مُعامل لابلاس

في النظرية الفيزيائية للانتشار ، يظهر عامل لابلاس بشكل طبيعي في الوصف الرياضي للتوازن . ^{[ 6 ]} على وجه التحديد، إذا كانت u هي الكثافة عند التوازن لكمية ما مثل التركيز الكيميائي، فإن التدفق الصافي لـ u عبر الحدود ∂V (وتسمى أيضًا S ) لأي منطقة ملساء V يساوي صفرًا، بشرط ألا يكون هناك مصدر أو مصب داخل V :$${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$ حيث n هو متجه الوحدة العمودي الخارجي على حدود V. وبحسب نظرية التباعد ، $${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

بما أن هذا ينطبق على جميع المناطق الملساء V ، يمكن للمرء أن يثبت أن ذلك يستلزم ما يلي: $${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$ يمثل الطرف الأيسر من هذه المعادلة مؤثر لابلاس، وتُعرف المعادلة الكاملة Δu = 0 باسم معادلة لابلاس . وبالتالي ، فإن حلول معادلة لابلاس، أي الدوال التي يكون مؤثر لابلاس الخاص بها مساوياً للصفر، تمثل كثافات التوازن الممكنة في ظل الانتشار.

يُفسَّر مُؤثِّر لابلاس نفسه تفسيراً فيزيائياً للانتشار غير المتوازن، باعتباره مدى تمثيل نقطة ما كمصدر أو مصب للتركيز الكيميائي، وهو ما تُوضِّحه معادلة الانتشار بدقة . ويُفسَّر هذا التفسير لمؤثر لابلاس أيضاً بالحقيقة التالية المتعلقة بالمتوسطات.

بفرض دالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ونقطة​${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$، القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle f}$فوق الكرة بنصف قطر${\displaystyle h}$مركزها في${\displaystyle p}$هو: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

وبالمثل، فإن متوسط ​​قيمة${\displaystyle f}$فوق الكرة (حدود الكرة) بنصف قطر${\displaystyle h}$مركزها في${\displaystyle p}$يكون: $${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

إذا كانت φ ترمز إلى الجهد الكهروستاتيكي المرتبط بتوزيع الشحنة q ، فإن توزيع الشحنة نفسه يُعطى بواسطة معكوس لابلاس φ : $${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$ حيث ε ₀ هو الثابت الكهربائي .

هذا نتيجة لقانون جاوس . في الواقع، إذا كانت V أي منطقة ملساء ذات حدود ∂V ، فإن تدفق المجال الكهروستاتيكي E عبر الحدود يتناسب مع الشحنة المحصورة، وذلك وفقًا لقانون جاوس .$${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$ حيث تعود المساواة الأولى إلى نظرية التباعد . وبما أن المجال الكهروستاتيكي هو التدرج (السالب) للجهد، فإن هذا يعطينا: $${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

وبما أن هذا ينطبق على جميع المناطق V ، فلا بد أن يكون لدينا $${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

يُشير هذا النهج إلى أن معكوس لابلاس الجهد التثاقلي هو توزيع الكتلة . غالبًا ما يكون توزيع الشحنة (أو الكتلة) مُعطى، بينما يكون الجهد المرتبط به مجهولًا. إيجاد دالة الجهد، مع مراعاة الشروط الحدية المناسبة، يُكافئ حل معادلة بواسون .

ومن الدوافع الأخرى لظهور لابلاس في الفيزياء أن حلول Δ f = 0 في منطقة U هي دوال تجعل دالة طاقة ديريشليه ثابتة : $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

لتوضيح ذلك، لنفترض أن f  : U → R دالة، وأن u  : U → R دالة تنعدم على حدود U. إذن: $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$ حيث تُستنتج المساواة الأخيرة باستخدام متطابقة غرين الأولى . تُظهر هذه الحسابات أنه إذا كان Δf = 0 ، فإن E تكون ثابتة حول f . وعلى العكس، إذا كانت E ثابتة حول f ، فإن Δf = 0 وفقًا للنتيجة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل .

يُعطى عامل لابلاس في بعدين بالصيغة التالية:

في الإحداثيات الديكارتية ، $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$ حيث x و y هما الإحداثيات الديكارتية القياسية للمستوى xy .

