معادلة هيلمهولتز

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 52 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف معادلة هيلمهولتز بمسألة القيم الذاتية لمؤثر لابلاس . وهي تُقابل المعادلة التفاضلية الجزئية الإهليلجية التالية : ∇2و=-ك2و،{\displaystyle \nabla ^{2}f=-k^{2}f,} حيث ∇² هو مؤثر لابلاس، و –k² هي القيمة الذاتية، و f هي الدالة الذاتية. عند تطبيق المعادلة على الموجات، يُعرف k بالعدد الموجي . لمعادلة هيلمهولتز تطبيقات متنوعة في الفيزياء والعلوم الأخرى، بما في ذلك معادلة الموجة ، ومعادلة الانتشار ، ومعادلة شرودنغر للجسيم الحر .

في علم البصريات ، معادلة هيلمهولتز هي معادلة الموجة للمجال الكهربائي . [ 1 ]

سميت المعادلة على اسم هيرمان فون هيلمهولتز ، الذي درسها في عام 1860. [ 2 ]

الدافع والاستخدامات

تظهر معادلة هيلمهولتز غالبًا في دراسة المسائل الفيزيائية التي تتضمن معادلات تفاضلية جزئية في المكان والزمان. وتمثل معادلة هيلمهولتز صيغة مستقلة عن الزمن لمعادلة الموجة ، وهي ناتجة عن تطبيق تقنية فصل المتغيرات لتبسيط التحليل.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك معادلة الموجة (∇2-1ج2∂2∂ت2)u(ر،ت)=0.{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}

يبدأ فصل المتغيرات بافتراض أن الدالة الموجية u ( r , t ) قابلة للفصل في الواقع: u(ر،ت)=أ(ر)تي(ت).{\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}

بإدخال هذا الشكل في معادلة الموجة ثم تبسيطها، نحصل على المعادلة التالية: ∇2أأ=1ج2تيد2تيدت2.{\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.}

لاحظ أن التعبير على الجانب الأيسر يعتمد فقط على r ، بينما يعتمد التعبير على الجانب الأيمن فقط على t . ونتيجة لذلك، تكون هذه المعادلة صحيحة في الحالة العامة إذا وفقط إذا كان كلا طرفي المعادلة متساويين في قيمة ثابتة. هذه الحجة أساسية في أسلوب حل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية بفصل المتغيرات. من هذه الملاحظة، نحصل على معادلتين، إحداهما لـ A ( r ) ، والأخرى لـ T ( t ):∇2أأ=-ك2{\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}}1ج2تيد2تيدت2=-ك2،{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},}

حيث اخترنا، دون الإخلال بعمومية الحل، التعبير − k 2 لقيمة الثابت. (يجوز استخدام أي ثابت k كثابت فصل؛ تم اختيار − k 2 فقط لتسهيل الحلول الناتجة).

بإعادة ترتيب المعادلة الأولى، نحصل على معادلة هيلمهولتز (المتجانسة): ∇2أ+ك2أ=(∇2+ك2)أ=0.{\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}

وبالمثل، بعد إجراء الاستبدال ω = kc ، حيث k هو العدد الموجي ، و ω هو التردد الزاوي (بافتراض مجال أحادي اللون)، تصبح المعادلة الثانية

د2تيدت2+ω2تي=(د2دت2+ω2)تي=0.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.}

لدينا الآن معادلة هيلمهولتز للمتغير المكاني r ومعادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية في الزمن. سيكون الحل الزمني عبارة عن توليفة خطية من دالتي الجيب وجيب التمام ، ويُحدد شكلها الدقيق بالشروط الابتدائية، بينما يعتمد شكل الحل المكاني على الشروط الحدية . بدلاً من ذلك، تُستخدم التحويلات التكاملية ، مثل تحويل لابلاس أو تحويل فورييه ، غالبًا لتحويل معادلة تفاضلية جزئية زائدية إلى شكل من أشكال معادلة هيلمهولتز. [ 3 ]

بسبب علاقتها بمعادلة الموجة، تظهر معادلة هيلمهولتز في مشاكل في مجالات الفيزياء مثل دراسة الإشعاع الكهرومغناطيسي وعلم الزلازل وعلم الصوتيات .

حل معادلة هيلمهولتز باستخدام فصل المتغيرات

حل معادلة هيلمهولتز المكانية: ∇2أ=-ك2أ{\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A} يمكن الحصول على ذلك للأشكال الهندسية البسيطة باستخدام فصل المتغيرات .

