نظرية أوستروفسكي

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 88 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد ، تنص نظرية أوستروفسكي ، المنسوبة إلى ألكسندر أوستروفسكي (1916)، على أن كل قيمة مطلقة غير تافهة على الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يكافئ إما القيمة المطلقة الحقيقية المعتادة أو القيمة المطلقة p -adic . [ 1 ]

بيان النظرية

القيمة المطلقة للأعداد النسبية هي دالة|⋅|*:سؤال→R{\displaystyle |\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }مُرضٍ للجميعx،y∈سؤال{\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }

  1. |x|*≥0{\displaystyle |x|_{*}\geq 0}، مع المساواة إذا وفقط إذاx=0{\displaystyle x=0}
  2. |xy|*=|x|*|y|*{\displaystyle |xy|_{*}=|x|_{*}|y|_{*}}
  3. |x+y|*≤|x|*+|y|*{\displaystyle |x+y|_{*}\leq |x|_{*}+|y|_{*}}

قيمتان مطلقتان|⋅|{\displaystyle |\cdot |}و|⋅|*{\displaystyle |\cdot |_{*}}تُعرَّف الأعداد النسبية بأنها متكافئة إذا كانت تُنتج نفس الطوبولوجيا ؛ ويمكن إثبات أن هذا يُكافئ وجود عدد حقيقي موجب.λ∈(0،∞){\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}بحيث

|x|*=|x|λ{\displaystyle |x|_{*}=|x|^{\lambda }}

لكل عقلانيx{\displaystyle x}(ملاحظة: بشكل عام، إذا|x|{\displaystyle |x|}هي قيمة مطلقة،|x|λ{\displaystyle |x|^{\lambda }}لم تعد بالضرورة قيمة مطلقة؛ ومع ذلك، إذا تكافئت قيمتان مطلقتان، فإن كل منهما يمثل قوة موجبة للأخرى. [ 2 ] تُعرَّف القيمة المطلقة التافهة على أي حقل K على أنها

|x|0:={0،x=0،1،x≠0.{\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0,&x=0,\\1,&x\neq 0.\end{cases}}}

القيمة المطلقة الحقيقية على الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }القيمة المطلقة القياسية على الأعداد الحقيقية، والتي تُعرَّف بأنها

|x|∞:={x،x≥0،-x،x<0.{\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&x\geq 0,\\-x,&x<0.\end{cases}}}

يُكتب هذا أحيانًا باستخدام الرقم السفلي 1 بدلاً من اللانهاية .

بالنسبة لعدد أولي p ، فإن القيمة المطلقة p -adic علىسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يُعرَّف على النحو التالي: يمكن كتابة أي عدد نسبي غير صفري x بشكل فريد على النحو التاليx=صنأب{\displaystyle x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}}حيث a و b عددان صحيحان أوليان فيما بينهما ولا يقبلان القسمة على p ، و n عدد صحيح؛ لذلك نُعرّف

|x|ص:={0،x=0،ص-ن،x،≠0.{\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0,&x=0,\\p^{-n},&x,\neq 0.\end{cases}}}

تنص نظرية أوستروفسكي بعد ذلك على أنه إذا|⋅|*:سؤال→R{\displaystyle |\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }إذا كانت أي قيمة مطلقة على الأعداد النسبية، فإن|⋅|*=|⋅|0{\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{0}}، أو|⋅|*{\displaystyle |\cdot |_{*}}يعادل|⋅|{\displaystyle |\cdot |}، أو|⋅|*{\displaystyle |\cdot |_{*}}يعادل|⋅|ص{\displaystyle |\cdot |_{p}}[ 1 ]​

دليل

يتبع البرهان التالي برهان النظرية 10.1 في شيكهوف (2007).

يترك|⋅|*{\displaystyle |\cdot |_{*}}ليكن قيمة مطلقة على الأعداد النسبية. نبدأ البرهان بإثبات أن هذه القيمة تتحدد كلياً بالقيم التي تأخذها على الأعداد الأولية .