في الإحداثيات القطبية ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$ حيث يمثل r المسافة الشعاعية و θ الزاوية.

في ثلاثة أبعاد، من الشائع العمل مع لابلاس في مجموعة متنوعة من أنظمة الإحداثيات المختلفة.

في الإحداثيات الديكارتية ، $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

في الإحداثيات الأسطوانية ، $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$ أين${\displaystyle \rho }$يمثل المسافة الشعاعية، و φ زاوية السمت، و z الارتفاع.

في الإحداثيات الكروية : $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ أو $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ بتوسيع الحدين الأول والثاني، تصبح هذه التعبيرات كما يلي $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ حيث تمثل φ الزاوية السمتية و θ زاوية سمت الرأس أو خط العرض المشترك . وعلى وجه الخصوص، فإن ما سبق يعادل ما يلي: ${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{2}}f,}$ أين${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f}$هو عامل لابلاس-بيلترامي على كرة الوحدة.

في الإحداثيات المنحنية العامة ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ): $${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$ حيث يتم تضمين الجمع على المؤشرات المتكررة ، و g ^mn هو موتر القياس العكسي و Γ ^l _mn هي رموز كريستوفيل للإحداثيات المختارة.

في إحداثيات منحنية عشوائية${\displaystyle (\xi ^{1},\dots ,\xi ^{N})}$على${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$، يمكن كتابة لابلاس بدلالة موتر القياس العكسي${\displaystyle g^{ij}}$مثل $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {|g|}}\,g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right),\qquad |g|=\det(g_{ij}).}$$ هذه هي الحالة الإقليدية الخاصة لمؤثر لابلاس-بيلترامي . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

في الإحداثيات الكروية على${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$، يكتب $${\displaystyle x=r\omega ,\qquad r=|x|>0,\quad \omega \in S^{N-1}}$$ أين${\displaystyle S^{N-1}}$هي الكرة ( N – 1) ذات الوحدة في${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}.}$ثم يتحلل لابلاس إلى أجزاء شعاعية وزاوية: $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f,}$$ أو ما يعادل ذلك $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f,}$$ أين${\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}$هو مؤثر لابلاس-بيلترامي على${\displaystyle S^{N-1}}$[ ¹⁰ ]​^​​

يُعد هذا التفكيك نقطة البداية لفصل المتغيرات في معادلة لابلاس. إذا سعى المرء إلى إيجاد حلول من الشكل $${\displaystyle u(r,\omega )=R(r)Y(\omega ),}$$ عندئذٍ يجب أن يحقق العامل الزاوي معادلة القيمة الذاتية $${\displaystyle -\Delta _{S^{N-1}}Y=\lambda Y.}$$ القيم الذاتية هي $${\displaystyle \lambda _{\ell }=\ell (\ell +N-2),\qquad \ell =0,1,2,\dots ,}$$ والدوال الذاتية المقابلة هي التوافقيات الكروية من الدرجة${\displaystyle \ell }$على${\displaystyle S^{N-1}}$[ ^{11 ]​}

الاستبدال${\displaystyle u(r,\omega )=R(r)Y(\omega )}$داخل${\displaystyle \Delta u=0}$تعطي المعادلة الشعاعية $${\displaystyle r^{2}R''(r)+(N-1)rR'(r)-\ell (\ell +N-2)R(r)=0.}$$ ل${\displaystyle N\geq 3}$، وحلولها هي $${\displaystyle R(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -(N-2)},}$$ أما في الحالات الاستثنائية${\displaystyle N=2}$و${\displaystyle \ell =0}$يحصل المرء $${\displaystyle R(r)=A+B\log r.}$$هذه تعطي التوافقيات الصلبة الكلاسيكية . ^{[ 12 ]}

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle f(x)=F(r)}$إذا كان شعاعيًا، فإن الحد الزاوي يتلاشى و $${\displaystyle \Delta f=F''(r)+{\frac {N-1}{r}}F'(r)={\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{N-1}F'(r)\right).}$$ وبالتالي فإن كل دالة توافقية شعاعية على حلقة في${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$له الشكل $${\displaystyle F(r)={\begin{cases}A+Br^{2-N},&N\neq 2,\\[4pt]A+B\log r,&N=2.\end{cases}}}$$

