الهندسة الجبرية الحقيقية

في الرياضيات ، الهندسة الجبرية الحقيقية هي الفرع الفرعي للهندسة الجبرية الذي يدرس المجموعات الجبرية الحقيقية ، أي حلول الأعداد الحقيقية للمعادلات الجبرية ذات المعاملات الحقيقية، والتحويلات بينها (وخاصة تحويلات كثيرات الحدود الحقيقية ).

الهندسة شبه الجبرية هي دراسة المجموعات شبه الجبرية ، أي الحلول العددية الحقيقية للمتباينات الجبرية ذات المعاملات العددية الحقيقية، والتطبيقات بينها. وتُعدّ التطبيقات شبه الجبرية ، أي التطبيقات التي تمثل رسومها البيانية مجموعات شبه جبرية، من أكثر التطبيقات طبيعية بين المجموعات شبه الجبرية .

يُستخدم مصطلحا "الهندسة شبه الجبرية" و"الهندسة الجبرية الحقيقية" اليوم كمترادفين، إذ لا يمكن دراسة المجموعات الجبرية الحقيقية دراسةً وافيةً دون استخدام المجموعات شبه الجبرية. فعلى سبيل المثال، لا يشترط أن يكون إسقاط مجموعة جبرية حقيقية على محور إحداثي مجموعة جبرية حقيقية، ولكنه دائمًا ما يكون مجموعة شبه جبرية: هذه هي نظرية تارسكي-سيدنبرغ . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ومن المجالات ذات الصلة نظرية o-minimal والهندسة التحليلية الحقيقية .

أمثلة: المنحنيات المستوية الحقيقية أمثلة على المجموعات الجبرية الحقيقية، والمجسمات أمثلة على المجموعات شبه الجبرية. الدوال الجبرية الحقيقية ودوال ناش أمثلة على التطبيقات شبه الجبرية. كما أن التطبيقات متعددة الحدود المجزأة (انظر حدسية بيرس-بيركوف ) هي تطبيقات شبه جبرية.

يهتم علم الهندسة الجبرية الحقيقية الحاسوبية بالجوانب الخوارزمية للهندسة الجبرية الحقيقية (وشبه الجبرية). الخوارزمية الرئيسية هي التفكيك الجبري الأسطواني ، وتُستخدم لتقسيم المجموعات شبه الجبرية إلى أجزاء منتظمة وحساب إسقاطاتها.

الجبر الحقيقي هو فرع من الجبر ذو صلة بالهندسة الجبرية الحقيقية (وشبه الجبرية). يهتم هذا الفرع بشكل أساسي بدراسة الحقول المرتبة والحلقات المرتبة (وخاصة الحقول المغلقة الحقيقية ) وتطبيقاتها في دراسة كثيرات الحدود الموجبة ومجموع مربعات كثيرات الحدود . (انظر مسألة هيلبرت السابعة عشرة ومسألة كريفين-ستينجل لمجموع مربعات كثيرات الحدود ). تشبه علاقة الجبر الحقيقي بالهندسة الجبرية الحقيقية علاقة الجبر التبادلي بالهندسة الجبرية المركبة . ومن المجالات ذات الصلة: نظرية مسائل العزوم ، والتحسين المحدب ، ونظرية الأشكال التربيعية ، ونظرية التقييم ، ونظرية النماذج .

