الرقابة (الإحصائيات)

في الإحصاء ، الرقابة هي حالة تكون فيها قيمة القياس أو الملاحظة معروفة جزئيًا فقط.

على سبيل المثال، لنفترض أن دراسة أجريت لقياس تأثير عقار ما على معدل الوفيات . في مثل هذه الدراسة، قد يكون من المعروف أن عمر الفرد عند الوفاة لا يقل عن 75 عامًا (ولكن قد يكون أكثر). يمكن أن يحدث مثل هذا الموقف إذا انسحب الفرد من الدراسة في سن 75 عامًا، أو إذا كان الفرد على قيد الحياة حاليًا في سن 75 عامًا.

يحدث الغش أيضًا عندما تحدث قيمة خارج نطاق أداة القياس . على سبيل المثال، قد يقيس ميزان الحمام ما يصل إلى 140 كجم فقط. إذا تم وزن فرد يزن 160 كجم باستخدام الميزان، فلن يعرف المراقب سوى أن وزن الفرد يبلغ 140 كجم على الأقل.

ترتبط مشكلة البيانات الخاضعة للرقابة، حيث تكون القيمة المرصودة لبعض المتغيرات معروفة جزئيًا، بمشكلة البيانات المفقودة ، حيث تكون القيمة المرصودة لبعض المتغيرات غير معروفة.

لا ينبغي الخلط بين الرقابة والفكرة ذات الصلة الاختصار . في حالة الاختصار، تؤدي الملاحظات إما إلى معرفة القيمة الدقيقة التي تنطبق، أو إلى معرفة أن القيمة تقع ضمن فاصل زمني . في حالة الاختصار، لا تؤدي الملاحظات أبدًا إلى قيم خارج نطاق معين: القيم الموجودة في السكان خارج النطاق لا تُرى أبدًا أو لا تُسجل أبدًا إذا تم رؤيتها. لاحظ أنه في الإحصائيات، لا يكون الاختصار هو نفسه التقريب .

• الرقابة على اليسار - نقطة البيانات أقل من قيمة معينة ولكن من غير المعروف مقدار ذلك.
• الرقابة الفاصلة - نقطة البيانات موجودة في مكان ما على فاصل بين قيمتين.
• الرقابة اليمنى - نقطة البيانات أعلى من قيمة معينة ولكن من غير المعروف مقدار هذه القيمة.
• يحدث النوع الأول من الرقابة إذا كانت التجربة تحتوي على عدد محدد من المواضيع أو العناصر وتتوقف التجربة في وقت محدد مسبقًا، وعند هذه النقطة يتم فرض الرقابة اليمنى على أي مواضيع متبقية.
• يحدث النوع الثاني من الرقابة إذا كانت التجربة تحتوي على عدد محدد من المواضيع أو العناصر وتتوقف التجربة عندما يتم ملاحظة فشل عدد محدد مسبقًا؛ ثم يتم فرض رقابة يمينية على المواضيع المتبقية.
• الرقابة العشوائية (أو غير المعلوماتية ) هي عندما يكون لدى كل فرد وقت رقابة مستقل إحصائيًا عن وقت فشله. القيمة المرصودة هي الحد الأدنى لوقتي الرقابة والفشل؛ الأفراد الذين يكون وقت فشلهم أكبر من وقت رقابةهم يخضعون للرقابة اليمنى.

يمكن أن يحدث حجب الفواصل الزمنية عندما يتطلب ملاحظة قيمة ما عمليات متابعة أو فحوصات. الحجب الأيسر والأيمن هما حالتان خاصتان من حجب الفواصل الزمنية، حيث تكون بداية الفاصل الزمني عند الصفر أو نهايته عند اللانهاية على التوالي.

تختلف طرق التقدير لاستخدام البيانات الخاضعة للرقابة من اليسار، وقد لا تكون جميع طرق التقدير قابلة للتطبيق أو الأكثر موثوقية لجميع مجموعات البيانات. ^[1]

من المفاهيم الخاطئة الشائعة فيما يتعلق ببيانات الفواصل الزمنية تصنيف الفواصل الزمنية التي لا يُعرف وقت البدء فيها على أنها فواصل زمنية مُراقبة من اليسار . في هذه الحالات، يكون لدينا حد أدنى للفاصل الزمني ، وبالتالي تكون البيانات مُراقبة من اليمين (على الرغم من حقيقة أن نقطة البداية المفقودة تقع على يسار الفاصل الزمني المعروف عند عرضها كخط زمني!).