ونتيجة لذلك، فإن لابلاس الكروي لدالة على${\displaystyle S^{N-1}}$يمكن حسابها عن طريق توسيع الدالة إلى${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}\setminus \{0\}}$بحيث يكون ثابتًا على طول الأشعة (أي متجانس من الدرجة${\displaystyle 0}$ثم تطبيق لابلاس العادي. ^{[ 13 ]}

مؤثر لابلاس خطي: $${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g}$$ لجميع الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$والكميات القياسية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.

بالنسبة لاتفاقية الإشارات المستخدمة في هذه المقالة، $${\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}^{2}}},}$$ الرمز الرئيسي لـ${\displaystyle \Delta }$يكون $${\displaystyle \sigma _{2}(\Delta )(\xi )=-|\xi |^{2},}$$ وهو غير صفري لكل${\displaystyle \xi \neq 0}$. هكذا${\displaystyle \Delta }$هو مؤثر تفاضلي إهليلجي. ^{[ 19 ]}

لو${\displaystyle \Omega \subset \mathbf {R} ^{n}}$هو محدود${\displaystyle C^{1}}$المجال و${\displaystyle u,v\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$ثم تُعطي هويات غرين$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx+\int _{\partial \Omega }u\,{\frac {\partial v}{\partial \nu }}\,dS,}$$ و $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=\int _{\Omega }v\,\Delta u\,dx+\int _{\partial \Omega }\left(u{\frac {\partial v}{\partial \nu }}-v{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\right)\,dS.}$$ على وجه الخصوص، إذا انعدم حد الحدود (على سبيل المثال، بالنسبة للدوال ذات الدعم المحدود)، فإن $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=\int _{\Omega }v\,\Delta u\,dx,}$$ إذن، فإن لابلاس يكون مترافقًا ذاتيًا رسميًا. ^{[ 5 ]} بأخذ${\displaystyle u=v}$يمنح هوية الطاقة $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta u\,dx=-\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx+\int _{\partial \Omega }u\,{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,dS,}$$ وهو ما يكمن وراء نتائج التفرد في مسائل القيم الحدية. ^{[ 5 ]}

دالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر${\displaystyle u}$يُطلق عليه اسم التوافقي إذا${\displaystyle \Delta u=0}$، توافقية فرعية إذا${\displaystyle \Delta u\geq 0}$وفوق التوافقي إذا${\displaystyle \Delta u\leq 0}$[ ^{5 ]​}

لو${\displaystyle u}$متناغم في مجموعة مفتوحة${\displaystyle \Omega }$و${\displaystyle B_{r}(x)\subset \Omega }$، ثم${\displaystyle u(x)}$يساوي متوسط ​​كل من${\displaystyle u}$فوق الكرة${\displaystyle B_{r}(x)}$ومتوسط${\displaystyle u}$فوق الكرة${\displaystyle \partial B_{r}(x)}$هذه هي خاصية القيمة المتوسطة للدوال التوافقية. ^{[ 5 ]}

لا يمكن للدالة التوافقية غير الثابتة أن تصل إلى قيمة عظمى أو صغرى داخلية. وبالتالي، إذا${\displaystyle \Omega }$محدد و${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$إذا كان توافقيًا، فإن $${\displaystyle \max _{\bar {\Omega }}u=\max _{\partial \Omega }u,\qquad \min _{\bar {\Omega }}u=\min _{\partial \Omega }u.}$$ هذان هما مبدأ الحد الأقصى ومبدأ الحد الأدنى للدوال التوافقية. ^{[ 5 ]}

