نظرية الجراحة

إذا كانت X و Y متعددات شعب ذات حدود، فإن حدود متعدد الشعب الناتج هي

${\displaystyle \partial (X\times Y)=(\partial X\times Y)\cup (X\times \partial Y).}$

الملاحظة الأساسية التي تبرر الجراحة هي أن المساحة${\displaystyle S^{p}\times S^{q-1}}$يمكن فهمها إما على أنها حدود لـ${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$أو كحدود لـ${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$بالرموز،

${\displaystyle \partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)=S^{p}\times S^{q-1}=\partial \left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right)}$،

أين${\displaystyle D^{q}}$القرص ذو البعد q ، أي مجموعة النقاط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$التي تقع على مسافة واحد أو أقل من نقطة ثابتة معينة (مركز القرص)؛ على سبيل المثال،${\displaystyle D^{1}}$متماثلة طوبولوجيًا مع الفترة 1، بينما${\displaystyle D^{2}}$هي دائرة مع النقاط الموجودة في داخلها.

الآن، بالنظر إلى مشعب M ذي بُعد${\displaystyle n=p+q}$وتضمين​${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$، تعريف مشعب آخر ذو أبعاد n${\displaystyle M'}$يكون

${\displaystyle M':=\left(M\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi ))\right)\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times S^{q-1}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

منذ${\displaystyle \operatorname {im} (\phi )=\phi (S^{p}\times D^{q})}$وبناءً على المعادلة المستخلصة من ملاحظتنا الأساسية السابقة، يصبح اللصق مبرراً.

${\displaystyle \phi \left(\partial \left(S^{p}\times D^{q}\right)\right)=\phi \left(S^{p}\times S^{q-1}\right).}$

يقول أحدهم إن المتشعب M ′ ينتج عن عملية جراحية لاستئصال${\displaystyle S^{p}\times D^{q}}$واللصق في${\displaystyle D^{p+1}\times S^{q-1}}$أو عن طريق عملية جراحية من النوع p إذا رغبنا في تحديد العدد p . من الناحية الدقيقة، M ′ عبارة عن فضاء متعدد الشعب ذي زوايا، ولكن توجد طريقة قياسية لتنعيمها. لاحظ أن الفضاء الفرعي الذي تم استبداله في M كان له نفس بُعد M (كان بُعده المشترك 0).

الجراحة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا (لكنها ليست نفسها) عملية تثبيت المقبض . بالنظر إلى${\displaystyle (n+1)}$متعدد الشعب ذو حدود${\displaystyle (L,\partial L)}$وتضمين${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to \partial L}$، أين${\displaystyle n=p+q}$، حدد تعريفًا آخر${\displaystyle (n+1)}$متعدد الشعب ذو الحدود L ′ بواسطة

${\displaystyle L':=L\;\cup _{\phi }\left(D^{p+1}\times D^{q}\right).}$

يتم الحصول على المتشعب L ′ عن طريق "إلحاق${\displaystyle (p+1)}$- التعامل مع، مع${\displaystyle \partial L'}$تم الحصول عليه من${\displaystyle \partial L}$عن طريق جراحة

${\displaystyle \partial L'=(\partial L\setminus \operatorname {int} (\operatorname {im} (\phi )))\;\cup _{\phi |_{S^{p}\times D^{q}}}\left(D^{p+1}\times S^{q-1}\right).}$

لا ينتج عن إجراء جراحة على M مجرد فضاء متعدد الشعب جديد M ′ فحسب، بل ينتج عنه أيضًا تماثل W بين M و M ′. وأثر الجراحة هو التماثل.${\displaystyle (W;M,M')}$، مع

${\displaystyle W:=(M\times I)\;\cup _{\phi \times \{1\}}\left(D^{p+1}\times D^{q}\right)}$

ال${\displaystyle (n+1)}$متعدد الشعب ذو الأبعاد n ذو الحدود${\displaystyle \partial W=M\cup M'}$تم الحصول عليه من المنتج${\displaystyle M\times I}$عن طريق إرفاق${\displaystyle (p+1)}$-مقبض${\displaystyle D^{p+1}\times D^{q}}$.