يمكن استخدام تقنيات خاصة للتعامل مع البيانات الخاضعة للرقابة. يتم ترميز الاختبارات ذات أوقات الفشل المحددة على أنها إخفاقات فعلية؛ يتم ترميز البيانات الخاضعة للرقابة لنوع الرقابة والفاصل الزمني أو الحد المعروف. يمكن لبرامج الكمبيوتر الخاصة (التي غالبًا ما تكون موجهة نحو الموثوقية ) إجراء تقدير أقصى احتمال للإحصاءات الموجزة، وفواصل الثقة، وما إلى ذلك.

كانت إحدى أقدم المحاولات لتحليل مشكلة إحصائية تتضمن بيانات خاضعة للرقابة هي تحليل دانييل برنولي لعام 1766 لبيانات الإصابة والوفيات بسبب الجدري لإثبات فعالية التطعيم . ^[2] كانت إحدى الأوراق المبكرة لاستخدام مقدر كابلان ماير لتقدير التكاليف الخاضعة للرقابة هي Quesenberry et al. (1989)، ^[3] ومع ذلك وجد لين وآخرون أن هذا النهج غير صالح. ^[4] ما لم يتراكم جميع المرضى تكاليف مع دالة معدل حتمية مشتركة بمرور الوقت، فقد اقترحوا تقنية تقدير بديلة تُعرف باسم مقدر لين. ^[5]

غالبًا ما يتكون اختبار الموثوقية من إجراء اختبار على عنصر (في ظل ظروف محددة) لتحديد الوقت الذي يستغرقه حدوث الفشل.

• في بعض الأحيان، يتم التخطيط لفشل ما وتوقعه ولكنه لا يحدث: خطأ المشغل، أو عطل في المعدات، أو شذوذ في الاختبار، وما إلى ذلك. لم تكن نتيجة الاختبار هي الوقت المطلوب للفشل ولكن يمكن (ويجب) استخدامها كوقت للإنهاء. إن استخدام البيانات الخاضعة للرقابة غير مقصود ولكنه ضروري.
• في بعض الأحيان يخطط المهندسون لبرنامج اختبار بحيث يتم إنهاء جميع الاختبارات الأخرى بعد حد زمني معين أو عدد معين من الإخفاقات. يتم التعامل مع هذه الأوقات المعلقة كبيانات خاضعة للرقابة. إن استخدام البيانات الخاضعة للرقابة مقصود.

يتضمن تحليل البيانات من الاختبارات المكررة كلاً من أوقات الفشل للعناصر التي فشلت ووقت انتهاء الاختبار للعناصر التي لم تفشل.

تم اقتراح نموذج سابق للانحدار الخاضع للرقابة ، وهو نموذج توبيت ، بواسطة جيمس توبين في عام 1958. ^[6]

الاحتمال هو احتمال أو كثافة احتمالية ما تم رصده، ويُنظر إليه كدالة للمعلمات في نموذج مفترض. ولدمج نقاط البيانات الخاضعة للرقابة في الاحتمالية، يتم تمثيل نقاط البيانات الخاضعة للرقابة باحتمال نقاط البيانات الخاضعة للرقابة كدالة لمعلمات النموذج المعطى للنموذج، أي دالة لـ CDF بدلاً من الكثافة أو كتلة الاحتمالية.

الحالة الأكثر عمومية للرقابة هي الرقابة الفاصلة: ، حيث هو دالة التوزيع التراكمي لتوزيع الاحتمالات، والحالتان الخاصتان هما: ${\displaystyle Pr(a<x\leqslant b)=F(b)-F(a)}$${\displaystyle F(x)}$

• الرقابة اليسرى:${\displaystyle Pr(-\infty <x\leqslant b)=F(b)-F(-\infty )=F(b)-0=F(b)=Pr(x\leqslant b)}$

• الرقابة الصحيحة:${\displaystyle Pr(a<x\leqslant \infty )=F(\infty )-F(a)=1-F(a)=1-Pr(x\leqslant a)=Pr(x>a)}$

