مساحات الصفوف والأعمدة

بالنظر إلى المصفوفة J :

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$

الصفوف هي ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}}$، ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}}$، ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}}$، ${\displaystyle \mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$وبالتالي، فإن فضاء الصفوف لـ J هو الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$الفضاء الممتد بواسطة { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } . بما أن متجهات الصفوف الأربعة هذه مستقلة خطيًا ، فإن فضاء الصفوف رباعي الأبعاد. علاوة على ذلك، في هذه الحالة ، يمكن ملاحظة أنها جميعًا متعامدة مع المتجه n = [6, −1, 4, −4, 0] ( حيث n عنصر من نواة J )، لذا يمكن استنتاج أن فضاء الصفوف يتكون من جميع المتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$التي تكون متعامدة مع n .

ليكن K حقلًا من الأعداد القياسية . ولتكن A مصفوفة من _الرتبة m × n ، ذات متجهات عمودية v₁ , v₂ , ..., vₙ _. التركيبة الخطية لهذه المتجهات هي أي متجه على الصورة التالية _:

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}$

حيث c₁ _، c₂ _، ...، cₙ _أعداد قياسية. تُسمى مجموعة جميع التراكيب الخطية الممكنة للمتجهات v₁ ، _... ، vₙ فضاء الأعمدة للمصفوفة A. أي أن فضاء الأعمدة للمصفوفة A هو الفضاء المولد بواسطة المتجهات v₁ _، ... ، _{vₙ .}

يمكن كتابة أي تركيبة خطية من متجهات أعمدة المصفوفة A على شكل حاصل ضرب A في متجه عمودي:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}$

لذلك، يتكون فضاء الأعمدة للمصفوفة A من جميع نواتج الضرب الممكنة A x ، حيث x ∈ K ⁿ . وهذا هو نفسه صورة (أو مدى ) تحويل المصفوفة المقابل .

تُغطي أعمدة المصفوفة A فضاء الأعمدة، لكنها قد لا تُشكّل أساسًا إذا لم تكن متجهات الأعمدة مستقلة خطيًا . لحسن الحظ، لا تؤثر عمليات الصفوف الأولية على علاقات التبعية بين متجهات الأعمدة. وهذا يُتيح استخدام اختزال الصفوف لإيجاد أساس لفضاء الأعمدة.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المصفوفة

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.}$

تُغطي أعمدة هذه المصفوفة فضاء الأعمدة، ولكنها قد لا تكون مستقلة خطيًا ، وفي هذه الحالة ستشكل مجموعة جزئية منها أساسًا. لإيجاد هذا الأساس، نُختزل المصفوفة A إلى شكل الصف المختزل :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$^{[ 6 ]}

_{عند هذه النقطة ،} يتضح أن الأعمدة الأول والثاني والرابع مستقلة خطيًا، بينما العمود الثالث هو توليفة خطية من العمودين الأولين. (وتحديدًا، v3 = −2v1 + v2 ) . لذلك ، _{تُشكل الأعمدة} الأول والثاني والرابع من المصفوفة الأصلية أساسًا لفضاء الأعمدة.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.}$

لاحظ أن الأعمدة المستقلة في الشكل المختزل للصفوف هي تحديدًا الأعمدة التي تحتوي على محاور . وهذا يُمكّن من تحديد الأعمدة المستقلة خطيًا بمجرد اختزالها إلى الشكل المختزل .

يمكن استخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه بشكل عام لإيجاد علاقات التبعية بين أي مجموعة من المتجهات، ولاختيار أساس من أي مجموعة مولدة. كما أن إيجاد أساس لفضاء الأعمدة للمصفوفة A يكافئ إيجاد أساس لفضاء الصفوف للمصفوفة المنقولة A ^T. 

لإيجاد الأساس في بيئة عملية (على سبيل المثال، للمصفوفات الكبيرة)، يتم استخدام تحليل القيم المفردة عادةً.

يُطلق على بُعد فضاء الأعمدة اسم رتبة المصفوفة. وتساوي الرتبة عدد العناصر المحورية في شكل الصفوف المختزلة ، وهي أكبر عدد من الأعمدة المستقلة خطيًا التي يمكن اختيارها من المصفوفة. على سبيل المثال، المصفوفة 4  ×  4 في المثال أعلاه لها رتبة ثلاثة.

لأن فضاء الأعمدة هو صورة لتحويل المصفوفة المقابل ، فإن رتبة المصفوفة هي نفسها بُعد الصورة. على سبيل المثال، التحويل${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}}$تُوضح المصفوفة أعلاه جميع الخرائط${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$إلى فضاء فرعي ثلاثي الأبعاد .

