نظام مُفرط التحديد

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعتبر نظام المعادلات مُفرط التحديد إذا كان عدد المعادلات فيه يفوق عدد المجاهيل. [ 1 ] ويكون النظام المُفرط التحديد غير متسق (أي ليس له حل) في أغلب الأحيان عند إنشائه بمعاملات عشوائية. مع ذلك، قد يكون للنظام المُفرط التحديد حلول في بعض الحالات، كأن تتكرر معادلة ما عدة مرات في النظام، أو أن تكون بعض المعادلات عبارة عن تراكيب خطية لمعادلات أخرى.

يمكن وصف المصطلحات باستخدام مفهوم عدّ القيود . يُمكن اعتبار كل مجهول درجة حرية متاحة. يُمكن اعتبار كل معادلة مُدخلة في النظام قيدًا يُقيّد درجة حرية واحدة . بالتالي، تحدث الحالة الحرجة عندما يتساوى عدد المعادلات مع عدد المتغيرات الحرة. لكل متغير يُعطي درجة حرية، يوجد قيد مُقابل. تحدث حالة التحديد الزائد عندما يكون النظام مُقيّدًا بشكل زائد ، أي عندما يفوق عدد المعادلات عدد المجاهيل. في المقابل، تحدث حالة التحديد الناقص عندما يكون النظام مُقيّدًا بشكل ناقص، أي عندما يكون عدد المعادلات أقل من عدد المجاهيل. عادةً ما يكون لهذه الأنظمة عدد لا نهائي من الحلول.

أنظمة المعادلات الخطية ذات التحديد الزائد

مثال في بعدين

#1 نظام من ثلاث معادلات مستقلة خطيًا، ثلاثة خطوط، لا حلول لها
#2 نظام من ثلاث معادلات مستقلة خطيًا، وثلاثة خطوط (اثنان منها متوازيان )، وليس له حلول
#3 نظام من ثلاث معادلات مستقلة خطيًا، وثلاثة خطوط مستقيمة (جميعها متوازية)، وليس له حلول
#4 نظام من ثلاث معادلات (معادلة واحدة تعتمد خطيًا على المعادلات الأخرى)، وثلاثة خطوط (اثنان منها منطبقان)، وحل واحد
#5 نظام من ثلاث معادلات (إحدى المعادلات تعتمد خطيًا على المعادلات الأخرى)، وثلاثة خطوط، وحل واحد
#6 نظام من ثلاث معادلات (معادلتان تعتمد كل منهما خطيًا على الثالثة)، وثلاثة خطوط مستقيمة متطابقة، وعدد لا نهائي من الحلول

ضع في اعتبارك نظام المعادلات الثلاث والمجهولين ( X و Y )، وهو نظام زائد التحديد لأن 3 > 2، والذي يتوافق مع الرسم التخطيطي رقم 1: Y=-2X-1Y=3X-2Y=X+1.{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=-2X-1\\Y&=3X-2\\Y&=X+1.\end{aligned}}}

يوجد حل واحد لكل زوج من المعادلات الخطية: للمعادلتين الأولى والثانية (0.2،  -1.4)، وللأولى والثالثة (-2/3،  1/3)، وللثانية والثالثة (1.5،  2.5). مع ذلك، لا يوجد حل يحقق الشروط الثلاثة جميعها في آن واحد. يوضح الشكلان 2 و3 تكوينات أخرى غير متسقة لعدم وجود نقطة على جميع الخطوط. تُعتبر الأنظمة من هذا النوع غير متسقة .

الحالات الوحيدة التي يكون فيها للنظام المُفرط التحديد حلاً موضحة في الرسوم البيانية رقم 4 و5 و6. لا تحدث هذه الاستثناءات إلا عندما يحتوي النظام المُفرط التحديد على عدد كافٍ من المعادلات المرتبطة خطيًا بحيث لا يتجاوز عدد المعادلات المستقلة عدد المجاهيل. الارتباط الخطي يعني إمكانية الحصول على بعض المعادلات من خلال الجمع الخطي لمعادلات أخرى. على سبيل المثال، المعادلتان Y  = X + 1 و2 Y = 2X + 2 مرتبطتان خطيًا ، لأن الثانية يمكن الحصول عليها بضرب الأولى في اثنين.       

