إحداثيات القطع المكافئ

الإحداثيات القطعية المكافئة هي إحداثيات متعامدة ثلاثية الأبعاد.${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$تُعمم هذه الإحداثيات الإحداثيات القطعية ثنائية الأبعاد ، وتمتلك أسطحًا إهليلجية مكافئة كسطوح ذات إحداثيات واحدة. ولذلك، ينبغي تمييزها عن الإحداثيات الأسطوانية القطعية والإحداثيات الدورانية القطعية ، وكلاهما تعميم للإحداثيات القطعية ثنائية الأبعاد. أسطح الإحداثيات في الأولى هي أسطوانات قطعية، بينما أسطح الإحداثيات في الثانية هي أسطح قطعية دائرية .

على عكس الإحداثيات الأسطوانية والدورانية المكافئة، ولكن على غرار الإحداثيات الإهليلجية ذات الصلة ، فإن أسطح الإحداثيات لنظام الإحداثيات المكافئة لا يتم إنتاجها عن طريق تدوير أو إسقاط أي نظام إحداثيات متعامد ثنائي الأبعاد.

الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle (x,y,z)}$يمكن إنتاجها من الإحداثيات الإهليلجية ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$بحسب المعادلات ^{[ 1 ]}

${\displaystyle x^{2}={\frac {4}{bc}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {4}{bc}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)}$

${\displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -bc}$

مع

${\displaystyle \mu >b>\lambda >c>\nu >0}$

وبالتالي، فإن أسطح الثوابت${\displaystyle \mu }$هي قطع مكافئة إهليلجية مفتوحة للأسفل:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu )}$

وبالمثل، فإن الأسطح ذات الثوابت${\displaystyle \nu }$هي قطع مكافئة إهليلجية مفتوحة لأعلى ،

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )}$

بينما أسطح ثابتة${\displaystyle \lambda }$هي قطع مكافئ زائدية:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}$

عوامل المقياس للإحداثيات القطعية المكافئة${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$هي ^{[ 2 ]}

${\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}$

وبالتالي، فإن عنصر الحجم المتناهي الصغر هو

${\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

يمكن التعبير عن المؤثرات التفاضلية المشتركة بالإحداثيات.${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$عن طريق استبدال عوامل المقياس في الصيغ العامة لهذه المؤثرات ، والتي تنطبق على أي إحداثيات متعامدة ثلاثية الأبعاد. على سبيل المثال، مؤثر التدرج هو

$\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\جزئي }{\جزئي \lambda }}}$

واللابلاسي هو​

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}$

تُعدّ الإحداثيات القطعية مفيدةً لحلّ بعض المعادلات التفاضلية الجزئية . فعلى سبيل المثال، يمكن فصل معادلة لابلاس ومعادلة هيلمهولتز في الإحداثيات القطعية. وبالتالي، يمكن استخدام هذه الإحداثيات لحلّ هذه المعادلات في الأشكال الهندسية ذات التناظر القطعي، أي مع تحديد الشروط الحدية على مقاطع القطع المكافئ.

معادلة هيلمهولتز هي${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$أخذ${\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}$المعادلات المنفصلة هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \alpha _{2}}$و${\displaystyle \alpha _{3}}$يمثلان ثابتَي الفصل. وبالمثل، يمكن الحصول على المعادلات المنفصلة لمعادلة لابلاس عن طريق وضع${\displaystyle k=0}$في الأعلى.

يمكن صياغة كل معادلة من المعادلات المنفصلة على شكل معادلة باير . إلا أن الحل المباشر لهذه المعادلات صعب، ويعود ذلك جزئياً إلى ثوابت الفصل.${\displaystyle \alpha _{2}}$و${\displaystyle \alpha _{3}}$تظهر في جميع المعادلات الثلاث في آن واحد.

باتباع النهج المذكور أعلاه، تم استخدام الإحداثيات المكافئة لحساب المجال الكهربائي المحيط بقطع مكافئ موصل . ^{[ 4 ]}

• ليو يان فون إل سي، ويلاتزن إم (2011). مسائل القيم الحدية القابلة للفصل في الفيزياء . وايلي-في سي إتش. رقم ISBN 978-3-527-41020-0.
• مورس، ب.م. ، وفيشباخ، هـ. (1953). مناهج الفيزياء النظرية، الجزء الأول . نيويورك: ماكجرو هيل. ص  664. ISBN 0-07-043316-X. إل سي سي إن 52011515 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• مارجيناو إتش ، مورفي جي إم (1956). رياضيات الفيزياء والكيمياء . نيويورك: دي. فان نوستراند. الصفحات 184-185 . LCCN 55010911 .  
• كورن، جي. أ.، وكورن، تي. إم. (1961). دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 180. رقم مكتبة الكونغرس 59014456. رقم تعريف أمازون القياسي B0000CKZX7.  
• أرفكن جي (1970). الأساليب الرياضية للفيزيائيين (  الطبعة الثانية). أورلاندو، فلوريدا: أكاديميك برس. ص 119-120 . 
• سوير ر، زابو الأول (1967). الرياضيات Hilfsmittel des Ingenieurs . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ص.  98. ال سي سي ان 67025285 . 
• زويلينجر د (1992). دليل التكامل . بوسطن، ماساتشوستس: جونز وبارتليت. ص  114. ISBN 0-86720-293-9. كما هو الحال مع مورس وفيشباخ (1953)، مع استبدال u _k بـ ξ _k .
• مون، ب.، وسبنسر، د. إ. (1988). "الإحداثيات المكافئة (μ، ν، λ)". دليل نظرية المجال، بما في ذلك أنظمة الإحداثيات، والمعادلات التفاضلية، وحلولها (الطبعة الثانية المصححة،  الطبعة الثالثة المطبوعة). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات  44-48 (الجدول 1.11). ISBN 978-0-387-18430-2.

• وصف MathWorld للإحداثيات القطعية المكافئة البؤرية