• خوارزمية فورييه لأنظمة المتباينات الخطية لعام 1826. ^{[ 3 ]} أعيد اكتشافها بواسطة لويد داينز في عام 1919 ^{[ 4 ]} وثيودور موتزكين في عام 1936. ^{[ 5 ]}
• نظرية ستورم لعام 1835 حول حساب الجذور الحقيقية ^{[ 6 ]}
• نظرية هيرميت لعام 1856 حول حساب الجذور الحقيقية. ^{[ 7 ]}
• نظرية منحنى هارناك لعام 1876. ^{[ 8 ]} (تم توسيع هذا الحد على عدد المكونات لاحقًا ليشمل جميع أعداد بيتي لجميع المجموعات الجبرية الحقيقية ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} وجميع المجموعات شبه الجبرية. ^{[ 12 ]} )
• نظرية هيلبرت لعام 1888 حول الرباعيات الثلاثية. ^{[ 13 ]}
• مسائل هيلبرت لعام 1900 (وخاصة المسألة السادسة عشرة والمسألة السابعة عشرة )
• 1902 فاركاس ليمّا ^{[ 14 ]} (يمكن إعادة صياغتها كـ linear positivstellensatz.)
• أظهر أنيبال كوميساتي في عام 1914 أن ليس كل سطح جبري حقيقي ثنائي نسبي إلى RP ^{2 [ 15 ]}
• 1916 تخمين فيير حول كثيرات الحدود المثلثية غير السالبة. ^{[ 16 ]} (تم حلها بواسطة فريجيس ريسز . ^{[ 17 ]} )
• 1927 حل إميل أرتين للمسألة السابعة عشرة لهيلبرت ^{[ 18 ]}
• نظرية كرول-باير لعام 1927 ^{[ 19 ] [ 20 ]} (العلاقة بين الترتيبات والتقييمات)
• نظرية بوليا لعام 1928 حول كثيرات الحدود الموجبة على سطح بسيط ^{[ 21 ]}
• 1929 BL van der Waerden رسم برهانًا على أن المجموعات الجبرية الحقيقية وشبه الجبرية قابلة للمثلث، ^{[ 22 ]} ولكن لم يتم تطوير الأدوات اللازمة لجعل الحجة صارمة.
• 1931 حذف الكميات الحقيقية لألفريد تارسكي . ^{[ 23 ]} تم تحسينها ونشرها على نطاق واسع بواسطة أبراهام سايدنبرغ في عام 1954. ^{[ 24 ]} (كلاهما يستخدم نظرية ستورم .)
• في عام 1936، أثبت هربرت سيفرت أن كل مشعب فرعي مغلق أملس من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع حزمة طبيعية تافهة، يمكن تحويلها إلى عنصر من مجموعة جبرية حقيقية غير منفردة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وهو تقاطع كامل ^{[ 25 ]} (من استنتاج هذه النظرية لا يمكن إزالة كلمة "مكون" ^{[ 26 ]} ).
• نظرية مارشال ستون للتمثيل في عام 1940 للحلقات المرتبة جزئيًا. ^{[ 27 ]} حسّنها ريتشارد كاديسون في عام 1951 ^{[ 28 ]} ودونالد دوبوا في عام 1967 ^{[ 29 ]} (نظرية كاديسون-دوبوا للتمثيل). ثم حسّنها ميهاي بوتينار في عام 1993 ^{[ 30 ]} وجاكوبي في عام 2001 ^{[ 31 ]} (نظرية بوتينار-جاكوبي للتمثيل).
• في عام 1952، أثبت جون ناش أن كل مشعب أملس مغلق متماثل تفاضليًا مع مكون غير شاذ لمجموعة جبرية حقيقية. ^{[ 32 ]}
• تمت صياغة حدسية بيرس-بيركوف عام 1956. ^{[ 33 ]} (تم حلها في أبعاد ≤ 2. ^{[ 34 ]} )
• نظرية كريفين الصفرية ونظرية كريفين الإيجابية عام 1964. ^{[ 35 ]} أعيد اكتشافها ونشرها على نطاق واسع بواسطة ستينجل عام 1974. ^{[ 36 ]} (يستخدم كريفين حذف الكميات الحقيقية بينما يستخدم ستينجل نظرية التشاكل لانغ. ^{[ 37 ]} )
• 1964 مجموعات لوياسيفيتش شبه التحليلية المثلثة ^{[ 38 ]}
• في عام 1964 أثبت هيسوكي هيروناكا نظرية حل التفرد ^{[ 39 ]}
• في عام 1964 أثبت هاسلر ويتني أن كل تنوع تحليلي يقبل تصنيفًا يفي بشروط ويتني . ^{[ 40 ]}
• في عام 1967، وجد ثيودور موتزكين متعددة حدود موجبة ليست مجموع مربعات متعددة الحدود . ^{[ 41 ]}
• في عام 1972 أثبت فلاديمير روخلين حدسية غودكوف . ^{[ 42 ]}
• في عام 1973، أثبت ألبرتو توغنولي أن كل مشعب أملس مغلق متماثل تفاضليًا مع مجموعة جبرية حقيقية غير شاذة. ^{[ 43 ]}
• في عام 1975، اكتشف جورج إي. كولينز خوارزمية التفكيك الجبري الأسطواني ، التي حسّنت من عملية حذف الكميات الحقيقية لتارسكي وسمحت بتنفيذها على جهاز كمبيوتر. ^{[ 44 ]}
• في عام 1973، أثبت جان لويس فيردييه أن كل مجموعة فرعية تحليلية تقبل تصنيفًا مع الشرط (w). ^{[ 45 ]}
• في عام 1979، اكتشف ميشيل كوست وماري فرانسواز روي الطيف الحقيقي للحلقة التبادلية. ^{[ 46 ]}