الجراحة متناظرة بمعنى أنه يمكن إعادة الحصول على المتشعب M من M ′ بواسطة${\displaystyle (q-1)}$-الجراحة، التي يتطابق أثرها مع أثر الجراحة الأصلية، وصولاً إلى التوجيه.

في معظم التطبيقات، تأتي المتشعبة M مزودة ببنية هندسية إضافية، مثل خريطة إلى فضاء مرجعي، أو بيانات حزم إضافية. لذا، يُراد من عملية الجراحة أن تُضفي على M ′ نفس النوع من البنية الإضافية. على سبيل المثال، تُعد الجراحة على الخرائط العادية أداةً قياسية في نظرية الجراحة : إذ تُغير هذه العملية خريطة عادية إلى خريطة عادية أخرى ضمن نفس فئة الحدود.

بشكل بديهي، تُعد عملية الجراحة نظيرًا متعدد الأوجه لعملية ربط خلية بفضاء طوبولوجي، حيث يكون التضمين${\displaystyle \phi }$يحل محل الخريطة المرفقة. عملية إرفاق بسيطة لـ${\displaystyle (p+1)}$إن تحويل خلية إلى مشعب ذي n بُعد سيؤدي إلى تدمير بنية المشعب لأسباب تتعلق بالأبعاد، لذلك يجب زيادة سماكته عن طريق التقاطع مع خلية أخرى.

حتى التماثل، عملية الجراحة على التضمين${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$يمكن وصفها بأنها عملية ربط${\displaystyle (p+1)}$الخلية -، مما يعطي نوع التماثل للأثر، وفصل خلية q للحصول على N. يمكن فهم ضرورة عملية الفصل كتأثير لازدواجية بوانكاريه .

بنفس الطريقة التي يمكن بها إلحاق خلية بفضاء لحذف عنصر في مجموعة تماثل معينة للفضاء، يمكن في كثير من الأحيان استخدام عملية جراحية من الرتبة p على متعدد الشعب M لحذف عنصر${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$لكن هناك نقطتان مهمتان: أولاً، العنصر${\displaystyle \alpha \in \pi _{p}(M)}$يجب أن يكون قابلاً للتمثيل عن طريق تضمين${\displaystyle \phi \colon S^{p}\times D^{q}\to M}$(وهذا يعني تضمين الكرة المناظرة بحزمة عمودية تافهة ). على سبيل المثال، لا يمكن إجراء عملية جراحية على حلقة عكس الاتجاه. ثانيًا، يجب مراعاة تأثير عملية الفصل، إذ قد تؤثر أيضًا على مجموعة التماثل قيد الدراسة. وبشكل عام، لا تكون هذه النقطة الثانية مهمة إلا عندما يكون p على الأقل من رتبة نصف بُعد M. 

في المنهج الكلاسيكي، كما طوره ويليام براودر وسيرجي نوفيكوف ودينيس سوليفان وسي تي سي وول ، تُجرى الجراحة على الخرائط العادية من الدرجة الأولى. باستخدام الجراحة، يُطرح السؤال: "هل الخريطة العادية هي${\displaystyle f\colon M\to X}$يمكن ترجمة عبارة "من الدرجة الأولى المتوافقة مع تكافؤ التماثل" (في أبعاد أكبر من أربعة) إلى عبارة جبرية حول عنصر ما في زمرة L لحلقة الزمرة.${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$وبشكل أدق، تكون الإجابة على السؤال إيجابية إذا وفقط إذا كان انسداد العملية الجراحية${\displaystyle \sigma (f)\in L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$يساوي صفرًا، حيث n هو بُعد M.

على سبيل المثال، لنفترض الحالة التي يكون فيها البعد n = 4k من مضاعفات العدد أربعة، و${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$من المعروف أن${\displaystyle L_{4k}(\mathbb {Z} )}$متماثل مع الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$في ظل هذا التماثل، يكون إعاقة الجراحة لـ f متناسبًا مع الفرق بين التوقيعات${\displaystyle \sigma (X)-\sigma (M)}$من X و M. وبالتالي فإن الخريطة العادية من الدرجة الأولى تكون متوافقة مع تكافؤ التماثل إذا وفقط إذا اتفقت إشارات المجال والمجال المقابل.