شكل المصفوفة

يمكن كتابة أي نظام من المعادلات الخطية على شكل معادلة مصفوفية . ويمكن كتابة نظام المعادلات السابق (في الرسم التخطيطي رقم 1) على النحو التالي: [21-31-11][XY]=[-1-21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\-3&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-2\\1\end{bmatrix}}} لاحظ أن عدد صفوف مصفوفة المعاملات (المقابلة للمعادلات) يفوق عدد أعمدتها (المقابلة للمجاهيل)، مما يعني أن النظام مُفرط التحديد. رتبة هذه المصفوفة هي 2، وهو ما يتوافق مع عدد المتغيرات التابعة في النظام. [ 2 ] يكون النظام الخطي متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة المعاملات هي نفسها رتبة مصفوفة المعاملات المُوسّعة (مصفوفة المعاملات مع إضافة عمود إضافي، وهو متجه الثوابت). رتبة المصفوفة المُوسّعة هي 3، لذا فإن النظام غير متسق. الفراغ الصفري هو 0، مما يعني أن الفضاء الصفري لا يحتوي إلا على متجه الصفر، وبالتالي ليس له أساس .

في الجبر الخطي، تُعدّ مفاهيم فضاء الصفوف ، وفضاء الأعمدة ، والفضاء الصفري مهمة لتحديد خصائص المصفوفات. ويرتبط النقاش غير الرسمي حول القيود ودرجات الحرية المذكور أعلاه ارتباطًا مباشرًا بهذه المفاهيم الأكثر رسمية.

حالة متجانسة

الحالة المتجانسة (حيث تكون جميع الحدود الثابتة صفرًا) متسقة دائمًا (لوجود حل تافه، جميع قيمه صفر). وهناك حالتان، بحسب عدد المعادلات المرتبطة خطيًا: إما وجود الحل التافه فقط ، أو وجود الحل التافه بالإضافة إلى مجموعة لانهائية من الحلول الأخرى.

لنفترض نظام المعادلات الخطية: Lᵢ = 0 حيث 1 ≤ i ≤ M ، والمتغيرات X₁ , X₂ , ..., Xₙ ، حيث يمثل كل Lᵢ مجموعًا مرجحًا للمتغيرات Xᵢ . عندئذٍ، يكون X₁ = X₂ = ... = Xₙ = 0 حلاً دائمًا. عندما M < N، يكون النظام غير محدد ، ويوجد دائمًا عدد لا نهائي من الحلول الإضافية. في الواقع ، يكون بُعد فضاء الحلول دائمًا على الأقل N − M.

بالنسبة لـ M ≥ N ، قد لا يكون هناك حل سوى أن تكون جميع القيم صفرًا. سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول الأخرى فقط عندما يكون لنظام المعادلات عدد كافٍ من التبعيات (معادلات مرتبطة خطيًا) بحيث يكون عدد المعادلات المستقلة على الأكثر N − 1. ولكن مع M ≥ N، يمكن أن يصل عدد المعادلات المستقلة إلى N ، وفي هذه الحالة يكون الحل التافه هو الحل الوحيد.

حالة غير متجانسة

في أنظمة المعادلات الخطية، حيث Li = cᵢ لـ 1 ≤ i ≤ M ، وفي المتغيرات X₁ , X₂ , ..., Xₙ ، تكون المعادلات أحيانًا مرتبطة خطيًا؛ في الواقع ، لا يمكن أن يتجاوز عدد المعادلات المستقلة خطيًا N + 1. لدينا الحالات الممكنة التالية لنظام مُفرط التحديد يحتوي على N مجهولًا و M معادلة ( M > N ).

  • M = N + 1 وجميع المعادلات M مستقلة خطيًا . في هذه الحالة، لا يوجد حل. مثال: x = 1، x = 2.
  • M > N ولكن K معادلات فقط ( K < M و K ≤ N + 1) مستقلة خطيًا. توجد ثلاث حالات فرعية محتملة لهذا:
    • K = N + 1. لا توجد حلول في هذه الحالة. مثال: 2x = 2، x = 1، x = 2.
    • K = N. في هذه الحالة، إما أن يكون هناك حل واحد أو لا يوجد حل، ويحدث الأخير عندما يمكن تكرار متجه معاملات إحدى المعادلات بمجموع مرجح لمتجهات معاملات المعادلات الأخرى، ولكن هذا المجموع المرجح المطبق على الحدود الثابتة للمعادلات الأخرى لا يكرر الحد الثابت للمعادلة الأولى. مثال مع حل واحد: 2x = 2، x = 1. مثال بدون حل: 2x + 2y = 2، x + y = 1، x + y = 3.
    • K < N. في هذه الحالة، إما أن يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول أو لا يوجد حل، ويحدث الأخير كما في الحالة الفرعية السابقة. مثال مع عدد لا نهائي من الحلول: 3x + 3y = 3، 2x + 2y = 2، x + y = 1. مثال بدون حل: 3x + 3y + 3z = 3، 2x + 2y + 2z = 2 ، x + y + z = 1، x + y + z = 4.