غشاء مهتز

النظير ثنائي الأبعاد للوتر المهتز هو الغشاء المهتز، حيث تكون حوافه مثبتة لمنع حركته. تم حل معادلة هيلمهولتز للعديد من الأشكال الأساسية في القرن التاسع عشر: الغشاء المستطيل بواسطة سيميون دينيس بواسون عام 1829، والمثلث متساوي الأضلاع بواسطة غابرييل لاميه عام 1852، والغشاء الدائري بواسطة ألفريد كليبش عام 1862. درس إميل ماثيو غشاء الطبل الإهليلجي ، مما أدى إلى معادلة ماثيو التفاضلية .

إذا كانت حواف الشكل عبارة عن قطع مستقيمة، فإن الحل يكون قابلاً للتكامل أو يمكن معرفته بشكل مغلق فقط إذا كان قابلاً للتعبير عنه كمجموعة خطية محدودة من الموجات المستوية التي تحقق شروط الحدود (صفر عند الحدود، أي الغشاء المثبت).

إذا كان المجال دائرة نصف قطرها a ، فمن المناسب إدخال الإحداثيات القطبية r و θ . تأخذ معادلة هيلمهولتز الشكل التالي: ∂2أ∂ر2+1ر∂أ∂ر+1ر2∂2أ∂θ2+ك2أ=0.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial \theta ^{2}}}+k^{2}A=0\,.}

يمكننا فرض شرط الحدود الذي ينص على أن A تتلاشى إذا كان r = a ؛ وبالتالي أ(أ،θ)=0.{\displaystyle A(a,\theta )=0\,.}

تؤدي طريقة فصل المتغيرات إلى حلول تجريبية على النحو التالي: أ(ر،θ)=R(ر)Θ(θ)،{\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\,\Theta (\theta )\,,} حيث يجب أن تكون Θ دورية ذات دورة 2π . وهذا يؤدي إلى

Θ"+ن2Θ=0،{\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,}ر2R"+رR′+ر2ك2R-ن2R=0؛{\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}Rn^{2}R=0;} أيندR(ر)در≡R′(ر)،{\textstyle {\frac {dR(r)}{dr}}\equiv R'(r)\,,}ودΘ(θ)دθ≡Θ′(θ)،{\textstyle {\frac {d\Theta (\theta )}{d\theta }}\equiv \Theta '(\theta )\,,}وهكذا هي أيضاً رموز متكافئة.

ويترتب على شرط الدورية ما يلي: Θ=αكوس⁡(نθ)+βالخطيئة⁡(نθ)،{\displaystyle \Theta =\alpha \cos(n\theta )+\beta \sin(n\theta )\,,} ويجب أن يكون n عددًا صحيحًا. يأخذ المكون القطري R الشكل التالي: R=γجن(ρ)،{\displaystyle R=\gamma \,J_{n}(\rho )\,,} حيث تحقق دالة بيسل J n ( ρ ) معادلة بيسل z2جن"+zجن′+(z2-ن2)جن=0،{\displaystyle z^{2}J_{n}''+z\,J_{n}'+(z^{2}-n^{2})\,J_{n}=0\,,} و z = kr . للدالة القطرية J n عدد لا نهائي من الجذور لكل قيمة من قيم n ، ويرمز لها بـ ρ m , n . يتحقق شرط الحدود الذي ينص على أن A تتلاشى حيث r = a إذا كانت أعداد الموجات المقابلة معطاة بـكم،ن=1أρم،ن.{\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\,\rho _{m,n}\,.}

يأخذ الحل العام A شكل متسلسلة فورييه معممة تتضمن حدودًا ناتجة عن ضرب J n ( k m,n r ) وجيب (أو جيب تمام) n θ . هذه الحلول هي أنماط اهتزاز غشاء طبلة دائري .

حلول ثلاثية الأبعاد

في الإحداثيات الكروية، يكون الحل كالتالي:

أ(ر،θ،φ)=∑ℓ=0∞∑م=-ℓ+ℓ[أℓمجℓ(كر)+بℓمyℓ(كر)]Yℓم(θ،φ) .{\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty}\sum _{m=-\ell }^{+\ell }\left[a_{\ell m}\,j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}\,y_{\ell }(kr)\right]Y_{\ell }^{م}(\ثيتا،\فارفي )~.}

ينشأ هذا الحل من الحل المكاني لمعادلة الموجة ومعادلة الانتشار . حيث يمثل كل من jℓ ( kr ) و yℓ ( kr ) دوال بيسل الكروية ، بينما يمثل Ymℓ ( θ , φ ) التوافقيات الكروية . [ 4 ] تجدر الإشارة إلى أن هذه الصيغ حلول عامة، وتتطلب تحديد شروط حدودية لاستخدامها في أي حالة محددة. بالنسبة للمجالات الخارجية اللانهائية، قد يلزم أيضًا شرط الإشعاع . [ 5 ]

كتابة r₀ = ( x , y , z ) الدالة A ( r₀ ) لها سلوك تقاربيأ(ر0) ⟶ هـأناكر0ر0و(ر0ر0،ك،u0) + o(1ر0) مثل  ر0→∞{\displaystyle A(r_{0})~\longrightarrow ~{\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\,f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)~+~o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right)\quad {\text{ as }}~r_{0}\to \infty }

حيث تسمى الدالة f سعة التشتت و u 0 ( r 0 ) هي قيمة A عند كل نقطة حدودية r 0 .