انطلاقاً من حقيقة أن1×1=1{\displaystyle 1\times 1=1}وبناءً على خاصية الضرب للقيمة المطلقة، نستنتج أن|1|*2=|1|*{\displaystyle |1|_{*}^{2}=|1|_{*}}. بخاصة،|1|*{\displaystyle |1|_{*}}يجب أن تكون القيمة 0 أو 1، وبما أن1≠0{\displaystyle 1\neq 0}يجب على المرء أن يمتلك|1|*=1{\displaystyle |1|_{*}=1}وتُظهر حجة مماثلة أن|-1|*=1{\displaystyle |-1|_{*}=1}.

بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n ، فإن خاصية الضرب تستلزم|-ن|*=|-1|*×|ن|*=|ن|*{\displaystyle |-n|_{*}=|-1|_{*}\times |n|_{*}=|n|_{*}}بمعنى آخر، القيمة المطلقة لعدد صحيح سالب تتطابق مع القيمة المطلقة لعكسه.

ليكن n عددًا صحيحًا موجبًا. من حقيقة أنن-1×ن=1{\displaystyle n^{-1}\times n=1}وبناءً على خاصية الضرب، نستنتج أن|ن-1|*=|ن|*-1{\displaystyle |n^{-1}|_{*}=|n|_{*}^{-1}}.

ليكن r عددًا نسبيًا موجبًا. يوجد عددان صحيحان موجبان أوليان فيما بينهما p و q بحيثر=صq-1{\displaystyle r=pq^{-1}}تُظهر الخصائص المذكورة أعلاه أن|ر|*=|ص|*|q-1|*=|ص|*|q|*-1{\displaystyle |r|_{*}=|p|_{*}|q^{-1}|_{*}=|p|_{*}|q|_{*}^{-1}}إجمالاً، يتم تحديد القيمة المطلقة للعدد النسبي الموجب بالكامل من خلال قيمة بسطه ومقامه.

وأخيراً، دعP{\displaystyle \mathbb {P} }لتكن مجموعة الأعداد الأولية. لكل عدد صحيح موجب n ، يمكننا كتابة

ن=∏ص∈Pصvص(ن)،{\displaystyle n=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)},}

أينvص(ن){\displaystyle v_{p}(n)}يمثل هذا التقييم p-adic للعدد n . تُمكّن خاصية الضرب من حساب القيمة المطلقة للعدد n من القيمة المطلقة للأعداد الأولية باستخدام العلاقة التالية

|ن|*=|∏ص∈Pصvص(ن)|*=∏ص∈P|ص|*vص(ن).{\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)}\right|_{*}=\prod _{p\in \mathbb {P} }|p|_{*}^{v_{p}(n)}.}

نواصل البرهان بفصل حالتين:

  1. يوجد عدد صحيح موجب n بحيث|ن|*>1{\displaystyle |n|_{*}>1}؛ أو
  2. لكل عدد صحيح n ، يكون لدينا|ن|*≤1{\displaystyle |n|_{*}\leq 1}.

القضية الأولى

لنفترض أنه يوجد عدد صحيح موجب n بحيث|ن|*>1.{\displaystyle |n|_{*}>1.}ليكن k عددًا صحيحًا غير سالب، وليكن b عددًا صحيحًا موجبًا أكبر من1{\displaystyle 1}نعبر عننك{\displaystyle n^{k}}في النظام ذي الأساس b : يوجد عدد صحيح موجب m وأعداد صحيحة(جأنا)0≤أنا<م{\displaystyle (c_{i})_{0\leq i<m}}بحيث يكون ذلك لكل i ،0≤جأنا<ب{\displaystyle 0\leq c_{i}<b}ونك=∑أنا<مجأنابأنا{\displaystyle n^{k}=\sum _{i<m}c_{i}b^{i}}. بخاصة،نك≥بم-1{\displaystyle n^{k}\geq b^{m-1}}لذام≤1+كسجلب⁡ن{\displaystyle m\leq 1+k\log _{b}n}.