لأن لابلاس إهليلجي، فإن حلول المعادلات التي تتضمن${\displaystyle \Delta }$تكون أكثر انتظاماً مما قد يُفترض في البداية. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \Delta u}$إذا كانت قابلة للتكامل التربيعي محليًا،${\displaystyle u}$يقع محلياً في منطقة سوبوليف${\displaystyle H^{2}}$^{[ 20 ]} على وجه الخصوص ، الدوال التوافقية سلسة، وهي في الواقع تحليلية حقيقية. ^{[ 5 ]} وبشكل أعم، تنص ليمّة فايل على أنه إذا${\displaystyle u}$هو حل توزيعي لـ${\displaystyle \Delta u=0}$، ثم${\displaystyle u}$ناعم. ^{[ 5 ]}

تتم مناقشة النظرية النوعية المقابلة للدوال التوافقية، بما في ذلك مبدأ الحد الأقصى ومتباينة هارناك ، بمزيد من التفصيل في معادلة لابلاس والدالة التوافقية .

يُعطى تعميم غير محلي لمؤثر لابلاس بواسطة لابلاس الكسري${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}}$، أين${\displaystyle 0<\alpha <2}$. بالنسبة لدوال شوارتز على${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$، ويمكن تعريفها من خلال تحويل فورييه الخاص بها: $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}(-\Delta )^{\alpha /2}f{\big )}(\xi )=(4\pi ^{2}|\xi |^{2})^{\alpha /2}{\widehat {f}}(\xi ),}$$ باستخدام اصطلاح تحويل فورييه المذكور أعلاه. ^{[ 22 ]}

وبالمثل، يمكن تعريف لابلاس الكسري بواسطة تكامل منفرد : $${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}f(x)=c_{n,\alpha }\,\operatorname {PV} \!\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{n+\alpha }}}\,dy,}$$ أين${\displaystyle \operatorname {PV} }$يرمز إلى القيمة الرئيسية لكوشي . ^{[ 22 ]} على عكس لابلاس العادي، هذا مؤثر غير محلي: تعتمد قيمته عند نقطة ما على قيم الدالة على جميع${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$[ ^{22 ]​}

يرتبط معكوس لابلاس الكسري ارتباطًا وثيقًا بجهد ريز .${\displaystyle 0<\alpha <n}$، إمكانية ريز للنظام${\displaystyle \alpha }$هل هي عملية التفاف مع النواة؟${\displaystyle c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$: $${\displaystyle I_{\alpha }f(x)=c_{n,\alpha }\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,dy.}$$ عندما يتم تعريف كلا الجانبين، يكون لدينا ^{[ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}I_{\alpha }f=f.}$$

تُعطى عائلة ذات صلة من المؤثرات بواسطة كمونات بيسل .${\displaystyle s\in \mathbf {R} }$يُعرَّف مؤثر جهد بيسل بواسطة $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}(I-\Delta )^{-s/2}f{\big )}(\xi )=(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2})^{-s/2}{\widehat {f}}(\xi ).}$$ فضاءات الدوال المرتبطة هي فضاءات جهد بيسل${\displaystyle H^{s,p}(\mathbf {R} ^{n})}$[ ^{24 ]} تُعدّ كمونات ريز وبيسل عوامل تنعيم وثيقة الصلة، لكن كمونات بيسل ^تتضمن${\displaystyle I-\Delta }$بدلاً من${\displaystyle -\Delta }$وبالتالي يكون أداؤها أفضل عند الترددات المنخفضة. ^{[ 24 ]}

لابلاس أي حقل موتر${\displaystyle \mathbf {T} }$يُعرَّف مصطلح "الموتر" بأنه تباعد تدرج الموتر : $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle \mathbf {T} }$إذا كان الموتر قياسيًا (موترًا من الدرجة الصفرية)، فإن لابلاس يأخذ الشكل المألوف.

لو${\displaystyle \mathbf {T} }$إذا كان متجهًا (موترًا من الدرجة الأولى)، فإن تدرجه هو مشتق متغاير ينتج عنه موتر من الدرجة الثانية، وتباعده هو متجه أيضًا. يمكن استخدام صيغة لابلاس المتجه المذكورة أعلاه لتجنب حسابات الموترات، ويمكن إثبات أنها مكافئة لتباعد مصفوفة جاكوبي الموضحة أدناه لتدرج متجه. $${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

وبالمثل، يمكن اعتبار الضرب النقطي ، الذي ينتج عنه متجه، لمتجه بواسطة تدرج متجه آخر (موتر من الدرجة الثانية) بمثابة ضرب مصفوفات: $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$ هذه المتطابقة هي نتيجة تعتمد على الإحداثيات، وليست عامة.