فراغية المصفوفة هي بُعد الفضاء الصفري ، وتساوي عدد الأعمدة في شكل الصف المختزل التي لا تحتوي على عناصر محورية. [ ^{7 ] ترتبط} رتبة وفراغية المصفوفة A ذات n عمودًا بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,}$

يُعرف هذا باسم نظرية الرتبة والعدمية .

الفضاء الصفري الأيسر للمصفوفة A هو مجموعة جميع المتجهات x التي تحقق ^{المعادلة} x ^∈ A = 0. وهو نفسه الفضاء الصفري لمنقولة المصفوفة A. ويمكن كتابة حاصل ضرب المصفوفة A في المتجه ^x بدلالة حاصل الضرب القياسي للمتجهات .

${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

لأن متجهات الصفوف في المصفوفة A ^T هي منقولات متجهات الأعمدة v _k في المصفوفة A. وبالتالي، فإن A ^T x = 0 إذا وفقط إذا كان x متعامدًا (عموديًا) على كل متجه من متجهات الأعمدة في المصفوفة A.

ويترتب على ذلك أن الفضاء الصفري الأيسر (الفضاء الصفري لـ A ^T ) هو المكمل المتعامد لفضاء الأعمدة لـ A.

بالنسبة للمصفوفة A ، يُشار أحيانًا إلى فضاء الأعمدة، وفضاء الصفوف، والفضاء الصفري، والفضاء الصفري الأيسر باسم الفضاءات الفرعية الأساسية الأربعة .

وبالمثل، يمكن تعريف فضاء الأعمدة (الذي يُشار إليه أحيانًا بفضاء الأعمدة الأيمن ) للمصفوفات على حلقة K على النحو التالي:

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}$

لأي c ₁ ، ...، c _n ، مع استبدال فضاء المتجهات m بـ " وحدة حرة يمنى "، مما يغير ترتيب الضرب القياسي للمتجه v _k بالعدد القياسي c _k بحيث يُكتب بترتيب غير عادي متجه – عدد قياسي . ^{[ 8 ]}

ليكن K حقلًا من الأعداد القياسية . ولتكن A مصفوفة من الرتبة m × n ، ذات متجهات صفية r₁ , r₂ _, ..., rₘ _. التركيبة الخطية لهذه المتجهات هي أي متجه على الصورة التالية _:

${\displaystyle c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},}$

حيث c₁ _، c₂ _، ...، cₘ _أعداد قياسية. تُسمى مجموعة جميع التراكيب الخطية الممكنة للمتجهات r₁ ، _... ، _rₘ فضاء الصفوف للمصفوفة A. أي أن فضاء الصفوف للمصفوفة A هو الفضاء المولد بواسطة المتجهات r₁ _، ... ، rₘ _.

على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},}$

_{إذن ،} متجهات الصف هي r1 = [1, 0, 2] و r2 = [0, 1, 0] _. التركيبة الخطية لـ r1 _و r2 هي أي متجه على الصورة التالية _:

${\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.}$

مجموعة جميع هذه المتجهات هي فضاء الصفوف لـ A. في هذه الحالة، ^يكون فضاء الصفوف هو تحديدًا مجموعة المتجهات ( x , y , z ) ∈ K3 التي تحقق المعادلة z = 2x ( باستخدام الإحداثيات الديكارتية ، تكون هذه المجموعة مستوى يمر بنقطة الأصل في الفضاء ثلاثي الأبعاد ).

بالنسبة للمصفوفة التي تمثل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية ، فإن فضاء الصفوف يتكون من جميع المعادلات الخطية التي تتبع من تلك الموجودة في النظام.

مساحة الأعمدة للمصفوفة A تساوي مساحة الصفوف للمصفوفة A ^T.

لا تتأثر مساحة الصفوف بعمليات الصفوف الأولية . وهذا ما يجعل من الممكن استخدام اختزال الصفوف لإيجاد أساس لمساحة الصفوف.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المصفوفة

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.}$

تمتد صفوف هذه المصفوفة على فضاء الصفوف، لكنها قد لا تكون مستقلة خطيًا ، وفي هذه الحالة لن تشكل الصفوف أساسًا. لإيجاد أساس، نُختزل المصفوفة A إلى شكل صفوف متدرجة .