قد يكون فهم هذه النتائج أسهل عند وضع المصفوفة الموسعة لمعاملات النظام في شكل صفوف متدرجة باستخدام طريقة الحذف الغاوسي . هذا الشكل هو المصفوفة الموسعة لنظام معادلات مكافئ للنظام الأصلي (له نفس الحلول تمامًا). عدد المعادلات المستقلة في النظام الأصلي هو عدد الصفوف غير الصفرية في الشكل المتدرج. يكون النظام غير متسق (بدون حل) إذا وفقط إذا كان آخر صف غير صفري في الشكل المتدرج يحتوي على عنصر واحد غير صفري فقط في العمود الأخير (مما يعطي المعادلة 0 = c حيث c ثابت غير صفري). بخلاف ذلك، يوجد حل واحد فقط عندما يكون عدد الصفوف غير الصفرية في الشكل المتدرج مساويًا لعدد المجاهيل، ويوجد عدد لا نهائي من الحلول عندما يكون عدد الصفوف غير الصفرية أقل من عدد المتغيرات.

بعبارة أخرى، وفقًا لنظرية روشيه-كابيلي ، يكون أي نظام معادلات (مفرط التحديد أو غير ذلك) غير متسق إذا كانت رتبة المصفوفة الموسعة أكبر من رتبة مصفوفة المعاملات . أما إذا كانت رتبتا هاتين المصفوفتين متساويتين، فلا بد أن يكون للنظام حل واحد على الأقل. ويكون الحل وحيدًا إذا وفقط إذا كانت الرتبة تساوي عدد المتغيرات. وإلا، فإن الحل العام يحتوي على k من المعاملات الحرة، حيث k هو الفرق بين عدد المتغيرات والرتبة؛ وبالتالي، في هذه الحالة، يوجد عدد لا نهائي من الحلول.

الحلول الدقيقة

يمكن الحصول على جميع الحلول الدقيقة، أو يمكن إثبات عدم وجودها، باستخدام جبر المصفوفات . انظر: نظام المعادلات الخطية#الحل باستخدام المصفوفات .

حلول تقريبية

يمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى العادية لإيجاد حل تقريبي للأنظمة ذات التحديد الزائد. بالنسبة للنظامأx=ب،{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} ,}تم الحصول على صيغة المربعات الصغرى من المسألة مينx‖أx-ب‖،{\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\lVert A\mathbf {x} -\mathbf {b} \rVert ,} ويمكن كتابة حلها باستخدام المعادلات العادية ، [ 3 ]x=(أتيأ)-1أتيب،{\displaystyle \mathbf {x} =\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,} أينتي{\displaystyle {\mathsf {T}}}يشير إلى عملية نقل المصفوفة ، بشرط(أتيأ)-1{\displaystyle \left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}يوجد حل (أي بشرط أن يكون للمصفوفة A رتبة عمودية كاملة ). باستخدام هذه الصيغة، يتم إيجاد حل تقريبي عندما لا يوجد حل دقيق، ويتم الحصول على حل دقيق عندما يوجد حل دقيق. مع ذلك، لتحقيق دقة عددية جيدة، يُفضل استخدام تحليل QR للمصفوفة A لحل مسألة المربعات الصغرى. [ 4 ]

استخدام تحليل QR

تحليل QR لمصفوفة (طويلة)أ{\displaystyle A}هو تمثيل المصفوفة في شكل الضرب،

أ=سؤالR،{\displaystyle A=QR,}

أينسؤال{\displaystyle Q}هي مصفوفة شبه متعامدة (طويلة) تغطي نطاق المصفوفةأ{\displaystyle A}وحيثR{\displaystyle R}هي مصفوفة مربعة مثلثة قائمة (صغيرة).