كل فصل دراسي|جأنابأنا|*{\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}}هو على الأكثر(ب-1)|ب|*أنا{\displaystyle (b-1)|b|_{*}^{i}}(بحسب خاصية الضرب،|جأنابأنا|*=|جأنا|*|ب|*أنا{\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}=|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}}ثم باستخدام حقيقة أنجأنا{\displaystyle c_{i}}إذا كان رقمًا، فاكتبجأنا=1+1+⋯+1{\displaystyle c_{i}=1+1+\cdots +1}وبناءً على متباينة المثلث،|جأنا|≤|1|+|1|+⋯+|1|=جأنا≤ب-1{\displaystyle |c_{i}|\leq |1|+|1|+\cdots +|1|=c_{i}\leq b-1}.) بجانب،|ب|*أنا{\displaystyle |b|_{*}^{i}}هو على الأكثرالأعلى{1،|ب|*م-1}{\displaystyle \max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}}وبناءً على متباينة المثلث والحد المذكور أعلاه على m ، ينتج ما يلي:

|ن|*ك≤مالأعلىأنا<م{|جأنابأنا|*}≤م(ب-1)الأعلى{1،|ب|*م-1}≤(1+كسجلب⁡ن)(ب-1)الأعلى{1،|ب|*كسجلب⁡ن}.{\displaystyle {\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&\leq m\max _{i<m}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}\\&\leq m(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}\\&\leq (1+k\log _{b}n)(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{k\log _{b}n}\}.\end{aligned}}}

وبالتالي، رفع كلا الجانبين إلى السلطة1/ك{\displaystyle 1/k}، نحصل

|ن|*≤((1+كسجلب⁡ن)(ب-1))1/كالأعلى{1،|ب|*سجلب⁡ن}.{\displaystyle |n|_{*}\leq \left((1+k\log _{b}n)(b-1)\right)^{1/k}\max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}

وأخيرًا، بأخذ النهاية عندما يؤول k إلى اللانهاية، يتضح أن

|ن|*≤الأعلى{1،|ب|*سجلب⁡ن}.{\displaystyle |n|_{*}\leq \max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}

بالإضافة إلى الحالة|ن|*>1،{\displaystyle |n|_{*}>1,}تؤدي الحجة السابقة إلى|ب|*>1{\displaystyle |b|_{*}>1}بغض النظر عن اختيار ب (وإلا|ب|*سجلب⁡ن≤1{\displaystyle |b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1}يشير إلى|ن|*≤1{\displaystyle |n|_{*}\leq 1}ونتيجة لذلك، فإن جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من واحد لها قيمة مطلقة أكبر من واحد. وبالتالي، بتعميم ما سبق، لأي اختيار لعددين صحيحين n و b أكبر من أو يساوي 2، نحصل على

|ن|*≤|ب|*سجلب⁡ن،{\displaystyle |n|_{*}\leq |b|_{*}^{\log _{b}n},}

أي

سجلن⁡|ن|*≤سجلب⁡|ب|*.{\displaystyle \log _{n}|n|_{*}\leq \log _{b}|b|_{*}.}

وبالتناظر، فإن هذه المتباينة هي مساواة. على وجه الخصوص، بالنسبة لجميعن≥2{\displaystyle n\geq 2}،سجلن⁡|ن|*=سجل2⁡|2|*=λ{\displaystyle \log _{n}|n|_{*}=\log _{2}|2|_{*}=\lambda }، أي|ن|*=نλ=|ن|∞λ{\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}لأن متباينة المثلث تعني أنه لكل عدد صحيح موجب n لدينا|ن|*≤ن{\displaystyle |n|_{*}\leq n}في هذه الحالة نحصل بشكل أدق على ما يلي:0<λ≤1{\displaystyle 0<\lambda \leq 1}.

بناءً على النتيجة المذكورة أعلاه بشأن تحديد القيمة المطلقة من خلال قيمها على الأعداد الأولية، نرى بسهولة أن|ر|*=|ر|∞λ{\displaystyle |r|_{*}=|r|_{\infty }^{\lambda }}لجميع قيم r النسبية ، مما يثبت التكافؤ مع القيمة المطلقة الحقيقية.