تمثل r ₁ و r ₂ و r ₃ الصفوف.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

بمجرد أن تصبح المصفوفة في شكل متدرج، تُشكّل الصفوف غير الصفرية أساسًا لفضاء الصفوف. في هذه الحالة، الأساس هو {[1, 3, 2], [2, 7, 4]} . أساس آخر محتمل {[1, 0, 2], [0, 1, 0]} ينتج عن اختزال إضافي. ^{[ 9 ]}

يمكن استخدام هذه الخوارزمية بشكل عام لإيجاد أساس للفضاء الممتد لمجموعة من المتجهات. إذا تم تبسيط المصفوفة إلى شكل صفّي مُختزل ، فإن الأساس الناتج يُحدد بشكل فريد بواسطة فضاء الصفوف.

أحيانًا يكون من الأنسب إيجاد أساس لفضاء الصفوف من بين صفوف المصفوفة الأصلية (على سبيل المثال، تُفيد هذه النتيجة في تقديم برهان بسيط على أن رتبة المحدد لمصفوفة ما تساوي رتبتها). ولأن عمليات الصفوف قد تؤثر على علاقات التبعية الخطية لمتجهات الصفوف، يُوجد هذا الأساس بشكل غير مباشر باستخدام حقيقة أن فضاء أعمدة المصفوفة A  T يساوي فضاء صفوف المصفوفة A. باستخدام المصفوفة A المذكورة أعلاه، أوجد A T  واختزلها إلى شكل صفوف متدرجة.

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

تشير المحاور إلى أن العمودين الأولين من المصفوفة A ^_T يشكلان أساسًا لفضاء الأعمدة الخاص بها . وبالتالي، فإن الصفين الأولين من المصفوفة A (قبل أي اختزال للصفوف) يشكلان أيضًا أساسًا لفضاء الصفوف الخاص بها .

يُطلق على بُعد فضاء الصفوف اسم رتبة المصفوفة. وهي تُعادل الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا التي يُمكن اختيارها من المصفوفة، أو ما يُعادلها عدد العناصر المحورية. على سبيل المثال، المصفوفة 3  ×  3 في المثال أعلاه لها رتبة اثنين. ^{[ 9 ]}

رتبة المصفوفة تساوي أيضًا بُعد فضاء أعمدتها . يُسمى بُعد الفضاء الصفري بصفرية المصفوفة، ويرتبط برتبتها بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,}$

حيث n هو عدد أعمدة المصفوفة A. تُعرف المعادلة أعلاه باسم نظرية الرتبة والفراغ .

الفضاء الصفري للمصفوفة A هو مجموعة جميع المتجهات x التي تحقق A x = 0. ويمكن كتابة حاصل ضرب المصفوفة A والمتجه x بدلالة الضرب القياسي للمتجهات.

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

حيث r1 _، ...، _rm هي متجهات الصفوف للمصفوفة A. وبالتالي فإن Ax = 0 إذا وفقط إذا كان x متعامدًا (عموديًا) على كل متجه من متجهات الصفوف للمصفوفة A.

يستنتج من ذلك أن الفضاء الصفري للمصفوفة A هو المتمم المتعامد للفضاء الصفّي. على سبيل المثال، إذا كان الفضاء الصفّي مستوىً يمرّ بنقطة الأصل في ثلاثة أبعاد، فإن الفضاء الصفري سيكون الخط العمودي المارّ بنقطة الأصل. وهذا يُقدّم برهانًا لنظرية الرتبة والفراغ الصفري (انظر البُعد أعلاه).

يُعد فضاء الصف والفضاء الصفري اثنين من الفضاءات الفرعية الأساسية الأربعة المرتبطة بالمصفوفة A (الفضاءان الآخران هما فضاء العمود والفضاء الصفري الأيسر ).

إذا كان V و W فضاءين متجهيين ، فإن نواة التحويل الخطي T : V → W هي مجموعة المتجهات v ∈ V التي تحقق T ( v ) = 0. وتُشابه نواة التحويل الخطي الفضاء الصفري للمصفوفة.

إذا كان V فضاءً للجداء الداخلي ، فيمكن اعتبار المتمم المتعامد للنواة تعميمًا لفضاء الصفوف. ويُطلق على هذا أحيانًا اسم الصورة المشتركة لـ T. التحويل T أحادي على صورته المشتركة، وتُسقط الصورة المشتركة بشكل متماثل على صورة T.

عندما لا يكون V فضاءً داخليًا، يمكن تعريف الصورة المشتركة لـ T على أنها فضاء القسمة V / ker( T ) .