• في عام 1980، قدّم أوليغ فيرو تقنية "الترقيع" واستخدمها لتصنيف المنحنيات الجبرية الحقيقية ذات الدرجة المنخفضة. ^{[ 47 ]} لاحقًا، استخدمها إيليا إيتنبرغ وفيرو لإنتاج أمثلة مضادة لتخمين راغسديل ، ^{[ 48 ] [ 49 ]} وطبّقها غريغوري ميخالكين على الهندسة الاستوائية لحساب المنحنيات. ^{[ 50 ]}
• 1980 قدم سلمان أكبولوت وهنري سي كينج توصيفًا طوبولوجيًا للمجموعات الجبرية الحقيقية ذات المفردات المعزولة، والمجموعات الجبرية الحقيقية غير المنفردة ذات التوصيف الطوبولوجي (ليست بالضرورة مضغوطة) ^{[ 51 ].}
• أثبت أكبولوت وكينغ في عام 1980 أن كل عقدة في${\displaystyle S^{n}}$هو رابط لمجموعة جبرية حقيقية ذات تفرد معزول في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$^{[ 52 ]}
• في عام 1981، أثبت أكبولوت وكينغ أن كل مشعب PL مضغوط متماثل PL مع مجموعة جبرية حقيقية. ^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]}
• في عام 1983، قدّم أكبولوت وكينغ "أبراج الحل الطوبولوجي" كنماذج طوبولوجية للمجموعات الجبرية الحقيقية، ومن خلالها استخلصا ثوابت طوبولوجية جديدة لهذه المجموعات، وقاما بتوصيف جميع المجموعات الجبرية ثلاثية الأبعاد طوبولوجيًا. ^{[ 56 ]} وقد عُمّمت هذه الثوابت لاحقًا بواسطة ميشيل كوست وكريستوف كورديكا ^{[ 57 ]} ، وكذلك بواسطة كلينت مكروي وآدم باروسينسكي. ^{[ 58 ]}
• نظرية لودفيج بروكر لعام 1984 حول التوليد الأدنى للمجموعات شبه الجبرية المفتوحة الأساسية ^{[ 59 ]} (تم تحسينها وتوسيعها لتشمل المجموعات شبه الجبرية المغلقة الأساسية بواسطة شنايدرير. ^{[ 60 ]} )
• في عام 1984، أثبت بينيديتي وديدو أن ليس كل مشعب أملس مغلق متماثلاً تفاضلياً مع مجموعة جبرية حقيقية غير شاذة جبرية تماماً (الجبرية تماماً تعني أن جميع دورات التماثل Z/2Z الخاصة به ممثلة بمجموعات جبرية حقيقية). ^{[ 61 ]}
• في عام 1991، أثبت أكبولوت وكينغ أن كل مشعب أملس مغلق متماثل شكليًا مع مجموعة جبرية حقيقية جبرية تمامًا. ^{[ 62 ]}
• حل شميدجن لمسألة العزوم متعددة الأبعاد للمجموعات شبه الجبرية المدمجة ونظرية بيزنتيفستيلنسات الصارمة ذات الصلة، عام ١٩٩١. ^{[ ٦٣ ]} برهان جبري من إعداد وورمان. ^{[ ٦٤ ]} يستلزم ذلك نسخة ريزنيك من نظرية آرتين ذات المقامات الموحدة. ^{[ ٦٥ ]}
• في عام 1992، أثبت أكبولوت وكينغ نسخًا محيطة من نظرية ناش-تونولي: كل مشعب فرعي أملس مغلق من R ⁿ يكون متماثلًا مع النقاط غير الشاذة (المكون) لمجموعة جبرية حقيقية من R ⁿ ، وقد عمما هذه النتيجة لتشمل المشعبات الفرعية المغمورة من R ⁿ . ^{[ 66 ] [ 67 ]}
• في عام 1992، أثبت بينيديتي ومارين أنه يمكن الحصول على كل مشعب ثلاثي الأبعاد مضغوط ومغلق وأملس M من${\displaystyle S^{3}}$من خلال سلسلة من الانفجارات والانخفاضات على طول المراكز الملساء، وأن M متماثلة مع ثلاثية منطقية جبرية حقيقية أفينية ربما تكون مفردة ^{[ 68 ].}
• في عام 1997 أثبت بيرستون وميلمان نظرية الحل الكنسي للتفردات ^{[ 69 ].}
• في عام 1997، أثبت ميخالكين أنه يمكن الحصول على كل مشعب مغلق أملس من الرتبة n من${\displaystyle S^{n}}$من خلال سلسلة من الانفجارات والانخفاضات الطوبولوجية ^{[ 70 ]}
• أظهر يانوس كولار في عام 1998 أن ليس كل مشعب مغلق ثلاثي الأبعاد هو مشعب إسقاطي حقيقي ثلاثي الأبعاد ثنائي النسب إلى RP ^{3 [ 71 ].}
• مبدأ شنايدرير المحلي العالمي لعام 2000 والامتداد غير الصارم ذي الصلة لنظرية شمودجن الإيجابية في الأبعاد ≤ 2. ^{[ 72 ] [ 73 ] [ 74 ]}
• في عام 2000، أثبت يانوس كولار أن كل مشعب ثلاثي الأبعاد مغلق أملس هو الجزء الحقيقي من مشعب عقدي مضغوط يمكن الحصول عليه من ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$من خلال سلسلة من الانفجارات والانهيارات الحقيقية. ^{[ 75 ]}
• 2003 يقدم ويلشينجر ثابتًا لحساب المنحنيات العقلانية الحقيقية ^{[ 76 ]}
• أظهر أكبولوت وكينج في عام 2005 أن ليس كل مجموعة جبرية حقيقية غير مفردة من RP ⁿ متماثلة بسلاسة مع الجزء الحقيقي من مجموعة جبرية معقدة غير مفردة من CP ^{n [ 77 ] [ 78 ]}