ومن الأمثلة على استخدام لابلاس المتجهي معادلات نافيير-ستوكس لتدفق نيوتني غير قابل للانضغاط : $${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$ حيث يمثل الحد الذي يحتوي على متجه لابلاس لحقل السرعة${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$يمثل الإجهادات اللزجة في السائل.

مثال آخر هو معادلة الموجة للمجال الكهربائي التي يمكن اشتقاقها من معادلات ماكسويل في غياب الشحنات والتيارات: $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

يمكن كتابة هذه المعادلة أيضاً على النحو التالي: $${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$ أين$${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$هو دالامبيرتيان ، المستخدم في معادلة كلاين-غوردون .

يمكن تعميم لابلاس أيضًا إلى مؤثر إهليلجي يُسمى مؤثر لابلاس-بيلترامي، مُعرَّف على مشعب ريماني . ومؤثر لابلاس-بيلترامي، عند تطبيقه على دالة، هو أثر ( tr ) مصفوفة هيسيان الخاصة بتلك الدالة . $${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$ حيث يُحسب الأثر بالنسبة إلى معكوس موتر القياس . ويمكن تعميم مؤثر لابلاس-بيلترامي إلى مؤثر (يُسمى أيضًا مؤثر لابلاس-بيلترامي) يعمل على حقول الموترات ، وذلك باستخدام صيغة مماثلة.

هناك تعميم آخر لمؤثر لابلاس متاح على مشعبات شبه ريمانية، يستخدم المشتق الخارجي ، والذي يُعبَّر عنه بصيغة "لابلاس المهندس" على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

هنا، δ هو المشتق التفاضلي المشترك ، والذي يمكن التعبير عنه أيضًا بدلالة نجمة هودج والمشتق الخارجي. يختلف هذا المؤثر في الإشارة عن "مؤثر لابلاس التحليلي" المعرّف أعلاه. وبشكل أعم، يُعرّف مؤثر لابلاس "هودج" على الأشكال التفاضلية α بواسطة $${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

يُعرف هذا باسم عامل لابلاس-دي رام ، والذي يرتبط بعامل لابلاس-بيلترامي من خلال متطابقة ويتزنبوك .

يمكن تعميم لابلاس بطرق معينة إلى الفضاءات غير الإقليدية ، حيث قد يكون إهليلجيًا أو زائديًا أو زائديًا للغاية .

في فضاء مينكوفسكي، يصبح مؤثر لابلاس -بيلترامي مؤثر دالمبير${\displaystyle \Box }$أو على طريقة دالمبير: $${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

يُعدّ هذا المؤثر تعميمًا لمؤثر لابلاس، فهو المؤثر التفاضلي الثابت تحت تأثير مجموعة التناظر للفضاء الأساسي، ويختزل إلى مؤثر لابلاس عند تقييده بالدوال غير المعتمدة على الزمن. وقد اختيرت الإشارة العامة للمقياس هنا بحيث تقبل الأجزاء المكانية للمؤثر إشارة سالبة، وهو الاصطلاح المعتاد في فيزياء الجسيمات عالية الطاقة . يُعرف مؤثر دالمبير أيضًا بمؤثر الموجة لأنه المؤثر التفاضلي الذي يظهر في معادلات الموجة ، وهو أيضًا جزء من معادلة كلاين-غوردون ، التي تختزل إلى معادلة الموجة في حالة انعدام الكتلة.

يُعدّ العامل الإضافي c في النظام المتري ضروريًا في الفيزياء إذا تم قياس المكان والزمان بوحدات مختلفة؛ كما يلزم عامل مماثل إذا تم قياس الاتجاه x بالأمتار بينما تم قياس الاتجاه y بالسنتيمترات. في الواقع، عادةً ما يعمل الفيزيائيون النظريون بوحدات تجعل c = 1 لتبسيط المعادلة.

يتم تعميم عامل دالمبير ليصبح عاملًا زائديًا على مشعبات ريمان الزائفة .