لوجيت المرتب

في الإحصاء ، يُعدّ نموذج الانحدار اللوجستي المرتب ، أو الانحدار اللوجستي ذو النسب المتناسبة ، نموذج انحدار ترتيبي - أي نموذج انحدار لمتغيرات تابعة ترتيبية - وقد طرحه بيتر ماكولاغ لأول مرة . ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، إذا كان أحد أسئلة الاستبيان يتطلب اختيار إجابة من بين "ضعيف"، "مقبول"، "جيد"، "جيد جدًا"، و"ممتاز" ، وكان الغرض من التحليل هو معرفة مدى إمكانية التنبؤ بهذه الإجابة من خلال الإجابات على أسئلة أخرى، بعضها كمي، فيمكن استخدام الانحدار اللوجستي المرتب. ويمكن اعتباره امتدادًا لنموذج الانحدار اللوجستي الذي ينطبق على المتغيرات التابعة الثنائية ، مما يسمح بأكثر من فئتين للإجابة (مرتبة).

ينطبق هذا النموذج فقط على البيانات التي تستوفي فرضية التناسب النسبي ، والتي يمكن توضيح معناها كما يلي: لنفترض وجود خمس نتائج: "ضعيف"، "مقبول"، "جيد"، "جيد جدًا"، و"ممتاز". نفترض أن احتمالات هذه النتائج معطاة بالصيغ p1 ₍ x )، _p2 ( x ) ، p3(x)، _p4 ( x ) ، p5 ( x ) _، وكلها دوال لمتغير مستقل x . عندئذٍ، لقيمة ثابتة لـ x ، _تكون لوغاريتمات احتمالات الإجابة بطرق معينة (وليس لوغاريتمات احتمالاتها) كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ضعيف: }}&\log {\frac {p_{1}(x)}{p_{2}(x)+p_{3}(x)+p_{4}(x)+p_{5}(x)}},\\[8pt]{\text{ضعيف أو متوسط: }}&\log {\frac {p_{1}(x)+p_{2}(x)}{p_{3}(x)+p_{4}(x)+p_{5}(x)}},\\[8pt]{\text{ضعيف، متوسط، أو جيد: }}&\log {\frac {p_{1}(x)+p_{2}(x)+p_{3}(x)}{p_{4}(x)+p_{5}(x)}},\\[8pt]{\text{ضعيف، متوسط، جيد، أو جيد جدًا: }}&\log {\frac {p_{1}(x)+p_{2}(x)+p_{3}(x)+p_{4}(x)}{p_{5}(x)}}\end{aligned}}}$

ينص افتراض التناسب النسبي على أن الأعداد المضافة إلى كل لوغاريتم من هذه اللوغاريتمات للحصول على اللوغاريتم التالي متساوية بغض النظر عن قيمة x . بعبارة أخرى، فإن الفرق بين لوغاريتم احتمالية الإصابة بصحة سيئة أو متوسطة مطروحًا منه لوغاريتم احتمالية الإصابة بصحة سيئة هو نفسه بغض النظر عن قيمة x ؛ وبالمثل، فإن لوغاريتم احتمالية الإصابة بصحة سيئة أو متوسطة أو جيدة مطروحًا منه لوغاريتم احتمالية الإصابة بصحة سيئة أو متوسطة هو نفسه بغض النظر عن قيمة x ؛ وهكذا. ^{[ 2 ]}

تشمل أمثلة فئات الاستجابة متعددة الترتيب تصنيفات السندات، واستطلاعات الرأي التي تتراوح إجاباتها من "أوافق بشدة" إلى "لا أوافق بشدة"، ومستويات الإنفاق الحكومي على البرامج الحكومية (مرتفع، متوسط، أو منخفض)، ومستوى التغطية التأمينية المختارة (بدون تغطية، جزئية، أو كاملة)، والحالة الوظيفية (غير موظف، موظف بدوام جزئي، أو موظف بدوام كامل). ^{[ 3 ]}

يمكن اشتقاق نموذج الانحدار اللوجستي المرتب من نموذج متغير كامن، على غرار النموذج الذي يُشتق منه الانحدار اللوجستي الثنائي . لنفترض أن العملية الأساسية المراد وصفها هي

${\displaystyle y^{*}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\beta +\varepsilon ,\,}$