بالعودة إلى مسألة "الوجود" المذكورة أعلاه، نلاحظ أن الفضاء X يمتلك نوع التماثل لمتشعب أملس إذا وفقط إذا استقبل خريطة طبيعية من الدرجة الأولى بحيث يختفي عائق الجراحة. يؤدي هذا إلى عملية إعاقة متعددة الخطوات: لكي نتحدث عن خرائط طبيعية، يجب أن يحقق X صيغة مناسبة من ازدواجية بوانكاريه التي تحوله إلى مُركب بوانكاريه . بافتراض أن X مُركب بوانكاريه، يُبين بناء بونترياجين-ثوم أن خريطة طبيعية من الدرجة الأولى إلى X موجودة إذا وفقط إذا كان التليف الطبيعي لسبيفاك لـ X يُختزل إلى حزمة متجهة مستقرة . إذا وُجدت خرائط طبيعية من الدرجة الأولى إلى X ، فإن فئات حدودها (المسماة بالثوابت الطبيعية ) تُصنف بواسطة مجموعة فئات التماثل.${\displaystyle [X,G/O]}$لكلٍّ من هذه الثوابت الطبيعية عائقٌ جراحي؛ يكون X من النوع الهوموتوبي لمتشعب أملس إذا وفقط إذا كان أحد هذه العوائق يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، هذا يعني وجود خيار لثابت طبيعي ذي صورة صفرية تحت خريطة العائق الجراحي.

${\displaystyle [X,G/O]\to L_{n}\left(\mathbb {Z} \left[\pi _{1}(X)\right]\right).}$

يُعدّ مفهوم مجموعة البنية الإطارَ الموحّد لكلٍّ من مسألتي الوجود والوحدانية. وبشكلٍ عام، تتكوّن مجموعة البنية لفضاءٍ ما X من تكافؤات التماثل M → X من مشعبٍ ما إلى X ، حيث يتمّ تحديد دالتين تحت علاقةٍ من نوع التماثل الحدّي. ومن الشروط الضرورية (ولكنها ليست كافية بشكلٍ عام) لكي تكون مجموعة البنية لفضاءٍ ما X غير فارغة، أن يكون X مُركّب بوانكاريه ذو بُعد n ، أي أن تكون مجموعتا التماثل والتماثل المشترك مرتبطتين بتشاكلات.${\displaystyle H^{*}(X)\cong H_{n-*}(X)}$في فضاء متعدد الأبعاد ذي n بُعد، حيث n عدد صحيح. وبحسب التعريف الدقيق وفئة الفضاءات المتعددة ( الملساء ، أو متعددة الأبعاد ، أو الطوبولوجية )، توجد صيغ مختلفة لمجموعات البنية. وبما أن بعض التماثلات بين الفضاءات المتعددة، وفقًا لنظرية التماثل المشترك ، متماثلة (في الفئة المعنية) مع الأسطوانات، فإن مفهوم مجموعة البنية يسمح بالتصنيف حتى التماثل التفاضلي .

تُدمج مجموعة البنية وخريطة عوائق الجراحة في متتالية الجراحة الدقيقة . تُمكّن هذه المتتالية من تحديد مجموعة بنية مُركّب بوانكاريه بمجرد فهم خريطة عوائق الجراحة (ونسخة مُرتبطة بها). في حالاتٍ مُهمة، يُمكن حساب مجموعة البنية الملساء أو الطوبولوجية باستخدام متتالية الجراحة الدقيقة. ومن الأمثلة على ذلك تصنيف الكرات الغريبة ، وبراهين حدسية بوريل للمشعبات ذات الانحناء السالب والمشعبات ذات المجموعة الأساسية الزائدية .

في الفئة الطوبولوجية، تُعرف متتالية الجراحة الدقيقة بأنها متتالية طويلة دقيقة ناتجة عن متتالية تليف الأطياف . وهذا يعني أن جميع المجموعات المُتضمنة في المتتالية هي في الواقع زمر تبديلية. على مستوى الطيف، تُعد خريطة إعاقة الجراحة خريطة تجميعية يكون ليفها هو فضاء البنية الكتلية للمشعب المقابل.