Piecewise linear manifold

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

In mathematics, a piecewise linear manifold (PL manifold) is a topological manifold together with a piecewise linear structure on it. Such a structure can be defined by means of an atlas, such that one can pass from chart to chart in it by piecewise linear functions. This is slightly stronger than the topological notion of a triangulation.[a] An isomorphism of PL manifolds is called a PL homeomorphism.

Relation to other categories of manifolds

PL sits between DIFF (the category of smooth manifolds) and TOP (the category of topological manifolds): it is categorically "better behaved" than DIFF — for example, the Generalized Poincaré conjecture is true in PL (with the possible exception of dimension 4, where it is equivalent to DIFF), but is false generally in DIFF — but is "worse behaved" than TOP, as elaborated in surgery theory.

Smooth manifolds

Every smooth manifold has a canonical PL structure — it is uniquely triangulizable, by Whitehead's theorem on triangulation(Whitehead 1940)[1][2] — but a PL manifold might not have a smooth structure — it might not be smoothable. Smooth manifolds and PL manifolds are both contained in the set of piecewise-smooth manifolds, but piecewise smooth functions are not close under composition, so these do not form a category.

One way in which PL is better behaved than DIFF is that one can take cones in PL, but not in DIFF — the cone point is acceptable in PL. A consequence is that the Generalized Poincaré conjecture is true in PL for dimensions greater than four — the proof is to take a homotopy sphere, remove two balls, apply the h-cobordism theorem to conclude that this is a cylinder, and then attach cones to recover a sphere. This last step works in PL but not in DIFF, giving rise to exotic spheres.

Topological manifolds

Not every topological manifold admits a PL structure, and of those that do, the PL structure need not be unique—it can have infinitely many. This is elaborated at Hauptvermutung.

إن العائق أمام وضع بنية PL على مشعب طوبولوجي M هو فئة Kirby–Siebenmann ؛ على وجه الدقة، هو العائق أمام وضع بنية PL على M x R وفي الأبعاد n > 4، تختفي فئة KS إذا وفقط إذا كان لدى M بنية PL واحدة على الأقل.

المجموعات الجبرية الحقيقية

البنية A على مشعب PL هي بنية تُتيح طريقة استقرائية لتحويل مشعب PL إلى مشعب أملس. تقبل مشعبات PL المدمجة البنى A. [ 3 ] [ 4 ] مشعبات PL المدمجة متماثلة طوبولوجيًا مع المجموعات الجبرية الحقيقية . [ 5 ] [ 6 ] بعبارة أخرى، تقع فئة A فوق فئة PL كفئة أغنى دون أي عائق للرفع، أي أن BA → BPL هو تليف ناتج حيث BA = BPL × PL/A، ومشعبات PL هي مجموعات جبرية حقيقية لأن مشعبات A هي مجموعات جبرية حقيقية.

المتشعبات التوافقية والمتشعبات الرقمية

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يتطلب هيكل PL أيضًا أن يكون رابط المُجَسَّم البسيط عبارة عن كرة PL. مثال على التثليث الطوبولوجي لمتشعب لا يُمثل هيكل PL هو، في بُعد n  ≥ 5، التعليق ( n − 3) لكرة بوانكاريه (مع تثليث ثابت): يحتوي على مُجَسَّم بسيط رابطه هو كرة بوانكاريه، وهي متشعب ثلاثي الأبعاد غير متماثل مع كرة، وبالتالي ليس كرة PL. انظر قسم التثليث (الطوبولوجيا) § الهياكل الخطية المُجزأة لمزيد من التفاصيل.   

مراجع

  1. ↑ لوري، جاكوب (13 فبراير 2009)، تثليثات وايتهيد (المحاضرة 3) (PDF)
  2. ↑ MA Shtan'ko (2001) [1994]، "طوبولوجيا المتشعبات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
  3. ↑ أكبولوت، س.؛ تايلور، ل. (1980). "نظرية حل طوبولوجي" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . (سلسلة جديدة). 2 (1): 174-176 . doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .
  4. ^ أكبولوت، إس. تايلور، ل. (1981). "نظرية القرار الطوبولوجي" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 163– 196. دوى : 10.1007 / BF02698689 . S2CID 121566364 . 
  5. ↑ أكبولوت، س.؛ كينغ، هـ. س. (1980). "توصيف طوبولوجي للأصناف الجبرية الحقيقية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . (سلسلة جديدة). 2 (1): 171-173 . doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .
  6. ^ أكبولوت، إس. كينغ، HC (1981). "الهياكل الجبرية الحقيقية في الفضاءات الطوبولوجية" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 79-162 . دوى : 10.1007 / BF02698688 . S2CID 13323578 .