الحالة الثانية

لنفترض أنه لكل عدد صحيح n ، لدينا|ن|*≤1{\displaystyle |n|_{*}\leq 1}بما أن القيمة المطلقة لدينا ليست تافهة، فلا بد من وجود عدد صحيح موجب n بحيث|ن|*<1.{\displaystyle |n|_{*}<1.}التحلل|ن|*{\displaystyle |n|_{*}}يُظهر تحليل الأعداد الأولية وجودص∈P{\displaystyle p\in \mathbb {P} }بحيث|ص|*<1{\displaystyle |p|_{*}<1}نزعم أن هذا صحيح بالفعل لعدد أولي واحد فقط.

لنفترض جدلاً أن p و q عددان أوليان مختلفان قيمتهما المطلقة أقل من 1. ليكن k عددًا صحيحًا موجبًا بحيث|ص|*ك{\displaystyle |p|_{*}^{k}}و|q|*ك{\displaystyle |q|_{*}^{k}}أصغر من1/2{\displaystyle 1/2}بسبب هوية بيزو ، منذصك{\displaystyle p^{k}}وqك{\displaystyle q^{k}}إذا كانا عددين أوليين فيما بينهما ، فإنه يوجد عددان صحيحان a و b بحيثأصك+بqك=1.{\displaystyle ap^{k}+bq^{k}=1.}وهذا يؤدي إلى تناقض، حيث

1=|1|*≤|أ|*|ص|*ك+|ب|*|q|*ك<|أ|*+|ب|*2≤1.{\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{k}+|b|_{*}|q|_{*}^{k}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1.}

هذا يعني أنه يوجد عدد أولي وحيد p بحيث|ص|*<1{\displaystyle |p|_{*}<1}وبالنسبة لجميع الأعداد الأولية الأخرى q ، يكون لدينا|q|*=1{\displaystyle |q|_{*}=1}(انطلاقاً من فرضية هذه الحالة الثانية). ليكنλ=-سجلص⁡|ص|*{\displaystyle \lambda =-\log _{p}|p|_{*}}. من|ص|*<1{\displaystyle |p|_{*}<1}نستنتج من ذلك أن0<λ<∞{\displaystyle 0<\lambda <\infty }(وفي هذه الحالة تحديداً، كل شيء إيجابي).λ{\displaystyle \lambda }(أعطِ قيمًا مطلقة مكافئة للقيمة p-adic.)

وأخيرًا نتحقق من ذلك|ص|صλ=ص-λ=|ص|*{\displaystyle |p|_{p}^{\lambda }=p^{-\lambda }=|p|_{*}}وذلك بالنسبة لجميع الأعداد الأولية الأخرى q ،|q|صλ=1=|q|*{\displaystyle |q|_{p}^{\lambda }=1=|q|_{*}}بناءً على النتيجة المذكورة أعلاه بشأن تحديد القيمة المطلقة من خلال قيمها على الأعداد الأولية، نستنتج أن|ر|*=|ر|صλ{\displaystyle |r|_{*}=|r|_{p}^{\lambda }}لجميع قيم r النسبية ، مما يعني أن هذه القيمة المطلقة تعادل القيمة p -adic.◼{\displaystyle \blacksquare }

نظرية أخرى لأوستروفسكي

تنص نظرية أخرى على أن أي حقل، كامل بالنسبة للقيمة المطلقة الأرخميدية ، يكون متماثلاً (جبرياً وطوبولوجياً) إما مع الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة . ويُشار إلى هذه النظرية أحياناً باسم نظرية أوستروفسكي. [ 3 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 كوبليتز، نيل (1984). أرقام P-adic، وتحليل p-adic، ووظائف زيتا . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص.  3. رقم ISBN 978-0-387-96017-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 أغسطس 2012. النظرية 1 (أوستروفسكي) . كل معيار غير تافه ‖ ‖ علىسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يكافئ || p| لبعض  الأعداد الأولية p أو لـص=∞{\displaystyle p=\infty }.
  2. ↑ شيكوف (2007) النظرية 9.2 والتمرين 9.ب
  3. ↑ كاسيلز (1986) ص 33