حل مشكلة تقليل المعيار‖أx-ب‖2{\displaystyle \|Ax-b\|^{2}}ثم يتم تقديمه على النحو التالي:

x=R-1سؤالتيب،{\displaystyle x=R^{-1}Q^{T}b,}

حيث في الممارسة العملية بدلاً من الحسابR-1{\displaystyle R^{-1}}ينبغي إجراء عملية استبدال عكسي على النظام المثلثي القائم

Rx=سؤالتيب.{\displaystyle Rx=Q^{T}b.}

استخدام تحليل القيم المفردة

تحليل القيم المفردة ( SVD) لمصفوفة (طويلة)أ{\displaystyle A}هو تمثيل المصفوفة في شكل الضرب،

أ=يوSVتي،{\displaystyle A=USV^{T},}

أينيو{\displaystyle U}هي مصفوفة شبه متعامدة (طويلة) تغطي نطاق المصفوفةأ{\displaystyle A}،S{\displaystyle S}هي مصفوفة قطرية مربعة (صغيرة) ذات قيم مفردة غير سالبة على طول القطر، وحيثV{\displaystyle V}هي مصفوفة مربعة متعامدة (صغيرة).

حل مشكلة تقليل المعيار‖أx-ب‖2{\displaystyle \|Ax-b\|^{2}}ثم يتم تقديمه على النحو التالي:

x=VS-1يوتيب.{\displaystyle x=VS^{-1}U^{T}b.}

أنظمة المعادلات غير الخطية ذات التحديد الزائد

في الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة، يمكن كتابة نظام المعادلات أو تمثيله على شكل

{و1(x1،...،xن)=0⋮⋮⋮وم(x1،...،xن)=0{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\end{array}}\right.}

أو على شكلو(x)=0{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }مع

و(x)=[و1(x1،...،xن)⋮وم(x1،...،xن)]و0=[0⋮0]{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{array}}\right]\;\;\;{\mbox{and}}\;\;\;\mathbf {0} =\left[{\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\end{array}}\right]}

أينx=(x1،...،xن){\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}هي نقطة فيRن{\displaystyle R^{n}}أوجن{\displaystyle C^{n}}وو1،...،وم{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}تكون دوالًا حقيقية أو مركبة. يكون النظام مُفرط التحديد إذام>ن{\displaystyle m>n}. في المقابل، يكون النظام نظامًا غير محدد إذا م<ن{\displaystyle m<n}[ 5 ] [ 6 ]​

باعتبارها طريقة فعالة لحل الأنظمة ذات التحديد الزائد، فإن تكرار جاوس-نيوتن يتقارب محليًا بشكل تربيعي إلى حلول تكون عندها مصفوفات جاكوبي لـو(x){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}هي حقنية.

الاستخدام العام

يمكن تطبيق هذا المفهوم أيضًا على أنظمة المعادلات الأكثر عمومية، مثل أنظمة المعادلات متعددة الحدود أو المعادلات التفاضلية الجزئية . في حالة أنظمة المعادلات متعددة الحدود، قد يحدث أن يكون للنظام المُفرط التحديد حل، ولكن لا تكون أي معادلة نتيجةً للأخرى، وأنه عند حذف أي معادلة، يصبح للنظام الجديد حلول أكثر. على سبيل المثال،(x-1)(x-2)=0،(x-1)(x-3)=0{\displaystyle (x-1)(x-2)=0,(x-1)(x-3)=0}لديه الحل الوحيدx=1،{\displaystyle x=1,}لكن لكل معادلة حلان في حد ذاتها.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جنتل، جيمس إي. (2012-12-06). الجبر الخطي العددي لتطبيقات في الإحصاء . سبرينغر. ISBN 9781461206231.
  2. ↑ ستيفنز، سكوت أ. "تحليل النظم - الرتبة والفراغ" (ملف PDF) . مواد الرياضيات 220 - المصفوفات . جامعة ولاية بنسلفانيا. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 19 أغسطس 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أبريل 2017 .
  3. ↑ أنطون، هوارد؛ روريس، كريس (2005). الجبر الخطي الابتدائي ( الطبعة التاسعة). جون وايلي وأولاده، رقم ISBN  978-0-471-66959-3.
  4. ^ تريفثين، لويد. باو، الثالث، ديفيد (1997). الجبر الخطي العددي . رقم ISBN 978-0898713619.
  5. ↑ JM Ortega و WC Rheinboldt (1970). الحل التكراري للمعادلات غير الخطية في عدة متغيرات . منشور أكاديميك برس و SIAM 2000.
  6. ↑ دي جيه بيتس، إيه جيه سوميس، جيه دي هاوينشتاين وسي دبليو وامبلر (2013). الحل العددي لأنظمة متعددة الحدود باستخدام بيرتيني . سيام.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )