نظرية الإعاقة

في الرياضيات ، تُطلق نظرية العوائق على نظريتين رياضيتين مختلفتين ، وكلاهما ينتج عنه ثوابت متماثلة .

في العمل الأصلي لستيفل وويتني ، عُرِّفت الفئات المميزة على أنها عوائق أمام وجود حقول معينة من المتجهات المستقلة خطيًا. وتبين أن نظرية العوائق هي تطبيق لنظرية التماثل على مشكلة بناء مقطع من حزمة .

في نظرية التماثل

يشير المعنى القديم لنظرية العوائق في نظرية التماثل إلى الإجراء الاستقرائي، بالنسبة للبعد، لتمديد تطبيق متصل مُعرَّف على مُركَّب تبسيطي ، أو مُركَّب CW . ويُطلق عليه تقليديًا اسم نظرية عوائق إيلنبرغ ، نسبةً إلى صموئيل إيلنبرغ . وتتضمن هذه النظرية استخدام مجموعات التماثل مع معاملات في مجموعات التماثل لتحديد عوائق التمديد. على سبيل المثال، مع تطبيق من مُركَّب تبسيطي X إلى آخر Y ، مُعرَّف مبدئيًا على الهيكل الصفري لـ X (رؤوس X )، سيكون التمديد إلى الهيكل الأحادي ممكنًا كلما انتمت صورة الهيكل الصفري إلى نفس المُكوِّن المُتصل مساريًا في Y. ويعني التمديد من الهيكل الأحادي إلى الهيكل الثنائي تعريف التطبيق على كل مثلث صلب من X ، مع الأخذ في الاعتبار التطبيق المُعرَّف مُسبقًا على حوافه. وبالمثل، فإن توسيع نطاق التعيين إلى الهيكل العظمي الثلاثي يتضمن توسيع نطاق التعيين إلى كل مجسم ثلاثي الأبعاد صلب من X ، بالنظر إلى التعيين المحدد بالفعل على حدوده.

في مرحلة ما، مثلاً عند توسيع نطاق التطبيق من الهيكل (n-1) لـ X إلى الهيكل n لـ X ، قد يصبح هذا الإجراء مستحيلاً. في هذه الحالة، يمكن إسناد فئة التماثل إلى كل مُركب بسيط n. $\pi _{n-1}(Y)$ من بين عمليات الربط المُعرَّفة مسبقًا على حدودها (والتي سيكون أحدها على الأقل غير صفري). تُعرِّف هذه التعيينات سلسلةً مشتركةً من الرتبة n بمعاملات في $\pi _{n-1}(Y)$ والمثير للدهشة أن هذه السلسلة المشتركة تتحول إلى دورة مشتركة ، وبالتالي تحدد فئة تماثلية في مجموعة التماثل النونية لـ X بمعاملات في $\pi _{n-1}(Y)$ عندما تكون فئة التماثل هذه مساوية للصفر، يتضح أنه يمكن تعديل التطبيق ضمن فئة التماثل الخاصة به على الهيكل (n-1) لـ X بحيث يمكن تمديد التطبيق إلى الهيكل n لـ X. أما إذا كانت الفئة لا تساوي الصفر، فتُسمى عائقًا أمام تمديد التطبيق على الهيكل n، نظرًا لفئة التماثل الخاصة به على الهيكل (n-1).

عرقلة تمديد جزء من حزمة رئيسية

بناء

لنفترض أن $B$ عبارة عن مُركّب تبسيطي بسيط الاتصال ، وأن $p : E \to B$ عبارة عن تليف ذي ليف $F.$ علاوة على ذلك، لنفترض أن لدينا مقطعًا مُعرّفًا جزئيًا $σ$ $n$ $:$ $B$ $n$ $\to$ $E$ على الهيكل العظمي ذي $n$ بُعد لـ $B.$

لكل مُركّب بسيط من الرتبة $(n + 1) Δ في B، يمكن تقييد σn على الحدود \partialΔ (وهي كرة طوبولوجية من الرتبة n). ولأن p تُعيد كل σn(\partialΔ) إلى \partialΔ$ $، فإن σn$ $تُعرّف$ دالة $من$ الكرة $من$ الرتبة $n$ إلى $p$ − $1$ ( $Δ$ ) $. ولأن التليفات تُحقق$ خاصية $رفع$ التماثل $،$ $ولأن$ Δ $قابلة$ للانكماش $،$ $فإن$ $p$ $-$ $1$ ( $Δ$ ) مُكافئة تماثليًا $لـ$ $F.$ $لذا$ $،$ $يُخصص$ $هذا$ القسم المُعرّف جزئيًا $عنصرًا$ $من$ πn $($ $F$ $)$ $لكل$ $مُركّب$ بسيط $من$ $الرتبة$ $($ $n$ $+ 1)$ $.$ وهذه هي تحديدًا بيانات سلسلة مُركّبة بسيطة من الرتبة $n$ $+ 1$ على $B$ ، أي عنصر من $Cn$ $+$ $1$ $(B;$ $πn$ $($ $F$ $)$ $)$ . تُسمى هذه السلسلة المشتركة سلسلة العوائق المشتركة لأن كونها الصفر يعني أن جميع عناصر $π$ $n$ $($ $F$ $)$ تافهة، مما يعني أنه يمكن تمديد مقطعنا المحدد جزئيًا إلى الهيكل العظمي $($ $n$ $+ 1)$ باستخدام التماثل بين (المقطع المحدد جزئيًا على حدود كل $Δ$ ) والخريطة الثابتة.

يمكن استخدام حقيقة أن هذه السلسلة المشتركة ناتجة عن مقطع مُعرَّف جزئيًا (بدلاً من مجموعة عشوائية من الخرائط من جميع حدود جميع المُجَسَّمات البسيطة من الرتبة $(n + 1) ) لإثبات أن هذه السلسلة المشتركة هي دورة مشتركة. إذا بدأنا بمقطع مُعرَّف جزئيًا مختلف$ $σ n$ يتوافق مع المقطع الأصلي على الهيكل العظمي من الرتبة $(n - 1)$ ، فيمكننا أيضًا إثبات أن الدورة المشتركة الناتجة ستختلف عن الأولى بحدود مشتركة. لذلك، لدينا عنصر مُعرَّف جيدًا من زمرة التماثل $H n + 1 (B; π n (F))$ بحيث إذا وُجد مقطع مُعرَّف جزئيًا على الهيكل العظمي من الرتبة $(n + 1)$ يتوافق مع الاختيار المُعطى على الهيكل العظمي من الرتبة $(n - 1)$ ، فإن فئة التماثل هذه يجب أن تكون تافهة.

وينطبق العكس أيضًا إذا سمحنا بوجود مقاطع تماثلية ، أي تطبيق $σ : B \to E$ بحيث يكون $p \circ σ$ متماثلًا (وليس مساويًا) لتطبيق التطابق على $B.$ وبالتالي، فإنه يوفر ثباتًا تامًا لوجود المقاطع حتى التماثل على الهيكل $(n + 1)$ .

التطبيقات

عن طريق الاستقراء على $n$ ، يمكن للمرء أن يبني عائقًا أوليًا للقسم باعتباره أول فئة من فئات التماثل المذكورة أعلاه والتي لا تساوي الصفر.
يمكن استخدام هذا لإيجاد عوائق أمام تبسيط الحزم الرئيسية .
لأن أي خريطة يمكن تحويلها إلى تليف ، يمكن استخدام هذا البناء لمعرفة ما إذا كانت هناك عوائق أمام وجود رفع (حتى التماثل) لخريطة إلى $B$ إلى خريطة إلى $E$ حتى لو لم يكن $p : E \to B$ تليفًا.
يُعدّ هذا الأمر بالغ الأهمية لبناء أنظمة بوستنيكوف .

في الطوبولوجيا الهندسية

في الطوبولوجيا الهندسية ، تهتم نظرية العوائق بمتى يكون للمشعب الطوبولوجي بنية خطية متقطعة ، ومتى يكون للمشعب الخطي المتقطع بنية تفاضلية .

في البعدين 2 (رادو) و3 (مويس) على الأكثر، تتطابق مفاهيم المتشعبات الطوبولوجية والمتشعبات الخطية القطعية. أما في البعد 4، فلا تتطابق هذه المفاهيم.

في الأبعاد التي لا تتجاوز 6، تتطابق مفاهيم المشعبات الخطية القطعية والمشعبات القابلة للتفاضل.

في نظرية الجراحة

السؤالان الأساسيان في نظرية الجراحة هما: هل الفضاء الطوبولوجي ذو ازدواجية بوانكاريه من الرتبة n مكافئ تماثليًا لمتشعب من الرتبة n ؟ وهل التكافؤ التماثلي لمتشعبات من الرتبة n متماثل تماثليًا لتشاكل تفاضلي ؟ في كلتا الحالتين، يوجد عائقان لـ n>9 ، عائق طوبولوجي أولي في نظرية K يمنع وجود حزمة متجهة : إذا انعدم هذا العائق، فإنه يوجد تطبيق عادي ، مما يسمح بتعريف العائق الجراحي الثانوي في نظرية L الجبرية لإجراء جراحة على التطبيق العادي للحصول على تكافؤ تماثلي .

انظر أيضاً

مراجع

هوسيمولر، ديل (1994)، حزم الألياف ، سبرينغر فيرلاج، ISBN 0-387-94087-1
ستينرود، نورمان (1951)، طوبولوجيا حزم الألياف ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-08055-0{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
سكوربان، ألكسندرو (2005). العالم الجامح للمتشعبات الرباعية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-3749-4.

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