أين${\displaystyle y^{*}}$هو متغير تابع غير قابل للملاحظة (ربما يكون المستوى الدقيق للموافقة على البيان الذي اقترحه القائم بالاستطلاع)؛${\displaystyle \mathbf {x} }$هو متجه المتغيرات المستقلة؛${\displaystyle \varepsilon }$يمثل حد الخطأ ، الذي يُفترض أنه يتبع التوزيع اللوجستي القياسي؛ و${\displaystyle \beta }$يمثل متجه معاملات الانحدار التي نرغب في تقديرها. لنفترض كذلك أنه بينما لا يمكننا ملاحظة${\displaystyle y^{*}}$بدلاً من ذلك، لا يمكننا إلا ملاحظة فئات الاستجابة

${\displaystyle y={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}y^{*}\leq \mu _{1},\\1&{\text{إذا كان }}\mu _{1}<y^{*}\leq \mu _{2},\\2&{\text{إذا كان }}\mu _{2}<y^{*}\leq \mu _{3},\\\vdots \\N&{\text{إذا كان }}\mu _{N}<y^{*}\end{cases}}}$

حيث المعلمات${\displaystyle \mu _{i}}$تمثل هذه النقاط النهائية المفروضة خارجيًا للفئات القابلة للملاحظة. بعد ذلك، ستستخدم تقنية اللوجيت المرتب الملاحظات على y ، والتي تمثل شكلاً من أشكال البيانات الخاضعة للرقابة على y* ، لضبط متجه المعلمات.${\displaystyle \beta }$.

كما هو الحال مع معظم النماذج الإحصائية، يُعد تقدير الاحتمال الأقصى أو الاستدلال البايزي من أكثر الطرق شيوعًا لتحديد المعلمات. ^{[ 4 ]} تشير القيم المُقدَّرة إلى اتجاه وحجم تأثير كل متغير مستقل على احتمالية وقوع المتغير التابع في فئة أعلى.

استُخدمت نماذج الانحدار اللوجستي المرتب في مجالات متعددة، مثل النقل، ^{[ 5 ]} والتسويق، ^{[ 6 ]} أو إدارة الكوارث. ^{[ 7 ]}

في البحوث السريرية ، يمكن نمذجة تأثير الدواء على المريض باستخدام الانحدار الترتيبي. تشمل المتغيرات المستقلة استخدام الدواء أو عدم استخدامه، بالإضافة إلى متغيرات ضابطة مثل البيانات الديموغرافية وتفاصيل التاريخ الطبي. يمكن ترتيب المتغير التابع وفقًا للقائمة التالية: الشفاء التام، تحسن الأعراض، عدم حدوث تغيير، تفاقم الأعراض، أو الوفاة.

ومن الأمثلة الأخرى على التطبيقات بنود مقياس ليكرت الشائعة الاستخدام في أبحاث الاستبيانات، حيث يُقيّم المستجيبون مدى موافقتهم على مقياس ترتيبي (مثلاً، من "أرفض بشدة" إلى "أوافق بشدة"). يوفر نموذج اللوجيت المرتب ملاءمة مناسبة لهذه البيانات، إذ يحافظ على ترتيب خيارات الإجابة دون افتراض أي شيء عن المسافات الفاصلة بين الخيارات. ^{[ 8 ]}

• نموذج لوجيت متعدد الحدود
• بروبيت متعدد الحدود

• بيكر، ويليام إي.؛ كينيدي، بيتر إي. (1992). "عرض بياني لنموذج بروبيت المرتب". النظرية الاقتصادية القياسية . 8 (1): 127-131 . doi : 10.1017/S0266466600010781 .
• جيلمان، أندرو ؛ هيل، جينيفر (2007). تحليل البيانات باستخدام نماذج الانحدار والنماذج متعددة المستويات/الهرمية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 119-124 . ISBN  978-0-521-68689-1.
• هاردين، جيمس؛ هيلبي، جوزيف (2007). النماذج الخطية المعممة وامتداداتها (  الطبعة الثانية). كوليدج ستيشن: ستاتا برس. ISBN 978-1-59718-014-6.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )
• وودوارد، مارك (2005). علم الأوبئة: تصميم الدراسة وتحليل البيانات (  الطبعة الثانية). تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN 978-1-58488-415-6.
• وولدريدج، جيفري (2010). التحليل الاقتصادي القياسي لبيانات المقاطع العرضية وبيانات اللوحات (  الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحات 643-666 . ISBN  978-0-262-23258-6.

• سايمون، ستيف (22 سبتمبر 2004). "حجم العينة لنتيجة ترتيبية" . STATS - محاولة ستيف لتدريس الإحصاء . تم الاسترجاع في 22 أغسطس 2014 .
• رودريغيز، جيرمان. "نماذج اللوغاريتمية المطلوبة" . جامعة برينستون .