المثال أعلاه للأعداد المركبة التي تُنظر إليها على أنها جبر ثنائي الأبعاد على الأعداد الحقيقية، فإن الخط الحقيقي أحادي البعد هو جبر فرعي.

المثالي الأيسر في جبر $K$ هو فضاء جزئي خطي يتميز بخاصية أن أي عنصر من هذا الفضاء الجزئي، عند ضربه من اليسار بأي عنصر من الجبر، ينتج عنه عنصر من هذا الفضاء الجزئي. وباستخدام الرموز، نقول إن المجموعة الجزئية $L$ من جبر $K-$ $A$ هي مثالي أيسر إذا تحققت العبارات الثلاث التالية لكل $x$ و $y$ في $L$ ، و $z$ في $A،$ و $c$ في $K.$

$x + y$ ينتمي إلى $L$ ( $L$ مغلق تحت عملية الجمع)،
$cx$ ينتمي إلى $L$ ( $L$ مغلق تحت عملية الضرب القياسي)،
$z \cdot x$ ينتمي إلى $L$ ( $L$ مغلق تحت الضرب من اليسار بعناصر اختيارية).

إذا استُبدل الشرط (3) بـ $x \cdot z$ ينتمي إلى $L$ ، فإن هذا يُعرّف مثاليًا أيمن . المثالي ثنائي الجانب هو مجموعة جزئية تُعدّ مثاليًا أيسرًا وأيمنًا في آنٍ واحد. يُفهم مصطلح "مثالي" عادةً على أنه مثالي ثنائي الجانب. بالطبع، عندما يكون الجبر تبديليًا، فإن جميع هذه المفاهيم للمثالي تكون متكافئة. الشرطان (1) و(2) معًا يُكافئان كون $L$ فضاءً جزئيًا خطيًا من $A.$ ويترتب على الشرط (3) أن كل مثالي أيسر أو أيمن هو جبر جزئي.

يختلف هذا التعريف عن تعريف المثالي في الحلقة ، إذ يتطلب هنا الشرط (2). وبالطبع، إذا كانت الجبر أحاديًا، فإن الشرط (3) يستلزم الشرط (2).

امتداد الكميات القياسية

إذا كان لدينا امتداد حقل $F / K$ ، أي حقل أكبر $F$ يحتوي على $K$ ، فإنه توجد طريقة طبيعية لإنشاء جبر على $F$ من أي جبر على $K.$ وهي نفس الطريقة المستخدمة لإنشاء فضاء متجهي على حقل أكبر، أي حاصل الضرب الموتري $V F := V \otimes K F$ . لذا، إذا كان $A$ جبرًا على $K$ ، فإن $A F$ هو جبر على $F.$

أنواع الجبر وأمثلة عليها

تتنوع أنواع الجبر على الحقول. وتُحدد هذه الأنواع بالاعتماد على بعض البديهيات الإضافية، مثل تبديلية أو تجميعية عملية الضرب، وهي بديهيات غير مطلوبة في التعريف العام للجبر. وغالبًا ما تختلف النظريات المقابلة لأنواع الجبر المختلفة اختلافًا كبيرًا.

الجبر الأحادي

يكون الجبر أحاديًا أو وحدويًا إذا كان يحتوي على عنصر وحدوي أو عنصر محايد $I$ بحيث يكون $Ix = x = xI$ لجميع $x$ في الجبر.

الجبر الصفري

يُطلق على الجبر اسم الجبر الصفري إذا كان $uv = 0$ لجميع $u$ و $v$ في الجبر، ^{[ 2 ]} ويجب عدم الخلط بينه وبين الجبر ذي العنصر الواحد. وهو بطبيعته غير محايد (باستثناء حالة العنصر الواحد فقط)، وتجميعي، وتبديلي.

الجبر الصفري الأحادي هو المجموع المباشر $K \oplus V$ للحقل $K$ والفضاء المتجهي $K$ $V$ ، والذي يتم تجهيزه بالضرب الوحيد الذي يساوي صفرًا على الفضاء المتجهي (أو الوحدة)، مما يجعله جبرًا أحاديًا.