• إس. أكبولوت وإتش سي كينغ، طوبولوجيا المجموعات الجبرية الحقيقية، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية، 25. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك (1992) ISBN 0-387-97744-9
• بوشناك، جاسيك؛ كوستي، ميشيل. روي، ماري فرانسواز. الهندسة الجبرية الحقيقية. مترجم من النسخة الفرنسية الأصلية عام 1987. تمت مراجعته من قبل المؤلفين. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (3)]، 36. Springer-Verlag، Berlin، 1998. x+430 pp. ISBN 3-540-64663-9
• باسو، سوغاتا؛ بولاك، ريتشارد؛ روي، ماري فرانسواز. الخوارزميات في الهندسة الجبرية الحقيقية. الطبعة الثانية. الخوارزميات والحساب في الرياضيات، 10. سبرينغر-فيرلاغ، برلين، 2006. 662 صفحة + x صفحة تمهيدية. ISBN 978-3-540-33098-13-540-33098-4
• مارشال، موراي. كثيرات الحدود الموجبة ومجموع المربعات. دراسات وبحوث رياضية، 146. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2008. 187 صفحة + 12 صفحة تمهيدية. ISBN 978-0-8218-4402-10-8218-4402-4

• دور مسائل هيلبرت في الهندسة الجبرية الحقيقية (PostScript)
• خادم ما قبل الطباعة للهندسة الجبرية والتحليلية الحقيقية