حلول ثلاثية الأبعاد معطى الدالة على مستوى ثنائي الأبعاد

بالنظر إلى مستوى ثنائي الأبعاد حيث A معروف، فإن حل معادلة هيلمهولتز يُعطى بواسطة: [ 6 ]أ(x،y،z)=-12π∬-∞+∞أ′(x′،y′)هـأناكررzر(أناك-1ر)دx′دy′،{\displaystyle A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y')\,{\frac {e^{ikr}}{r}}\,{\frac {z}{r}}\left(ik-{\frac {1}{r}}\right)dx'\,dy'\,,}

أين

  • أ′(x′،y′){\displaystyle A'(x',y')}هو الحل في المستوى ثنائي الأبعاد،
  • ر=(x-x′)2+(y-y′)2+z2،{\textstyle r={\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2}}}\,,}

عندما تقترب قيمة z من الصفر، تتلاشى جميع المساهمات من التكامل باستثناء r = 0. وبالتاليأ(x،y،0)=أ′(x،y){\displaystyle A(x,y,0)=A'(x,y)}حتى عامل عددي، والذي يمكن التحقق من أنه يساوي 1 عن طريق تحويل التكامل إلى إحداثيات قطبية(ρ،θ).{\displaystyle \left(\rho ,\theta \right).}

يُعد هذا الحل مهمًا في نظرية الحيود، على سبيل المثال في اشتقاق حيود فرينل .

التقريب المحوري

في التقريب المحوري لمعادلة هيلمهولتز، [ 7 ] يُعبر عن السعة المركبة A على النحو التاليأ(ر)=u(ر)هـأناكz{\displaystyle A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )\,e^{ikz}} حيث يمثل u السعة ذات القيمة المركبة التي تعدل الموجة المستوية الجيبية الممثلة بالعامل الأسي. ثم، بافتراض مناسب، فإن u يحل تقريبًا ∇⊥2u+2أناك∂u∂z≈0،{\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}u+2ik\,{\frac {\partial u}{\partial z}}\approx 0\,,} أين∇⊥2≡∂2∂x2+∂2∂y2{\textstyle \nabla _{\perp }^{2}\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}هو الجزء المستعرض ثنائي الأبعاد ( x ، y ) من لابلاس .

لهذه المعادلة تطبيقات مهمة في علم البصريات ، حيث تقدم حلولاً تصف انتشار الموجات الكهرومغناطيسية (الضوء) على شكل موجات مكافئة أو حزم غاوسية . وتصدر معظم الليزرات حزمًا تتخذ هذا الشكل.

الافتراض الذي بموجبه يكون التقريب المحوري صالحًا هو أن مشتقة z لدالة السعة u هي دالة متغيرة ببطء لـ z :

|∂2u∂z2| ≪ |ك ∂u∂z|.{\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ \ll \ \left|k\ {\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.}

هذا الشرط يعادل القول بأن الزاوية θ بين متجه الموجة k والمحور البصري z صغيرة: θ ≪ 1 .

يتم إيجاد الشكل المحوري لمعادلة هيلمهولتز عن طريق استبدال التعبير المذكور أعلاه للسعة المركبة في الشكل العام لمعادلة هيلمهولتز كما يلي:

∇2(u(x،y،z)هـأناكz)+ك2u(x،y،z)هـأناكz=0 .{\displaystyle \nabla ^{2}{\Bigl (}u\!\left(x,y,z\right)e^{ikz}{\Bigr )}+k^{2}u\!\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0~.}

ينتج عن التوسيع والحذف ما يلي:

(∂2∂x2+∂2∂y2)u(x،y،z)هـأناكz+(∂2∂z2u(x،y،z))هـأناكz+2(∂∂zu(x،y،z))أناكهـأناكz=0 .{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)\,e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\,u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik\,{e^{ikz}}=0~.}

بسبب عدم المساواة المحورية المذكورة أعلاه، يمكننا اختيار إهمال{\textstyle }الحد ∂²u / ∂z² مقارنةً بالحد k ∂u / ∂z الأكبر بكثير . بحذف الحد الأصغر نحصل على معادلة هيلمهولتز المحورية . بالتعويض عن u ( r ) = A ( r ) e⁻ikz نحصل على المعادلة المحورية للسعة المركبة الأصلية A :

∇⊥2أ+2أناك∂أ∂z+2ك2أ=0.{\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik\,{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0\,.}

يُعد تكامل حيود فرينل حلاً دقيقاً لمعادلة هيلمهولتز المحورية. [ 8 ]

معادلة هيلمهولتز غير المتجانسة

مصدران للإشعاع في المستوى، يُعطيان رياضياً بواسطة دالة f ، والتي تساوي صفرًا في المنطقة الزرقاء
الجزء الحقيقي من المجال الناتج A ، A هو حل معادلة هيلمهولتز غير المتجانسة (∇ 2 + k 2 ) A = − f .