بتعبير أدق، يمكن كتابة كل عنصر من عناصر الجبر بشكل فريد على الصورة $k + v$ حيث $k \in K$ و $v \in V$ $،$ ويكون حاصل الضرب هو العملية الثنائية الخطية $الوحيدة$ التي تحقق $vw = 0$ لكل $v$ و $w$ في $V.$ لذا، إذا $كان$ $k₁, k₂ \in K$ و $v₁, v₂ \in V ،$ فإنه $(k_{1}+v_{1})(k_{2}+v_{2})=k_{1}k_{2}+(k_{1}v_{2}+k_{2}v_{1}).$

يُعد جبر الأعداد الثنائية مثالاً كلاسيكياً على الجبر الصفري الأحادي، وهو جبر $R$ الصفري الأحادي المبني من فضاء متجهي حقيقي أحادي البعد.

يمتد هذا التعريف حرفيًا إلى تعريف الجبر الصفري الأحادي على حلقة تبديلية ، مع استبدال "الحقل" و"الفضاء المتجهي" بـ "الحلقة التبديلية" و" الوحدة النمطية ".

تسمح الجبر الصفرية الموحدة بتوحيد نظرية الوحدات الفرعية لوحدة معينة ونظرية المُثُل في الجبر الموحد. في الواقع، تتوافق الوحدات الفرعية لوحدة $V$ تمامًا مع مُثُل $K \oplus V$ الموجودة في $V.$

$على سبيل المثال ،$ قدّم برونو بوخبيرغر نظرية قواعد غروبنر للمُثُل في حلقة متعددة الحدود $R$ $=$ $K$ $[$ $x1$ $,$ $...,$ $xn$ $]$ على حقل. يسمح بناء جبر الصفر الأحادي على وحدة $R$ حرة بتوسيع هذه النظرية لتصبح نظرية قواعد غروبنر للوحدات الفرعية لوحدة حرة. يتيح هذا التوسيع، لحساب قاعدة غروبنر لوحدة فرعية، استخدام أي خوارزمية وأي برنامج لحساب قواعد غروبنر للمُثُل دون أي تعديل.

وبالمثل، تسمح الجبر الصفرية الموحدة باستنتاج نظرية لاسكر-نوثر للوحدات (على حلقة تبديلية) بشكل مباشر من نظرية لاسكر-نوثر الأصلية للمثاليات.

الجبر الترابطي

تشمل أمثلة الجبر الترابطي ما يلي:

جبر جميع المصفوفات من الرتبة $n$ × $n$ على حقل (أو حلقة تبديلية) $K.$ هنا، الضرب هو ضرب المصفوفات العادي .
جبر المجموعات ، حيث تعمل المجموعة كأساس للفضاء المتجهي، وضرب الجبر يمتد من ضرب المجموعة.
الجبر التبادلي $K [x]$ لجميع كثيرات الحدود على $K$ (انظر حلقة كثيرات الحدود ).
جبر الدوال ، مثل جبر $R$ لجميع الدوال الحقيقية المتصلة المعرفة على الفترة $[0، 1]$ ، أو جبر $C$ لجميع الدوال التحليلية المعرفة على مجموعة مفتوحة ثابتة في المستوى المركب . وهذه الجبريات تبادلية أيضًا.
تُبنى جبريات الوقوع على مجموعات معينة مرتبة جزئياً .
جبر المؤثرات الخطية ، على سبيل المثال على فضاء هيلبرت . هنا، يُعطى ضرب الجبر بتركيب المؤثرات . تحمل هذه الجبر أيضًا طوبولوجيا ؛ يُعرَّف العديد منها على فضاء باناخ أساسي ، مما يحولها إلى جبر باناخ . إذا أُعطيَ انعكاس أيضًا، نحصل على جبر B* وجبر C* . تُدرس هذه في التحليل الوظيفي .

الجبر غير الترابطي

الجبر غير الترابطي ^{[ 3 ]} (أو الجبر التوزيعي ) على حقل $K$ هو فضاء متجهي $K-$ ، A، مزود بتطبيق ثنائي الخطية $K-$ ، $A$ $\times$ $A$ $\to$ $A.$ يُقصد باستخدام مصطلح "غير ترابطي" هنا الإشارة إلى أن الترابطية غير مفترضة، ولكنها لا تعني منعها - أي أنها تعني "ليس بالضرورة ترابطيًا".

تتضمن الأمثلة المفصلة في المقال الرئيسي ما يلي:

الفضاء الإقليدي $R³ مع عملية$ الضرب المعطاة بواسطة الضرب الاتجاهي للمتجهات
الأوكتونيونات
جبر لي
جبر جوردان
الجبر البديل
الجبر المرن
الجبر الترابطي للقوى

الجبر والحلقات

يُعرَّف الجبر الترابطي $K$ ذو العنصر المحايد غالبًا بطريقة بديلة. في هذه الحالة، يكون الجبر على الحقل $K$ عبارة عن حلقة $A$ بالإضافة إلى تماثل حلقي.