بالنسبة لتوزيعات الاحتمالات المستمرة:${\displaystyle Pr(a<x\leqslant b)=Pr(a<x<b)}$

لنفترض أننا مهتمون بأوقات البقاء، ولكننا لا نلاحظ جميع . بدلاً من ذلك، نلاحظ ${\displaystyle T_{1},T_{2},...,T_{n}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle (U_{i},\delta _{i})}$، مع وإذا تم ملاحظته فعليًا، و${\displaystyle U_{i}=T_{i}}$${\displaystyle \delta _{i}=1}$${\displaystyle T_{i}}$

${\displaystyle (U_{i},\delta _{i})}$، مع وإذا كان كل ما نعرفه هو أن أطول من .${\displaystyle U_{i}<T_{i}}$${\displaystyle \delta _{i}=0}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

متى يسمى وقت الرقابة . ^[7]${\displaystyle T_{i}>U_{i},U_{i}}$

إذا كانت أوقات الرقابة كلها ثوابت معروفة، فإن الاحتمالية هي

${\displaystyle L=\prod _{i,\delta _{i}=1}f(u_{i})\prod _{i,\delta _{i}=0}S(u_{i})}$

حيث = دالة كثافة الاحتمال المقيمة عند ، ${\displaystyle f(u_{i})}$${\displaystyle u_{i}}$

و = الاحتمال الذي يكون أكبر من ، يسمى دالة البقاء . ${\displaystyle S(u_{i})}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle u_{i}}$

يمكن تبسيط ذلك من خلال تعريف دالة الخطر ، وهي القوة اللحظية للوفاة، على النحو التالي:

${\displaystyle \lambda (u)=f(u)/S(u)}$

لذا

${\displaystyle f(u)=\lambda (u)S(u)}$.

ثم

${\displaystyle L=\prod _{i}\lambda (u_{i})^{\delta _{i}}S(u_{i})}$.

بالنسبة للتوزيع الأسي ، يصبح الأمر أبسط، لأن معدل الخطر، ، ثابت، و . إذن: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle S(u)=\exp(-\lambda u)}$

${\displaystyle L(\lambda )=\lambda ^{k}\exp(-\lambda \sum {u_{i}})}$,

أين . ${\displaystyle k=\sum {\delta _{i}}}$

ومن هذا يمكننا بسهولة حساب تقدير الاحتمال الأقصى (MLE) لـ ، على النحو التالي: ${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle l(\lambda )=\log(L(\lambda ))=k\log(\lambda )-\lambda \sum {u_{i}}}$.

ثم

${\displaystyle dl/d\lambda =k/\lambda -\sum {u_{i}}}$.

لقد قمنا بتعيين هذا إلى 0 وحلنا للحصول على: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\hat {\lambda }}=k/\sum u_{i}}$.

وعلى نحو مماثل، فإن متوسط ​​الوقت المستغرق للفشل هو:

${\displaystyle 1/{\hat {\lambda }}=\sum u_{i}/k}$.

يختلف هذا عن الحد الأقصى الاحتمالي القياسي للتوزيع الأسي حيث يتم اعتبار أي ملاحظات خاضعة للرقابة في البسط فقط.

• Blower, S. (2004), D, Bernoulli's " "محاولة لتحليل جديد للوفيات الناجمة عن الجدري ومزايا التطعيم للوقاية منه"" (PDF) . مؤرشف من الأصل (PDF) في 2017-08-08 . تم الاسترجاع في 2019-06-25 . (146  كيلوبايت ) " مراجعات علم الفيروسات الطبية ، 14 : 275-288"
• برادلي، ل. (1971). تطعيم الجدري: جدل رياضي في القرن الثامن عشر . نوتنغهام. رقم ISBN 0-902031-23-6.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• مان، ن.ر. وآخرون. (1975). طرق التحليل الإحصائي للموثوقية وبيانات الحياة . نيويورك: وايلي. ISBN 047156737X.
• Bagdonavicius، V.، Kruopis، J.، Nikulin، MS (2011)، "الاختبارات غير المعلمية للبيانات الخاضعة للرقابة"، لندن، ISTE/WILEY، ISBN 9781848212893 . 

• "دليل إحصائيات الهندسة"، المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا/سيماتيك، [1]