معادلة هيلمهولتز غير المتجانسة هي المعادلة ∇2أ(x)+ك2أ(x)=-و(x)،∀x∈Rن،{\displaystyle \nabla ^{2}A(\mathbf {x} )+k^{2}A(\mathbf {x} )=-f(\mathbf {x} ),\quad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n},} حيث أن ƒ  : R n → C هي دالة ذات دعم مضغوط ، و n = 1، 2، 3. هذه المعادلة تشبه إلى حد كبير معادلة بواسون المحجوبة ، وستكون متطابقة إذا تم تبديل علامة الجمع (أمام الحد k ) إلى علامة الطرح.

حل

لحل هذه المعادلة بشكل فريد، يجب تحديد شرط حدودي عند اللانهاية، وهو عادةً شرط إشعاع سومرفيلد.ليمر→∞رن-12(∂∂ر-أناك)أ(x)=0،{\displaystyle \lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(\mathbf {x} )=0\,,} فين{\displaystyle n}الأبعاد المكانية، لجميع الزوايا (أي أي قيمة لـθ،ϕ{\displaystyle \theta ,\phi }). هنا ر=∑أنا=1نxأنا2 {\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~}}}أينxأنا{\displaystyle x_{i}}هي إحداثيات المتجهx.{\displaystyle \mathbf {x} \,.}

في ظل هذا الشرط، يكون حل معادلة هيلمهولتز غير المتجانسة هو

أ(x)=∫Rنجي(x،x′)و(x′)د⁡x′{\displaystyle A(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\,f(\mathbf {x'} )\,\operatorname {d} \mathbf {x'} }

(لاحظ أن هذا التكامل يقع فعليًا على منطقة محدودة، نظرًا لأن f لها دعم مضغوط). هنا، G هي دالة غرين لهذه المعادلة، أي حل معادلة هيلمهولتز غير المتجانسة حيث f تساوي دالة ديراك دلتا ، لذا فإن G تحقق

∇2جي(x،x′)+ك2جي(x،x′)=-دلتا(x،x′)∈Rن .{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )+k^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-\delta (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\in \mathbb {R} ^{n}~.}

يعتمد تعبير دالة غرين على بُعد الفضاء n . لديناجي(x،x′)=أناهـأناك|x-x′|2ك{\displaystyle G(x,x')={\frac {i\,e^{ik|x-x'|}}{2k}}} لـ n = 1 ،

جي(x،x′)=أنا4ح0(1)(ك|x-x′|){\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {i}{4}}\,H_{0}^{(1)}\!\!\left(k\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|\right)} لـ n = 2 ، حيث H (1) 0 هي دالة هانكل ، و جي(x،x′)=هـأناك|x-x′|4π|x-x′|{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {e^{ik\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}}} بالنسبة لـ n = 3. لاحظ أننا اخترنا شرط الحدود الذي يجعل دالة غرين موجة خارجية عندما | x | → ∞ .

وأخيرًا، بالنسبة لـ n العامة،

جي(x،x′) = جدكصحص(1)(ك|x-x′|)|x-x′|ص{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )~=~c_{d}\,k^{p}\,{\frac {H_{p}^{(1)}\!\!\left(k\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|^{p}}}}

أينص=ن2-1{\textstyle p={\frac {n}{2}}-1}وجد=أنا4(2π)ص.{\displaystyle c_{d}={\frac {i}{4\,(2\pi )^{p}}}\,.}[ 9 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

للمزيد من القراءة

  • رايلي، ك. ف.؛ هوبسون، م. ب.؛ بينس، س. ج. (2002). الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة . نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. الفصل  19. ISBN 978-0-521-89067-0.
  • رايلي، ك. ف. (2002). الأساليب الرياضية للعلماء والمهندسين . سوساليتو، كاليفورنيا: منشورات جامعة العلوم. الفصل  16. ISBN 978-1-891389-24-5.
  • صالح، بهاء عصام؛ تيش، مالفين كارل (1991). أساسيات الضوئيات . سلسلة وايلي في البصريات البحتة والتطبيقية. نيويورك، نيويورك: جون وايلي وأولاده. الفصل.  3، ص  80-107. رقم ISBN 978-0-471-83965-1.
  • هاو، إم إس (1998). صوتيات تفاعلات الموائع مع الهياكل . نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-63320-8.