\eta \colon K\to Z(A),

حيث $Z (A)$ هو مركز A. بما أن $η$ تشاكل حلقي، فلا بد أن تكون $A$ إما الحلقة الصفرية ، أو أن يكون $η$ أحاديًا . هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق، مع الضرب القياسي $.$

K\times A\to A

مقدم من

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

بالنظر إلى جبرين ترابطيين أحاديين من النوع $K، هما$ $A$ و $B$ ، فإنّ تماثل الجبر $الأحادي$ $f : A \to B$ هو تماثل حلقي يتبادل مع الضرب القياسي المعرّف بواسطة $η$ ، والذي يمكن كتابته على النحو التالي:

f(ka)=kf(a)

لكل $k \in K$ و $a \in A.$ بعبارة أخرى، فإن المخطط التالي تبادلي:

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

معاملات البنية

بالنسبة للجبر على حقل ما، فإن الضرب الثنائي الخطي من $A \times A$ إلى $A$ يتحدد تمامًا بضرب عناصر أساس $A.$ وعلى العكس من ذلك، بمجرد اختيار أساس لـ $A ، يمكن تحديد نواتج عناصر الأساس بشكل تعسفي، ثم تمديدها بطريقة فريدة إلى مؤثر ثنائي خطي على$ $A$ ، أي أن الضرب الناتج يحقق قوانين الجبر.

وبالتالي، بالنظر إلى الحقل $K$ ، يمكن تحديد أي جبر محدود الأبعاد حتى التشاكل بتحديد بُعده (مثلاً $n$ )، وتحديد $n³ من$ معاملات البنية $cᵢ, j, k$ $،$ وهي كميات قياسية . تحدد معاملات البنية هذه عملية الضرب في $A$ وفقًا للقاعدة التالية:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

حيث تشكل $e 1$ ، ...، $e n$ أساسًا لـ $A$ .

لاحظ مع ذلك أن العديد من مجموعات معاملات البنية المختلفة يمكن أن تؤدي إلى جبر متماثل.

في الفيزياء الرياضية ، تُكتب معاملات البنية عادةً بمؤشرات علوية وسفلية، وذلك لتمييز خصائص تحويلها تحت تحويلات الإحداثيات. تحديدًا، المؤشرات السفلية هي مؤشرات متغيرة ، وتتحول عبر عمليات السحب العكسي ، بينما المؤشرات العلوية متغيرة عكسيًا ، وتتحول تحت عمليات الدفع الأمامي . لذا، غالبًا ما تُكتب معاملات البنية $c i, j k$ ، وتُكتب قاعدة تعريفها باستخدام ترميز أينشتاين كما يلي:

e i e j = c i, j k e k

.

بتطبيق هذا على المتجهات المكتوبة بصيغة الفهرس ، يصبح الأمر كالتالي:

(xy) k = c i, j k x i y j

.

إذا كانت $K$ حلقة تبديلية فقط وليست حقلاً، فإن العملية نفسها تسري إذا كانت $A$ وحدة حرة فوق $K.$ أما إذا لم تكن كذلك، فإن عملية الضرب تظل محددة تمامًا بفعلها على مجموعة تولد $A$ ؛ ومع ذلك، لا يمكن تحديد ثوابت البنية بشكل تعسفي في هذه الحالة، ومعرفة ثوابت البنية فقط لا تحدد الجبر حتى التشاكل.

تصنيف الجبر الترابطي الأحادي منخفض الأبعاد على الأعداد المركبة

تم تصنيف الجبر الترابطي الأحادي ثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد ورباعي الأبعاد على حقل الأعداد المركبة بشكل كامل حتى التشاكل بواسطة إدوارد ستودي . ^{[ 4 ]}

يوجد نوعان من الجبر ثنائي الأبعاد. يتكون كل جبر من تراكيب خطية (بمعاملات مركبة) لعنصرين أساسيين، $1$ (العنصر المحايد) و $a$ . وفقًا لتعريف العنصر المحايد،

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

يبقى تحديد ذلك

\textstyle aa=1

بالنسبة للجبر الأول،

\textstyle aa=0

بالنسبة للجبر الثاني.

توجد خمسة جبريات ثلاثية الأبعاد من هذا النوع. يتكون كل جبر من تراكيب خطية لثلاثة عناصر أساسية، هي: $1$ (العنصر المحايد)، و $a،$ و $b$ . وبالنظر إلى تعريف العنصر المحايد، يكفي تحديد

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

بالنسبة للجبر الأول،

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

بالنسبة للجبر الثاني،

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

بالنسبة للجبر الثالث،

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

بالنسبة للجبر الرابع،

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

للجبر الخامس.

الجبر الرابع من هذه الجبر غير تبادلي، أما البقية فهي تبادلية.

التعميم: الجبر على حلقة

في بعض مجالات الرياضيات، مثل الجبر التبادلي ، من الشائع اعتبار المفهوم الأكثر عمومية للجبر على حلقة ، حيث تحل الحلقة التبادلية $R$ محل الحقل $K.$ الجزء الوحيد من التعريف الذي يتغير هو افتراض أن $A$ عبارة عن وحدة نمطية $R$ (بدلاً من فضاء متجه $K$ ).

الجبر الترابطي على الحلقات

الحلقة $A$ هي دائمًا جبر ترابطي فوق مركزها ، وفوق الأعداد الصحيحة . ومن الأمثلة الكلاسيكية على الجبر فوق المركز جبر الكواترنيون المزدوج المنقسم ، وهو متماثل مع $H$ $\times$ $H$ ، وهو حاصل الضرب المباشر لجبري كواترنيون . مركز هذه الحلقة هو $R$ $\times$ $R ، وبالتالي فهي تمتلك بنية جبر فوق مركزها، وهو ليس حقلًا. تجدر الإشارة إلى أن جبر الكواترنيون المزدوج المنقسم هو أيضًا جبر$ $R$ ثماني الأبعاد بطبيعته .

في الجبر التبادلي، إذا كانت $A$ حلقة تبادلية ، فإن أي تشاكل حلقي أحادي $R \to A$ يُعرّف بنية $R-$ وحدة نمطية على $A$ ، وهذا ما يُعرف ببنية $R-$ جبرية. ^{[ 5 ] لذا}^، تأتي الحلقة ببنية $Z-$ وحدة نمطية طبيعية، حيث يمكن أخذ التشاكل الوحيد $Z \to A.$ ^{[ 6} ] من ناحية أخرى، لا يمكن إعطاء جميع الحلقات بنية جبرية على حقل (على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة). انظر " حقل ذو عنصر واحد" لوصف محاولة إعطاء كل حلقة بنية تتصرف كجبر على حقل.

انظر أيضاً

ملحوظات

^ انظر أيضًا Hazewinkel، Gubareni & Kirichenko 2004 ، ص. 3 الاقتراح 1.1.1
↑ برولا، جواو ب. (2011) [1977]. "الفرضية 4.10" . تقريب الدوال المتجهة . إلسيفير. ص 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
↑ شيفر، ريتشارد د. (1996). مقدمة في الجبر غير الترابطي . شركة كورير. ISBN 0-486-68813-5.
^ دراسة، إي. (1890)، “Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen”، Monatshefte für Mathematik ، 1 (1): 283–354 ، دوى : 10.1007 / BF01692479 ، S2CID 121426669
↑ ماتسومورا، هـ. (1989). نظرية الحلقات التبادلية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد 8. ترجمة ريد، م. ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-36764-6.
↑ كونز، إرنست (1985). مقدمة في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية . بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3065-1.

مراجع

الأماكن القريبة : جوباريني، نادية؛ كيريشينكو، فلاديمير ف. (2004). الجبر والخواتم والوحدات . المجلد. 1. سبرينغر. رقم ISBN 1-4020-2690-0.

[1] انظر أيضًا Hazewinkel، Gubareni & Kirichenko 2004 ، ص. 3 الاقتراح 1.1.1

[2] برولا، جواو ب. (2011) [1977]. "الفرضية 4.10" . تقريب الدوال المتجهة . إلسيفير. ص 65. ISBN 978-0-08-087136-3.

[Schafer-3] شيفر، ريتشارد د. (1996). مقدمة في الجبر غير الترابطي . شركة كورير. ISBN 0-486-68813-5.

[4] دراسة، إي. (1890)، “Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen”، Monatshefte für Mathematik ، 1 (1): 283–354 ، دوى : 10.1007 / BF01692479 ، S2CID 121426669

[5] ماتسومورا، هـ. (1989). نظرية الحلقات التبادلية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد 8. ترجمة ريد، م. ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-36764-6.

[6] كونز، إرنست (1985). مقدمة في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية . بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3065-1.

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ] لذا

،

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